Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Интеграл 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.04.2015

Размер:

436.97 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

tg x2 ctg x2


=		1		¡ cos x	=	sin x	=	1	¡ cos x	;
=	§r1			+ cos x	=	1 + cos x	=		sin x	;
	§r1			+ cos x		1 + cos x			sin x
		1		+ cos x		sin x		1	+ cos x
= §r					=		=			:
= §r			1	¡ cos x	=	1 ¡ cos x	=		sin x	:

Знак выбирается в соответствии со знаком левой части.

Функции кратных аргументов

sin

2x = 2 sin x cos x =

2 tg x

;

1 + tg

cos

2x = cos2 x

sin2 x =

1 ¡ tg2 x

1 + tg2 x

= 2 cos2 x ¡ 1 = 1 ¡ 2 sin2 x ;

2x =

2 tg x

;

1 ¡ tg2 x

ctg x ¡ tg x

ctg

2x =

ctg2 x ¡ 1

ctg x ¡ tg x

;

2 ctg x

sin 3x = 3 sin x ¡ 4 sin3 x ;

cos 3x = 4 cos3 x ¡ 3 cos x ;

tg 3x =

3 tg x ¡ tg3 x

;

ctg 3x =

ctg3 x ¡ 3 ctg x

;

1 ¡ 3 tg2 x

3 ctg2 x ¡ 1

sin 4x = 8 cos3 x sin x ¡ 4 cos x sin x ;

cos 4x = 8 cos4 x ¡ 8 cos2 x + 1 ;

tg 4x =

4 tg x ¡ 4 tg3 x

;

ctg 4x =

ctg4 x ¡ 6 ctg2 x + 1

1 ¡ 6 tg2 x + tg4 x

4 ctg3 x ¡ 4 ctg x

Функции кратных аргументов при больших n

cos nx	=	cosn x ¡ Cn2 cosn¡2 x sin2 x +
		+ Cn4 cosn¡4 x sin4 x ¡ Cn6 cosn¡6 x sin6 x + : : : ;
sin nx	=	Cn1 cosn¡1 x sin x ¡ Cn3 cosn¡3 x sin3 x +
		+ Cn5 cosn¡5 x sin5 x ¡ : : : :

Сумма и разность функций

sin x + sin y =

2 sin

x + y

cos

x ¡ y

;

sin x

sin y =

2 cos

x + y

sin

x ¡ y

;

cos x + cos y =

2 cos

x + y

cos

x ¡ y

;

cos x

cos y =

2 sin

x + y

sin

y ¡ x

;

2¼

cos x § sin x = p2 sin ³

§ x´

= p2 cos ³

¨ x´ ;

tg x

tg y =

sin(x § y)

;

ctg x

ctg y =

sin(x § y)

;

cos x cos y

§ sin x sin y

tg x + ctg y =

cos(x ¡ y)

;

ctg x

tg y =

cos(x + y)

cos x sin y

§ sin x cos y

Произведения функций

sin x sin y =	1	[cos(x ¡ y) ¡ cos(x + y)];

	2
cos x cos y =	1	[cos(x ¡ y) + cos(x + y)];

	2
sin x cos y =	1	[sin(x ¡ y) + sin(x + y)];

	2

cos(x + y) cos(x ¡ y) = cos2 y ¡ sin2 x = cos2 x ¡ sin2 y ; sin(x + y) sin(x ¡ y) = cos2 y ¡ cos2 x = sin2 x ¡ sin2 y;

tg x tg y =

tg x + tg y

tg x ¡ tg y

;

ctg x + ctg y

¡ ctg x

ctg y

ctg x ctg y =

ctg x + ctg y

ctg x ¡ ctg y

;

tg x + tg y

¡ tg x

tg y

tg x ctg y =

tg x + ctg y

tg x ¡ ctg y

;

ctg x + tg y

¡ctg x

tg y

sin x sin y sin z =

[sin(x + y ¡ z) + sin(y + z ¡ x)+

+ sin(z + x ¡ y) ¡ sin(x + y + z)];

sin x cos y cos z =

[sin(x + y ¡ z) ¡ sin(y + z ¡ x)+

+ sin(z + x ¡ y) + sin(x + y + z)];

sin x sin y cos z = 14 [¡ cos(x + y ¡ z) + cos(y + z ¡ x)+

+ cos(z + x ¡ y) ¡ cos(x + y + z)]; cos x cos y cos z = 14 [cos(x + y ¡ z) + cos(y + z ¡ x)+

