Операции с плавающей точкой

Правило сложения (вычитания):

пусть,– два нормализованных двоичных числа, и(в противном случае мы можем просто поменять их местами). В результате их сложения или вычитания будет получено следующее выражение:

_.

Последовательность вычислений следующая:

1. Порядки чисел A и B выравниваются по большему из них (в нашем случае это n_A). Для этого мантисса числа B сдвигается на n_A-n_B разрядов вправо (часть значащих цифр при этом могут оказаться утерянными), а его порядок становится равным n_A.

2. Выполняется операция сложения (вычитания) над мантиссами с округлением по значению n+1-ой значащей цифры результата.

3. Мантисса результата должна быть нормализована (получившийся после нормализации порядок может отличаться от n_A как в меньшую, так и в большую сторону).

Если порядки равны, сложение-вычитание выполняется следующим образом:

A₁ = m₁pⁿ

A₂ = m₂pⁿ

Тогда:

A₁ + A₂ = m₁pⁿ + m₂pⁿ = (m₁ + m₂)pⁿ

A₁ - A₂ = m₁pⁿ - m₂pⁿ = (m₁ - m₂)pⁿ

Если порядки отличаются, то необходимо вначале их выровнять:

A₁ = m₁ pⁿ¹

A₂ = m₂ pⁿ²

Тогда A₁ + A₂ = m₁ pⁿ¹ + m₂ pⁿ² = (m₁ + m₂p^n2-n1) pⁿ¹

После чего нужно привести m₂p^n2-n1 к нормальному (т.е. к обычному, без показателя степени) виду, сложить с m₁, полученный результат и будет мантиссой суммы, а порядком суммы будет n1.

Умножение-деление

A₁ = m₁pⁿ¹; A₂ = m₂pⁿ²

Тогда:

A₁ * A₂ = m₁pⁿ¹ * m₂pⁿ²= m₁ * m₂ * pⁿ¹* pⁿ² = (m₁ * m₂) * pⁿ¹⁺ⁿ²

A₁ / A₂ = m₁pⁿ¹ / m₂pⁿ² = m₁ / m₂ * pⁿ¹ / pⁿ² = (m₁ / m₂) * p^n1-n2

То есть, при умножении нужно перемножить мантиссы и сложить показатели степени, при делении – разделить мантиссы и вычесть из показателя степени делимого показатель степени делителя. Например:

(1,2·10⁵) · (2·10^-2) = (1,2 · 2) ·10^5-2 =2,4·10³

5. Основные понятия алгебры высказываний. Логические операции

Логические операции

Компьютер выполняет не только арифметические, но и логические операции, используя понятие истины (1, True, T) или ложь (0, False, F). Большое количество технических устройств компьютера, а также программных систем (экспертных, поддержки управленческих решений, интеллектуальных и т.д.) работают на основании математической логики, из всех разделов которой наибольшую популярность приобрели исчисление высказываний и исчисление предикатов.

Исчисление высказываний.

Цель исчисления высказываний состоит в определении их истинности или ложности на основании исходных посылок. В основе такого рода исчислений находится понятие «высказывание», связном повествовательном предложении, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Например, среди следующих предложений:

1. Два умножить на три равно шесть.

2. 5 > 7.

3. Река Волга впадает в Балтийское море.

4. Какая завтра будет погода?

высказываниями являются 1, 2 и 3 предложения и среди них лишь 1 будет истинным. Пример 4 не является высказыванием, так как нельзя сказать истинно оно или ложно.

Логику высказываний не интересует то, о чем идет речь в высказывании. Ее интересует лишь его истинность или ложность, так как она необходима для рассмотрения суждений без учета их внутренней структуры. Логика высказываний использует содержательные символы – выражения языка, имеющие смысл даже в том случае, если они взяты сами по себе. Высказывания обозначаются большими буквами латинского алфавита. Если высказывание A истинно, то пишут A = 1, если ложно, то используют запись A = 0.

На естественном языке из простых связных повествовательных предложений с помощью некоторых стандартных связок можно образовывать составные предложения. В логике высказываний таким связкам соответствуют логические операции.

