ftt14

gr = r + a + ( ) :

Отсюда, в частности, получаем для последовательности действия двух преобразований g2 = ta2+ ( 2) 2 è g1 = ta1+ ( 1) 1:

(g2g1) r = g2 1r + a1 + ( 1) = 2 1r + 2a1 + 2 ( 1) + a2 + ( 2)

= f 2 1j 2a1 + 2 ( 1) + a2 + ( 2)g :

Множество точечных преобразований образует точечную группу

симметрии F.

Если в группе G нет нетривиальных трансляций, т.е. 0, то она называется симморфной. В противном случае группа G называется несим-

морфной.

Пример: кристалл GaAs, точечная группа Td (h = 24, Nê.ñ. = 5), симморфная пространственная группа G = Td T (здесь T группа

трансляций).

Важное место в предыдущем семестре уделялось электронной зонной структуре кристаллов. С этой целью при анализе полного набора решений уравнения Шредингера

В частности, из периодичности V (r + a) = V (r) следует теорема Блоха:

полный набор собственных функций гамильтониана H можно выбрать в виде

Кроме теоремы Блоха, была доказана так называемая основная теорема (теорема Вигнера): если (r) решение уравнения (1.4) с энергией E,

то и функция Dg (r) (g 1r) есть решение этого уравнения с тем же значением энергии. Одно из следствий этой теоремы гласит: Enk = En; k, åñëè 2 F.

Замечание. Здесь и далее оператор преобразования функции Dg выбран в форме

ãäå

g 1r = ta+ ( ) 1 r = 1 r a ( ) = 1r 1a 1 ( ) :

Такое определение связано с естественным желанием соблюдения правила умножения операторов Dg2 Dg1 = Dg2g1 . Действительно,

DC3 (r) = x02 y02 = y2 z2 ; D xy (r) = x02 y02 = y2 x2 ;

Рассмотрим преобразование координат у функции f(r) = ax + by2:

DC3 f(r) = ax0 + by02 = ay + bz2 ; DS4z [DC3 f(r)] = ay0 + bz02 = ax + bz2 ;

DS4zC3 f(r) = ax0 + by02 = ax + bz2 :

Зонный индекс n иногда удобно представлять в виде двух индексов n = l; i, где i индекс, нумерующий вырожденные состояния с одним и тем же k, а l индекс, нумерующий энергетические зоны или ветви. Напомним, что в GaAs абсолютный минимум зоны проводимости и максимум валентной зоны располагаются в точке k = 0; без учета спина и

спин-орбитального взаимодействия электронное состояние на дне зоны проводимости невырождено (блоховская функция обозначается симво-

лом S(r) S), а состояние в вершине валентной зоны вырождено трехкратно (блоховские функции обозначаются символами X(r) X и Y; Z).

Курс второго семестра начнется с теории представлений групп.

Определение 2. Пусть дано представление D группы G размерности n. Åñëè n функций i(r)

= Pj Dji(g) j, то говорят, что функции i(r) (i = 1; :::; n) образуют базис

представления D.

Ясно, что рассмотренные во введении функции li(0)(r) порождают некоторое представление пространственной группы G, а сами служат

одним из возможных базисов этого представления. В случае симморфных групп матрицы преобразований, отвечающие точечным элементам

2 F 2 G, образуют представление точечной группы F. В случае несимморфных групп G набор матриц

образует представление точечной группы F. Доказательство последнего утверждения несложно, но для сохранения динамики изложения будет

приведено позднее при анализе ситуации при произвольном k, не обяза-

тельно равном нулю. Интересно отметить, что во втором случае функции li(0)(r) не образуют базис представления (2.7) группы F, òàê êàê íå âñå

элементы этой группы являются операциями симметрии. Для простоты мы далее, пока не будет указано обратное, будем считать пространствен-

ную группу симметрии G симморфной и иллюстрировать теорию представлений групп на языке точечной группы F , содержащей точечные элементы симметрии .

Простейшие свойства представлений групп.

^

D квазидиагональной (и состоящей из двух или более субматриц), если она имеет следующий вид

все компоненты которой равны нулю. Ясно, что в этом случае n > 1. При перемножении квазидиагональных матриц одинаковой размерности и с одним и тем же l отдельные блоки (субматрицы) перемножаются независимо

имеют квазидиагональный вид с одним и тем же l:

представления группы. Символически связь между представлениями D, D(1) è D(2) обозначается в виде

привести к квазидиагональному виду, то представление называется неприводимым (все одномерные представления неприводимы).

На предыдущей лекции мы начали изучать свойства набора функций, преобразующихся при преобразовании координат друг через друга, и ввели понятие представления группы. Замечу, что если матрицы преобразования этих функций унитарны, то они образуют представление (это было доказано на примере блоховских функций). Если матрицы преобразования какого-либо набора преобразующихся друг через друга функций не унитарны, то подбором подходящих постоянных множителей или переходом к линейным комбинациям из данного набора можно составить

другой, который уже будет преобразовываться по унитарным матрицам и поэтому составит базис для некоторого представления группы.

Смысл эквивалентности представлений и их приводимости или неприводимости с точки зрения свойств базисных функций, порождающих это представление

Эквивалентность. Пусть функции i(r) образуют базис представления D группы G. Введем вместо набора i(r) другой набор n функций

При преобразовании координат функции будут преобразовываться друг через друга

т.е. они образуют базис представления D0 = S 1DS, тем самым букваль- p

но эквивалентного представлению D. Например, функции (x + iy)= 2; z, p

(x iy)= 2 преобразуются по представлению, эквивалентному представлению, по которому преобразуются функции x; y; z.

Приводимость и неприводимость. Пусть функции i образуют ба-

зис представления D и пусть некоторым унитарным преобразованием S представление D можно привести к квазидиагональному виду (2.11). Это

означает, что функции 0j (j = 1; :::; l) при преобразованиях симметрии преобразуются только друг через друга и таким же свойством обладают функции 0j (j = l+1; :::; n). Верно и обратное: если функции i образуют

базис представления D и после некоторого унитарного преобразования

разбиваются на группы функций, преобразующихся только друг через друга, то представление D приводимо.