+ cos(z + x ¡ y) + cos(x + y + z)]:

Формулы понижения степени

sin2 x =	1 ¡ cos 2x	;			cos2 x =	1 + cos 2x	;
	2					2

sin3 x =	3 sin x ¡ sin 3x		;		cos3 x =	3 cos x + cos 3x		;
						4
	4
sin4 x =	cos 4x ¡ 4 cos 2x + 3			;	cos4 x =	cos 4x + 4 cos 2x + 3			:

	8					8

Обратные функции

arcsin x = ¡ arcsin(¡x) = ¼2 ¡ arccos x = arctg p1 x¡ x2 ; arccos x = ¼ ¡ arccos(¡x) = ¼2 ¡ arcsin x = arcctg p1 x¡ x2 ; arctg x = ¡ arctg(¡x) = ¼2 ¡ arcctg x = arcsin p1 x+ x2 ; arcctg x = ¼ ¡ arcctg(¡x) = ¼2 ¡ arctg x = arccos p1 x+ x2 :

Сумма и разность обратных функций

8arcsin

;

³ïðè

1 ¡

èëè1 ¡2

´2

p xy

p x

+ y

arcsin

1 y + y

;

>¼

arcsin x + arcsin y =

ïðè³

; y >

x p

1 ¡ y2 + y

1 ¡ y2 ;

>¡¼ ¡ arcsin x

ïðè

+ y

x < 0; y < 0

> 1;

pxy

¡ arcsin

1 ¡ y2

¡ y

1 ¡ y2

;

ïðè

èëè

ïðè³

; y <

x p

arcsin

;

>¼

arcsin x

arcsin y = >

>¡ ¡

ïðè

arcsin

;

1 ¡

:arccos

x < 0; y > 0 x + y > 1;

¸ p

ïðè

arccos x + arccos y = >

ïðè

x + y p

arccos

;

>2¼

py;

;

arccos

xy +

ïðè

arccos x

arccos y = >

;

>arccos xy +

;

ïðè

x < y

1 ¡ xy

ïðè

x + y

xy < 1;

:arctg

ïðè

arctg x + arctg y =

>¼ + arctg

x + y

x > 0; xy > 1;

¡x + y

ïðè

x < 0; xy > 1;

>¡¼ + arctg

;

xy >

:arctg

1 + xy

arctg x

arctg y =

>¼ + arctg

x + y

; ïðè

x > 0; xy <

¼ + arctg

¡x ¡ y

; ïðè

x < 0; xy <

>¡

1 + xy

Связь тригонометрических (или обратных тригонометрических) функций

a = sin x

a = cos x

a = tg x

a = ctg x

§p1 ¡ a2

sin x

1 + a2

§p1 ¡ a2

cos x

1 + a2

§p1 ¡ a2

§p

tg x

1 ¡ a2

ctg x

1 ¡ a2

§p

1 ¡ a

Знак выбирается в соответствии со знаком левой части. Таблица позволяет найти соотношения как между тригонометрическими, так и между обратными тригонометрическими функциями одного

аргумента. Например, если sin x = a, òî

ctg x =

1 ¡ a2

); arcsin a = arctg

p1 ¡ a2

A.2 Гиперболические функции и обратные к ним

Определения

sh x =	ex ¡ e¡x	;	ch x =	ex + e¡x	;	th x =	sh x	;	cth x =	ch x	:
							ch x			sh x
2			2

Связь с тригонометрическими функциями

sh z = ¡i sin iz; sin z = ¡i sh iz;

ch z = cos iz; th z = ¡i tg iz;	cth x = i ctg iz;
cos z = ch iz; tg z = ¡i th iz;	ctg z = i cth iz:

Здесь z = x+iy комплексное число, i мнимая единица (i2 = ¡1). Равенства, в которых гиперболические функции f встречаются в форме f(x), èëè f(ax), могут быть получены из аналогичных

соотношений для соответствующих тригонометрических функций, если формально заменить sin x íà i sh x è cos x íà ch x.