Операция отрицания

Операция логического отрицания осуществляется над одним высказыванием. Выполнить операцию логического отрицания (обозначается ) – значит получить из данного высказывания новое, присоединяя слова «неверно, что …» ко всему высказыванию. Например, если А = «Луна спутник Земли», то = «неверно, что Луна спутник Земли», что ложно. Истинность высказывания определяется таблицей:

Отрицание
А
1	0
0	1

Отсюда следует, что отрицание высказывания истинно тогда и только тогда, когда высказывание А ложно.

Операция конъюнкции

Конъюнкция (логическое умножение) соответствует союзу 'и' в русском языке. Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба составляющих высказывания истинны. Например, пусть у нас есть два истинных высказывания А= «Земля круглая» и В= «Луна –спутник Земли», тогда их конъюнкцией будет так же истинное высказывание «Земля круглая и Луна – спутник Земли» (А=1, В=1; 1·1=1). В случае, если хотя бы одно из высказываний ложно, например В = «Марс - спутник Земли», их конъюнкция «Земля круглая и Марс – спутник Земли» так же будет ложным высказыванием (А=1, В=0; 1·0)=0. Истинность конъюнкции определяется таблицей:

Конъюнкция
А	В	АВ
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Операция дизъюнкции

Дизъюнкция (логическое сложение) соответствует союзу 'или' в русском языке.

Например, высказывание A – «Декабрь – зимний месяц», В – «В январе сильный мороз», определим высказывание A+B как «Декабрь – зимний месяц или в январе сильный мороз» (А=1; В=1 или В=0; 1+1=1 или 1+0=1). Дизъюнкция истинна, если хотя бы одно из высказываний истинно. Установить истинность логической суммы можно с помощью следующей таблицы:

Дизъюнкция
А	В	А+В
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

То есть дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.

Эквиваленция высказываний А, В - это высказывание, обозначаемое и определяемое следующей таблицей:

Эквиваленция истинна тогда и только тогда, когда образующие её высказывания А, В имеют одинаковые значения.

Импликация

Импликации соответствуют конструкции 'Если ..., то ... ' (' Из ... следует ...').

Импликация высказываний А и В обозначается как . Ее истинность определяется следующей таблицей:

Импликация
А	В
0	0	1
1	0	0
0	1	1
1	1	1

Импликация ложна тогда и только тогда, когдаА - истина, В - ложь.

Допустим А = «Цены высоки» и В = «Товаров продано мало». Тогда импликация является истинным. Элементы высказывания, образующего импликацию, имеют специальные названия:А - посылка (гипотеза, антецедент), В - заключение (вывод, консеквент ).

Формулы исчисления высказываний. Таблицы истинности

Формулы исчисления высказываний – это высказывания, которые могут быть получены из элементарных высказываний (например A, B, 1, 0) посредством применения логических операций отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции. Формулы необходимы для исчисления истинности или ложности составных высказываний, то есть решения логических задач.

Особое значение в логике исчисления высказываний имеют тождественные высказывания и эквивалентные высказывания (формулы де Моргана). Если высказывания в таблице истинности характеризуются либо одними единицами, либо только нулями, то это означает, что они, либо всегда истинны, либо ложны, независимо от истинности входящих в них высказываний. Например, высказывание всегда истинно, а высказывание всегда ложно. Сложные высказывания, истинные при любых значениях входящих в них других высказываний, называются тождественно истинными, а высказывания, ложные при любых значениях входящих в них других высказываний, называются тождественно ложными. Правила де Моргана имеют вид:

;

.

Полезными также являются следующие законы:

(закон склеивания),

(закон поглощения),

(закон обобщенного склеивания).

Тождественно истинные или тождественно ложные высказывания, если они встречаются в формулах, заменяются в них, соответственно единицей или нулем:

, .

Среди высказываний встречаются также и такие, в которых таблицы истинности совпадают. Эти высказывания называются эквивалентными. Эквивалентными являются, например, высказывания и .