L01-EM
.pdf18.03.2012
Лекция № 1 Электрическое поле в вакууме
Курс общей физики в 3-х томах, том II. Электричество. / И. В. Савельев. - М.: «Наука», 1970. - 431 с.
2Взаимодействие зарядов. Закон Кулона
•Сила взаимодействия двух точечных зарядов пропорциональна величине каждого из зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними
f k |
q1q2 |
(2.1) |
|
r2 |
|
•где k – коэффициент пропорциональности, q1 и q2 – величины взаимодействующих зарядов r – расстояние между ними
1
18.03.2012
3 Взаимодействие зарядов. Закон Кулона
• Закон Кулона можно записать в векторном
виде: |
|
|
f k q1q2 |
r |
(2.2) |
r2 |
r |
|
•В этом выражении под r следует подразумевать вектор, проведенный от одного заряда к другому и имеющий направление к тому из зарядов, к которому приложена сила f (рис. 2).
4 |
|
|
Электрическое поле. |
||||||||
|
|
|
Напряжённость поля |
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
q |
r |
|
|
|
|
|
|
f qпр |
|
|
(2.3) |
|||||
|
|
|
4 0 |
|
r2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|||
|
|
• |
где коэффициент k = 1/(4πε0); |
||||||||
|
|
|
ε0 – электрическая постоянная; |
||||||||
|
|
|
q – неизменный заряд, который создает поле |
||||||||
|
|
|
E |
f |
|
|
|
|
|
|
(2.4) |
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пр |
|
|
|
|
|
|
• Векторную величину (2.4) называют напряженностью электрического поля в данной точке.
2
18.03.2012
5Электрическое поле. Напряжённость поля
•Направление вектора Е совпадает с направлением
силы f, действующей на положительный заряд qпр. В
случае отрицательного заряда qпр, направление
вектора Е и вектора силы f противоположны.
•С учетом формул (2.3) и (2.4) можно написать:
E |
1 |
|
q |
r |
(2.5) |
4 0 |
|
r2 |
|||
|
|
r |
|
•Направлен вектор Е вдоль радиальной прямой,
проходящей через заряд q и данную точку поля, от
заряда q, если он положителен, и к заряду q, если он
отрицателен
6Суперпозиция полей. Поле диполя
•Напряженность системы зарядов равна векторной
сумме напряженностей полей, которые создавал бы
каждый из зарядов системы в отдельности:
E E1 E2 Ei (2.6)
•Электрическим диполем называется система двух
одинаковых по величине разноименных точечных зарядов +q и –q, расстояние между которыми l
значительно меньше, чем расстояние до тех точек, в
которых определяется поле системы.
Прямая, проходящая через оба заряда, называется
осью диполя.
3
18.03.2012
7Суперпозиция полей. Поле диполя
•Найдем напряженность поля на оси
диполя, а также на
прямой, проходя-
щей через центр
диполя и перпендикулярной к его
оси (рис. 4).
•Положение точек
будем характеризо-
вать их расстояни-
ем r от центра диполя. Напомним, что r >> l.
8Суперпозиция полей. Поле диполя
•На оси диполя векторы Е+ и Е– имеют противоположные направления. Поэтому результирующая напря-
женность Е║ будет равна по модулю разности векторов Е+ и Е–:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
2 |
|
|
|
|
l |
2 |
|||||
|
1 |
|
|
q |
|
|
|
q |
|
|
|
1 |
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||||
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4 0 |
|
|
l |
2 |
|
|
l |
|
4 0 |
|
|
l |
2 |
|
|
l |
2 |
||||||||||||
II |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•Пренебрегая в знаменателе l/2 по сравнению с r,
получаем:
E |
|
1 2ql |
|
1 2 p |
(2.7) |
|||
|
|
|
|
|||||
4 0 r3 |
4 0 r3 |
|||||||
II |
|
|
|
4
18.03.2012
9Суперпозиция полей. Поле диполя
•В (2.7) через р обозначено произведение ql, называемое электрическим моментом диполя.