Основные тождества

ch2 x ¡ sh2 x = 1;			th x cth x = 1;
1			1
1 ¡ th2 x =		;	cth2 x ¡ 1 =		;
	ch2 x			sh2 x
ch x + sh x = ex;			ch x ¡ sh x = e¡x:

Универсальная гиперболическая подстановка

Åñëè t = th

, òî

2 th(x=2)

1 + th2(x=2)

1 + t2

sh x =

;

ch x =

;

1 ¡ t

1 ¡ th (x=2)

dx =

2 dt

;

x = 2 Arth t:

1 ¡ t

Функции отрицательного аргумента

sh(¡x) = ¡ sh x; ch(¡x) = ch x; th(¡x) = ¡ th x:

Формулы сложения

sh(x § y) = sh x ch y § ch x sh y;

th(x § y) = th x § th y ; 1 § th x th y

ch(x § y) = ch x ch y § sh x sh y;

cth(x § y) = 1 § cth x cth y: cth x § cth y

th 2x =

Функции для половинного значения аргумента

2 = §r

;

= r

ch x2¡ 1

ch 2+ 1

;

sh x

ch x ¡ 1

;

ch x + 1

§rch x + 1

sh x

cth

sh x

ch x + 1

= §r

ch x + 1

ch x ¡ 1

sh x

ch x ¡ 1

Знак выбирается в соответствии со знаком левой части.

Функции кратных аргументов

2 th x sh 2x = 2 sh x ch x = 1 ¡ th2 x;

ch 2x = sh2 x + ch2 x = 2 ch2 x ¡ 1 = 2 sh2 x + 1;

sh 3x = 3 sh x + 4 sh3 x;

sh 4x = 4 sh3 x ch x + 4 ch3 x sh x;

2 th x

1 + th2 x;

ch 3x = ¡3 ch x + 4 ch3 x;

ch 4x = ch4 x + 6 ch2 x sh2 x + sh4 x;

cth 2x = 1 + cth2 x : 2 cth x

Сумма и разность функций

sh x § sh y = 2 sh x § y ch x ¨ y; 2 2

ch x + ch y = 2 ch

x + y

x ¡ y

; ch x

ch y = 2 sh

x + y

th x

th y =

sh(x § y)

;

cth x

cth y =

sh(y § x)

ch x ch y

sh x sh y

sh x ¡2 y;

Произведения функций

sh x sh y = 12 [ch(x + y) ¡ ch(x ¡ y)]; ch x ch y = 12 [ch(x ¡ y) + ch(x + y)] ;

sh x ch y = 12 [sh(x ¡ y) + sh(x + y)];

sh(x + y) sh(x ¡ y) = ch2 x ¡ ch2 y = sh2 x ¡ sh2 y; ch(x + y) ch(x ¡ y) = sh2 x + ch2 y = ch2 x + sh2 y:

Формула Муавра

(ch x § sh y)n = ch nx § sh nx:

Формулы понижения степени

sh2 x =	1	(ch 2x ¡ 1);	ch2 x =	1	(ch 2x + 1);

	2			2

Обратные гиперболические функции

y =	Arsh x (ареасинус);	åñëè x = sh y;
y =	Arch x (ареакосинус);	åñëè x = ch y;
y =	Arth x (ареатангенс);	åñëè x = th y;
y =	Arcth x (ареакотангенс);	åñëè x = cth y:

Следует учесть, что y = ch x не во всей области определения мо-

нотонная функция. Поэтому для каждого из двух интервалов монотонности получают свою обратную функцию y = Arch x.

