Интервал между двумя событиями

 

Все физические законы механики должны быть инвариантными относительно преобразований Лоренца. Условия инвариантности в случае четырехмерного пространства Минковского представляют непосредственный аналог условий инвариантности  при повороте системы координат в реальном трехмерном пространстве. Например, интервал в СТО является  инвариантом относительно преобразований Лоренца. Рассмотрим это подробнее.

Любые события характеризуются точкой, где оно произошло, имеющей координаты х, у, z и временем t, т.е. каждое событие происходит в четырехмерном пространстве-времени с координатами х, у, z, t.

Если первое событие имеет координаты х₁, у₁, z₁, t₁, другое с координатами х₂, у₂, z₂, t₂, то величину

(7.6)

называют интервалом между событиями.

Если обозначить

   и     t₁₂ = t₂ - t₁,

то интервал

(7.7)

Найдем величину интервала между двумя событиями в любой ИСО.

Для этого будем считать, что в ИСО К          S²=c²t² - x² - у² - z²,

где    t=t₂ - t₁,    x=x₂ - x₁,   у=у₂ - у₁,  z=z₂ - z₁.

Интервал между событиями в движущейся ИСО К^*

(S^*)²=c²(t^*)² - (x^*)² - (у^*)² - (z^*)².

Согласно преобразованиям Лоренца, имеем для ИСО К^*

; у^* =у;       z^*=z;      . 

С учетом этого

(S*)2=c2t2 - x2 - у2 - z2=S2.

(7.8)

Следовательно, интервал между двумя событиями является инвариантом к переходу от одной ИСО к другой.

Релятивистский импульс

Уравнения классической механики инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея, по отношению же к преобразованиям Лоренца они оказываются неинвариантными. Из теории относительности следует, что уравнение динамики, инвариантное по отношению к преобразованиям Лоренца, имеет вид:

где - инвариантная, т.е. одинаковая во всех системах отсчета величина называемая массой покоя частицы, v- скорость частицы, - сила действующая на частицу. Сопоставим с классическим уравнением

Мы приходим к выводу, что релятивистский импульс частицы равен

(6.7)

Релятивистская масса.

Определив массу частицы m как коэффициент пропорциональности между скоростью и импульсом, получим, что масса частицы зависит от ее скорости.

(6.8)

Энергия в релятивистской динамике.

Для энергии частицы в теории относительности получается выражение:

(6.9)

Из (2.3) следует, что покоящаяся частица обладает энергией

(6.10)

Эта величина носит название энергии покоя частицы. Kинетическая энергия, очевидно, равна

(6.11)

Приняв во внимание, что , выражение для полной энергии частицы можно написать в виде

(6.12)

Из последнего выражения вытекает, что энергия и масса тела всегда пропорциональны друг другу. Всякое изменение энергии тела сопровождается изменением массы тела

и, наоборот, всякое изменение массы сопровождается изменениемэнергии . Это утверждение носит название закона взаимосвязи или закона пропорциональности массы и энергии.