36

Предел функции в точке.

Пусть дана функция f(х) с областью определения Х.

Определение 1. (по Коши). Число А называется пределом функции f(x) при х→х₀, если для любого сколь угодно малого числа >0 можно указать такое число δ>0 (зависящее от , δ=δ()), что для всех хХ таких, что 0<|x-x₀|<δ выполняется неравенство |f(х)-A|<.

Т.е. >0 δ=δ(E)x: 0<|x-x₀|<δ |f(х)-A|< (1)

, f(x)→A, x→x₀

Замечание. 1) Неравенство (1) не поверяется при х=х₀.

2) Принципиальны лишь малые  и .

Пример. 1) f(x)=. Покажем, что

>0 δ=δ(E)x: 0<|x|<δ||<

||=|2х||2х|=2х< =, тогда

>0 δ=x: 0<|x|<δ||<2х<

Геометрический смысл.

Неравенство |x-x₀|<δ равносильно неравенству х₀-δ<x<x₀+δ

Неравенство |f(х)-A|<E равносильно неравенству A-E<f(x)<A+E

Т.Е. Для всех значений х, попадающих в дельта-окрестность точки х0, соответствующие значения функции попадают в е-окрестность величины а.

Получаем топологическое определение 2. Число А называется пределом функции f(x) при х→х₀, если для любого сколь угодно малого числа Е>0 найдется такое число δ>0 (зависящее от Е, δ=δ(Е)), что для всех х, попадающих в дельта-окрестность точки х₀, соответствующие значения функции попадают в Е-окрестность величины А.

W(A) V(x₀): xV(x₀)\{x₀} f(х)W(A) (3)

Предела функции в точке х₀ не существует. Существуют односторонние пределы.

Принципиальное значение имеют малые окрестности.

Определение 3. (по Гейне). Число А называется пределом функции f(x) при х→х₀ (в точке х₀), если для любой последовательности {x_n}, сходящейся к х₀ (x_n≠x₀ n), последовательность {f(x_n)} соответствующих значений функции сходится к А.

Теорема (определение по Гейне, в терминах последовательности). Определения 1 и 3 равносильны, т.е.

Для того, чтобы число А было пределом функции f при х→х₀ необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности {x_n}, сходящейся к х₀ (x_n≠x₀ n) приn→, последовательность {f(x_n)} соответствующих значений функции сходится к А.

Доказательство. Необходимость. Пусть .

Показать, что {x_n}, сходящейся к х₀, последовательность f(x_n)→n, n→.

Т.к. , то >0 δ=δ(E) x: 0<|x-x₀|<δ |f(х)-A|<

х_n→x₀, то для  N:n>N|х_n-x₀|<, тогда |f(х_n)-A|< n>N,т.е. f(x_n)→А.

Достаточность. Дано {x_n},x_n→х₀,f(x_n)→n, n→. Показать, что .

Допустим противное, что число А не является пределом функции f(x) при х→х₀.

Т.е.

Возьмем _n=,тогда

Получим, , тоне стремиться к А приn→. Получили противоречие. Следовательно, ч.т.д.

Свойства пределов функции в точке.

Теорема 1. Если функция f(x) имеет предел при х→х₀ , то этот предел определяется единственным образом.

Доказательство. Допустим противное, f(x) имеет 2 предела А≠В при х→х₀.

Выберем последовательность {x_n}→х₀ (x_n≠x₀ n), тогдаf(x_n)→А и f(x_n)→В, следовательно А=В (т.к. предел последовательности единственный). Ч.т.д.

Теорема 2. Если функция f(x) имеет предел при х→х₀, то на некоторой окрестности V(x₀) точки х₀ функция f(x) ограничена, т.е. существует число

С>0:

Доказательство. Пусть , тогда существует такая окрестностьV(x₀) точки х₀ такой, что 1>f(x)-Af(x)-А, т.е. f(x)1+А.

Возьмем С=1+А. ч.т.д.