Связь обратных гиперболических функций с логарифмической функцией

y = Arsh x = ln ³x +

´;

x2 + 1

8ln

¡ 1

äëÿ

y = Arch x =

³x ¡

´;

äëÿ x ¸ 1

¡ 1 < y · 0;

· 1

<ln x + px

;

+ ;

+ x

y = Arth x = ln r

ïðè jxj < 1;

¡ x

y = Arcth x = ln r	x + 1		1 x + 1			ïðè jxj > 1:
		=		ln
	x ¡ 1		2		x ¡ 1

Соотношения между гиперболическими (или обратными гиперболи- ческими) функциями

a = sh x

a = ch x

a = th x

a = cth x

sh x

§pa2 ¡ 1

1 ¡ a2

a2 ¡ 1

ch x

pa2 + 1

p 1

th x

p a¡

+ 1

cth x

p a

a2 ¡ 1

Åñëè sh x = a, òî cth x =

paa+ 1

(x ¸ 0), Arsh a = Arcth

paa

+ 1

Знак выбирается в соответствии со знаком левой части.

Сумма и разность обратных гиперболических функций

Arsh x § Arch y = Arsh ³xy §

´ =

(1 + x2)(y2 ¡ 1)

= Arch hy

§ x

¡ 1 i;

1 + x

1 + y

1 + x

Arsh x § Arsh y = Arsh ³x

§ y

´;

Arch x

Arch y = Arsh

¡ 1)(y

¡ 1)

;

xy §

³x

y p

Arth x + Arth y = Arth

;

1 § xy

Arcth x

Arcth y = Arcth

1 § xy

BОбзор методов интегрирования

Âданном приложении приведена сводка основных интегралов и методы их интегрирования c указанием номеров страниц и примеров, в которых подробно разбирается применение этих методов.

Всюду ниже Pn(x), Qm(x) означают полиномы целой степени

относительно x; R[x; u(x); : : : ] рациональную функцию переменных x; u(x); : : : ; u(x) произвольное выражение относительно x.

Предполагается, что квадратные трехчлены, за исключением особо оговоренных случаев, не имеют вещественных корней. Ограничения на области определения приведенных выражений указаны в тексте пособия.


1.	Z	g[!(x)]!0(x) dx (ñ. 9).
. Подстановка !(x) = t . /
			15 17, 20 24.
См. примеры ••
2.	Z	u(x)v0(x) dx			(ñ. 15).
. Интегрирование по частям:
			Z	u(x)v0(x) dx = uv ¡ Z			v(x)u0(x) dx: /
См. примеры •• 29 32.						Qm(x) правильная рациональная
3.	Z		Qm(x) dx;		ãäå n < m,	Qm(x) правильная рациональная
			Pn(x)			Pn(x)

дробь (с. 21).

. Подинтегральную функцию представляют в виде суммы элементарных дробей вида

A		Mx + N	; (k = 1; 2; : : :):

(x ¡ a)k	è (x2 + px + q)k

Интеграл от первой дроби легко сводится к табличному, ко второй применяют методы, изложенные в п.п. 4, 5 данного приложения.

В случае кратных корней полинома Qm(x) для выделения рациональной части интеграла используют формулу Остроградского

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.202539.9 Кб3Инновационный менеджмент.docx
#
01.07.202529.31 Кб2институциональная экономика.docx
#
01.05.202577.31 Кб0ИНСТР,Водитель автом внутризаводск ого транспо...doc
#
01.05.2025228.27 Кб5Инструкция по ведению водно-хим.режима.rtf
#
01.07.2025359.6 Кб1инструкция.docx
#
16.04.2015436.97 Кб48Интеграл 2.pdf
#
18.12.2018138.75 Кб40Инф менеджмент.doc
#
20.04.20194.81 Mб37Инф_КР_1курс_230105.docx
#
01.03.2025113.98 Кб6инфа, билеты.docx
#
16.04.2015321.68 Кб307ИнфМен.docx
#
01.07.2025153.94 Кб1Информатика #12.docx