4. Системы счисления. Операции над числами в различных системах счисления

Кроме десятичной существует неизмеримое количество других систем, при этом некоторые из них используются для представления и обработки информации в компьютере. Существуют два вида систем счисления: позиционные и непозиционные.

Непозиционными системами называются такие, у которых каждая цифра сохраняет свое значение независимо от места нахождения в числе. Примером может служить римская система счисления, в которой используются такие цифры как I, V, X, L, C, D, M и т.д.

Позиционными называются системы счисления, в которых значение каждой цифры зависит от её места положения. Позиционная система характеризуется основой исчисления, под которой будет пониматься такое число £, которое показывает, сколько единиц какого-либо разряда необходимо для получения единица старшего порядка.

Например, можно записать

.

Что соответствует числам в десятичной системе счисления

,

Индекс снизу указывает на основу счисления.

Для перевода положительных чисел, из одной системы счисления в другую известны два правила:

- перевод чисел из системы , в системус использованием арифметики системы;

- перевод чисел из системы , в системус использованием арифметики системы;

Рассмотрим первое правило. Допустим, число в десятичной системе необходимо представить в двоичной системе . Для этого данное число делится на основание системы представленное в системе , т.е. на 2₁₀. Остаток от деления будет младшим разрядом двоичного числа. Целая часть результата от деления вновь делится на 2. Операцию деления повторять столько раз, пока частное не будет меньше двух.

Пример: 89₁₀ перевести в двоичное число, пользуясь арифметикой десятичной системы счисления

89₁₀ → 1011001₂

Обратный перевод, согласно того же правила, следующий:

1011001₂ перевести в десятичное число, пользуясь арифметикой двоичной системы счисления

Двоичные числа 1000 и 1001 согласно таблице 2.1 соответственно равны 8 и 9. Поэтому 1011001₂ → 89₁₀

Иногда обратный перевод удобнее осуществлять, пользуясь общим правилом представления числа в какой-либо системе исчисления.

Рассмотрим второе правило. Перевод чисел из системы , в системус использованием арифметики системы. Для осуществления перевода необходимо каждую цифру числа в системеумножить на основание системы счисленияпредставленной в системе счисленияи в степени позиции этого числа. После чего полученные произведения суммируются.

Арифметические и логические операции

Арифметические операции

Рассмотрим арифметику двоичной системы счисления, так как именно она используется в современных компьютерах по следующим причинам:

- существуют простейшие физические элементы, которые имеют только два состояния и которые можно интерпретировать как 0 и 1;

- арифметическая обработка очень проста.

Числа в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления обычно используется как средство замены длинного и поэтому неудобного представления двоичных чисел.

Операции сложения, вычитания и умножения в двоичной системе имеют вид:

Как уже было продемонстрировано ранее, чтобы обойтись только сумматором, то есть выполнять лишь операции сложения, операция вычитания заменена на сложение. Для этого код отрицательного числа формируется как дополнение до чисел 2, 10, 100 и т.д.