1ЭМММ-Линейное программирование
.pdfМинистерство образования Российской Федерации
Камский Государственный Политехнический Институт
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МОДЕЛИ и МЕТОДЫ Линейное программирование
Учебное пособие для студентов экономических специальностей
Набережные Челны
2004
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
Учебное пособие по экономико-математическим моделям и методам разработано на кафедре «Математическое моделирование и информационные технологии в экономике» и предназначено для студентов экономических специальностей. Оно включает в себя теоретический материал, примеры
моделирования реальных экономических задач и их методы решения. Приведенные алгоритмы решения задач
ориентированы на использование современных информационных технологий.
Для организации самостоятельной работы приводятся варианты индивидуальных заданий с примерами их решения.
Составители: Смирнов Ю.Н., Шибанова Е.В.
Набережные Челны: Изд-во КамПИ, 2004, 81 с.
Рецензент: доцент, кандидат физико-математических наук Углов А.Н.
Печатается по решению научно-методического
совета Камского государственного политехнического института от 24.03.03 г.
Камский Государственный Политехнический Институт, 2004
2
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
Содержание |
|
Содержание................................................................................... |
3 |
Введение........................................................................................ |
4 |
1. Примеры задач линейного программирования.................... |
5 |
2.Общая, стандартная и основная задачи линейного
программирования........................................................................ |
8 |
3.Геометрическая интерпретация задачи линейного
программирования...................................................................... |
11 |
4.Графический метод решения задачи линейного
программирования...................................................................... |
13 |
5.Симплекс - метод решения задач линейного
программирования...................................................................... |
17 |
|
6. |
Двойственные задачи линейного программирования ....... |
32 |
7. |
Двойственный симплекс-метод.......................................... |
42 |
8. |
Задача целочисленного линейного программирования..... |
45 |
9. |
Транспортная задача........................................................... |
51 |
10. |
Задачи производственного менеджмента ...................... |
69 |
Задание для самостоятельной работы ........................................ |
73 |
|
Варианты задач для самостоятельной работы ........................... |
74 |
|
Литература .................................................................................. |
81 |
3
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
Введение
Линейное программирование является одним из разделов математического программирования – дисциплины,
занимающей изучением экстремальных задач и разработкой методов их решения.
В общем виде постановка экстремальной задачи математического программирования состоит в определении
наибольшего |
или |
наименьшего |
значения |
функции |
f (x1, x2,..., xn ) , |
называемой целевой функцией, при условиях |
gi (x1, x2,..., xn ) <>= bi ,i =1, m , где f и gi - заданные функции, а bi
- заданные постоянные величины. При этом ограничения в виде равенств определяют множество допустимых решений, а x1, x2,..., xn - называются проектными параметрами.
В зависимости от свойств функции f и gi задачи
математического программирования делятся на ряд классов задач. Далеко неполная схема задач математического программирования приведена на рис.1.
Среди них наиболее изученными являются задачи
линейного программирования (ЛП), когда все функции f и gi -
линейные.
Нелинейное программирование – если хотя бы одна из функций f и gi - нелинейная.
Выпуклое программирование – если отыскивается минимум выпуклой (максимум вогнутой) функции, заданной на выпуклом замкнутом множестве.
Целочисленное программирование – если проектные параметры могут принимать лишь целочисленные значения.
Дробно-линейное программирование – если целевая функция f – квадратичная, gi - линейные.
Параметрическое программирование – если функции f и gi зависят от некоторых параметров.
Стохастическое программирование – если в функциях f
и gi содержаться случайные величины.
4
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
Динамическое программирование – если процесс нахождения решения является многоэтапным.
Рассмотрим задачи, сводящиеся к задачам линейного программирования.
Линейное
программирование
Линейное
целочисленное
программирование
Целочисленное
программирование
|
|
Нелинейное |
|
Выпуклое |
|
|
программирование |
|
программирование |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Математическое |
|
Стохастическое |
|
|
|
программирование |
|
|
|
программирова- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ние |
|
|
|
|
|
|
|
Квадратичное |
|
|
|
|
|
программирование |
|
|
Динамическое |
||
|
|
|
|
|
|
|
программирование |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Параметрическое
программирование
Дробно-линейное
программирование
Рис.1. Схема задач математического программирования
1. Примеры задач линейного программирования
З а д а ч а и с п о л ь з о в а н и я р е с у р с о в .