•Для точек на прямой, перпендикулярной к оси диполя,
Е+ и Е– имеют одинаковые модули, равные:
E |
E |
|
|
1 |
|
|
|
q |
|
|
|
1 q |
(2.8) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
4 0 |
|
|
|
l |
2 |
|
4 0 r2 |
|
||||
|
|
|
|
|
r |
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• Из подобия равнобедренных треугольников,
опирающихся на отрезок l и на вектор Е (рис.4),
следует, что
10Суперпозиция полей. Поле диполя
E |
|
|
|
l |
|
|
|
|
l |
; |
E |
1 ql |
|
1 p |
(2.9) |
|||
E |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
l |
|
4 0 r3 |
4 0 r3 |
||||||||||||
|
r |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• Можно показать, что напряженность поля диполя в
произвольной точке определяется формулой
E |
1 p |
1 3cos2 |
(2.10) |
|||
|
|
|
||||
4 0 r3 |
||||||
|
|
|
•где α – угол между осью диполя и направлением на
данную точку (рис. 5). Подстановка в (2.10) α = 0 (или α = π) и α = π/2 приводит к формулам (2.7) и (2.9)
5
18.03.2012
11Суперпозиция полей. Поле диполя
•Напряженность показанной на рис. 6, а системы зарядов, называемой квадруполем, убывает с расстоянием еще быстрее – как 1/r4. Напряженность
октуполя (рис. 6, б) убывает как 1/r5
12Суперпозиция полей. Поле диполя
•Момент диполя следует рассматривать как вектор р.
•Вектору р приписывается направление от
отрицательного заряда к положительному (рис. 7).
•Если ввести радиус-вектор l, проведенный от –q к +q,
то момент диполя можно представить в виде
p ql |
(2.11) |
6
18.03.2012
13Линия напряженности. Поток вектора напряженности
•Густота линий выбирается так, чтобы количество
линий, пронизывающих единицу поверхности
перпендикулярно поверхности, было равно значению
вектора Е.
•Линии Е точечного заряда представляют собой
радиальные прямые.
E 4 1 0 rq2
• Следовательно, полное число линий N равно
1 q |
4 r2 |
|
q |
(2.12) |
|||
|
|
|
|
||||
4 0 r2 |
0 |
||||||
|
|
|
14Линия напряженности. Поток вектора напряженности
•Если площадка dS ориентирована так, что нормаль к ней образует с вектором Е угол α, то количество линий, пронизывающих площадку, будет численно равно:
EdS cos EndS |
(2.13) |
•где Еn – составляющая вектора Е по направлению нормали к площадке
N численно равно En dS
S
• где выражение для Ф называется потоком вектора Е
7
18.03.2012
15Линия напряженности. Поток вектора напряженности
•В тех местах, где вектор Е
направлен наружу (т. е. линия Е
выходит из объема, охватывае-
мого поверхностью), Еn и соответственно dФ будут
положительны;
•в тех же местах, где Е направлен
внутрь, (т. е. линия Е входит в
объем, охватываемых поверх-
ностью), Еn и соответственно dФ
будут отрицательны (рис. 10)
16Теорема Гаусса
•Можно показать, что, как и для сферической поверхности, для поверхности любой другой формы, если она замкнута и заключает внутри себя точечный
заряд q, поток вектора Е также будет равен q/ε0
(см. ур. 2.12)
8
18.03.2012
17 Теорема Гаусса
• Пусть внутри замкнутой поверхности заключено
нескольких точечных зарядов. Поток вектора Е по
определению равен интегралу по поверхности
EndS |
(2.15) |
S |
|
En En1 En2 Eni |
(2.16) |
• Где Eni – нормальная составляющая напряженности
поля, создаваемого i-м зарядом в отдельности
|
E dS |
qi |
|
||
ni |
0 |
|
|
||
S |
|
18 Теорема Гаусса
EndS |
1 |
qi |
(2.17) |
|
|||
S |
0 |
|
• Доказанное утверждение носит название теоремы Гаусса. Она гласит: поток вектора напряженности
электрического поля через замкнутую поверх-
ность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленных на ε0.
|
E dS |
1 |
dV |
(2.18) |
|
|
|||
|
n |
|
|
|
S |
|
0 V |
|
9
18.03.2012
19Поле бесконечной однородно заряженной плоскости
•Суммарный поток через поверхность оснований
2Е S
•Внутри поверхности
заключен заряд σΔS,
где σ – поверхностная плотность заряда
2E S S
0
E |
|
(2.19) |
|
2 0 |
|||
|
|
20Поле бесконечного заряженного цилиндра
•Для оснований охватывающего цилиндра En = 0, для
боковой поверхности En = E(r).
10