Для производства n видов продукции предприятие использует m видов ресурсов (сырья). Известны нормы затрат ресурсов для производства единицы продукции каждого вида: aij - норма затрат i – ого ресурса для производства единицы
продукции j – ого вида.
5
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
Ресурсы предприятия имеются в ограниченных объемах b1,b2 ,...,bm . Предположим, прибыль (доход) от реализации
единицы продукции каждого вида величина известная, равная c j .
Необходимо при заданных ограничениях на ресурсы определить оптимальный план производства каждого вида продукции, обеспечивающий максимум прибыли.
Обозначим через x j ( j =1, n) план производства каждого
вида продукции.
Экономико-математическая модель данной задачи:
Найти максимальное значение линейной функции цели
n
(прибыли или дохода) z = å c j × x j ® max
j=1
при линейных ограничениях
n
å aij × x j £ bi , i = 1, m (ограничения на ресурсы);
j=1
x j ³ 0, j = 1, n (условие неотрицательности плана производства).
Ниже будет показано, что эта задача нахождения
оптимального плана есть стандартная задача линейного программирования.
Замечания:
1. Величины c j должны быть определены на основе
маркетинговых исследований цен на продукцию и анализа себестоимости единицы продукции.
2. В модели не учтены емкость рынка и объем поступивших заказов. Учет этих факторов рынка можно
записать в виде ограничений d j ≤ x j ≤ Dj , где d j , Dj соответственно объем заказов и предельная емкость рынка j -
ой продукции. Это свидетельство взаимосвязанности задач маркетинга и планирования производства.
3. Оптимальный объем и номенклатура производства
могут определяться не только первоначальными запасами
6
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
ресурсов bi 0 , но и объемом выделенных финансов на производство Q . Тогда ограничения на ресурсы и финансы
запишутся в виде следующих неравенств
n
åaij × x j £ bi 0 + bi ,i = 1, m
j=1
m
å yi × bi £ Q
i=1
где yi - цены на ресурсы, определяемые также из маркетинговых исследований, bi - искомые объемы закупаемых
ресурсов.
Таким образом, процесс математического
моделирования реальных задач сводится к все большему учету реальных факторов. Эти факторы оказываются связывающими различные деловые процессы предприятия. В нашем случае оказались связанными задачи таких деловых процессов, как, ПРОИЗВОДСТВО, МАРКЕТИНГ, МАТЕРИАЛЬНО- ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ, СБЫТ, ФИНАНСЫ.
Б а н к о в с к а я з а д а ч а Свободные средства банка могут быть направлены на
выдачу кредитов и приобретение ценных бумаг. Если предположить, что выданные кредиты не являются в полном смысле ликвидными, а ценные бумаги ликвидные, и в то же время кредиты приносят банку больший доход, чем ценные бумаги, то можно поставить задачу определения оптимального плана использования свободных средств.
Предположим, банк имеет свободных средств в размере 120 млн. рублей. Выданные кредиты или обязательства банка по кредитам составляют не менее 30 млн. рублей. Исходя из стратегии (безопасности) банка, не менее чем 40% всех используемых средств должны находиться в ценных бумагах (в ликвидных ресурсах, для выполнения возможных непрогнозируемых обязательств). Определить оптимальный
7
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
план использования средств, если доход от выданных кредитов составляет в среднем - 20%, а от ценных бумаг – 10%.
Экономико-математическая модель задачи:
Предположим, x1, x2 средства банка размещенные
соответственно в кредитах и ценных бумагах. Тогда получим следующую задач линейного программирования:
Найти максимум линейной целевой функции – функции дохода
Z = 0,2 × x1 + 0,1× x2 ® max
при заданных ограничениях по свободным средствам, по
объему выдаваемых кредитов и по стратегии банка
ìx1 + x2 £ 120 ïïx1 ³ 30
íïx2 ³ 0,4(x1 + x2 )
ïîx1, x2 ³ 0
Таким образом, задача определения стратегии банка так же, как и задача использования ресурсов, сводится к стандартной задаче линейного программирования.
2. Общая, стандартная и основная задачи линейного программирования
О п р е д е л ен и е 1 . Общей задачей ЛП называется задача нахождения максимального (минимального) значения
линейной целевой функции
n
z = å c j x j ® min(max) (1) при условиях
j=1
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
å aij x j |
£³ bi , |
i = |
1, k |
|
|
(2) |
|||
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
å aij x j = bi , |
i = k +1, m |
(3) |
|||||||
j =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x j ³ 0 , |
j = |
|
, |
l ≤ n |
(4), |
||||
1,l |
8
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
где aij , bi , c j - заданные постоянные величины и k £ m .
О п р е д е л ен и е . 2 . Функция Z называется целевой функцией задачи (1 - 4), x j - проектными параметрами задачи,
а условия (2 - 4) ограничениями данной задачи.
О п р е д е л ен и е |
3 . |
Стандартной задачей |
ЛП |
называется задача нахождения |
целевой функции (1) |
при |
|
выполнении условий (2), |
(4), |
где k=m, l=n, т.е. |
когда |
ограничения заданы только в виде неравенств (2), и все
проектные параметры удовлетворяют условиям неотрицательности (4), а условия в виде равенств отсутствуют:
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
z = å c j x j ® min(max) |
|
|||||||
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
å aij x j |
£³ bi , |
i = |
1, m |
|
|
|||
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x j ³ 0 |
, |
j = |
|
. |
|
|
|
|
1, n |
|
|
|
|
||||
О п р е д е л ен и е |
4 . Канонической |
(или основной) |
||||||
задачей ЛП |
называется |
задача нахождения |
максимального |
(минимального) значения функции (1) при выполнении условий (3), (4), где k=0, l=n, m<n, т.е. когда ограничения заданы только в виде равенств (3), и все проектные параметры удовлетворяют условиям неотрицательности (4), а условия в виде неравенств
(2) отсутствуют:
n |
|
|
|
||
z = å c j x j ® min(max) |
|||||
j=1 |
|
|
|
||
n |
|
|
|
||
åaij x j = bi , |
i = |
|
|
||
1, m |
|||||
j=1 |
|
|
|
||
x j ³ 0 , j = |
|
, |
m < n . |
||
1, n |
9
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com
|
|
О п р е д е л ен и е 5 . Совокупность значений проектных |
||||||||||
параметров X = {x1, x2,..., xn}, |
удовлетворяющих ограничениям |
|||||||||||
задачи (2-4), называется допустимым решением, или планом. |
|
|||||||||||
|
|
О п р е д е л ен и е |
6 . |
План X * = {x*, x* |
,..., x*} , |
при |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
n |
|
котором |
целевая |
функция |
(1) принимает |
свое |
максимальное |
|||||||
(минимальное) |
значение, |
|
называется |
оптимальным, |
т.е. |
|||||||
Z(X |
* |
) ³ |
æ |
|
* |
|
ö |
|
|
|
|
|
|
Z(X ) çZ(X |
|
) £ Z(X )÷ . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
Все три формы задачи ЛП эквивалентны, ибо каждая из
них с помощью некоторых преобразований может быть переписана в форме другой задачи. При этом необходимо пользоваться следующими правилами:
1. Задачу минимизации функции можно свести к задаче максимизации, и, наоборот, путем замены знаков
коэффициентов |
c j |
на |
противоположные, |
поскольку |
min Z = - max(-Z) . |
|
|
|
|
2. Ограничения-неравенства (2) можно заменить эквивалентными ограничениями-равенствами путем введения
дополнительных неотрицательных переменных следующим образом:
n
Ограничение-неравенство вида å aij x j £ bi j =1
преобразуется |
|
в |
|
ограничение-равенство |
|||
n |
+ xn+1 |
= bi ,xn+1³ 0 , |
|
xn+1 ³ 0 , |
а |
ограничение- |
|
å aij x j |
|
||||||
j =1 |
|
|
|
|
|
|
|
неравенство вида |
n |
³ bi |
- в ограничение-равенство |
||||
å aij x j |
|||||||
|
|
|
j =1 |
|
|
|
|
n |
- xn+1 |
= bi |
, xn+1 ³ 0 . |
|
|
|
|
å aij x j |
|
|
|
||||
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
При этом число дополнительных переменных равно числу преобразуемых неравенств.
10
PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com