Ряды Фурье

Ряды Фурье

п.1. Абсолютно интегрируемые функции

Пусть функция f определена на промежутке [a,b), a<b, ограничен- ном или неограниченном и интегрируема на сегменте [a,x] при всяком х, a<х <b. На всем промежутке [a,b) такая функция может оказаться как ин- тегрируемой, так и неинтегрируемой. В первом случае - опреде- ленный интеграл, во втором ( когда либо b особая точка для f , либо b = +∞) - несобственный, сходящийся или расходящийся. То же справедливо и по отношению к интегралу : в первом случае это определенный интеграл, во втором - несобственный. Если b – особая точка для f , или если b = +∞ , справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Если сходится,то сходится и .

► Пусть и - неотрицательные составляющие функции f . Тог- да | f | = , и при всяком х, a< х <b, имеем = + +; отсюда, так как и неотрицательны, вытекают неравенства ≤ и ≤ , справедливые при всяком х, a<х <b. Кроме того, при тех же х ≤ . Таким образом, каж- дый из интегралов с переменным верхним пределом и не убывает на [a,b) и ограничен сверху числом ; значит, существу- ют пределы и . Тогда существует и предел = , т.е. интеграл сходится.◄

Определение 1. Функцию f назовём абсолютно интегрируемой на [a,b), если интеграл существует (т.е. является либо определен- ным интегралом, либо сходящимся несобственным).

Теорема 2. (Признак Вейерштрасса) Пусть функции f и g интег- рируемы на всяком сегменте [a,x], где a<х <b. Если 1) при всех |f(x)| ≤ g(x) (следовательно, g неотрицательна на [a,b) ) и 2) существует, то f абсолютно интегрируема на [a,b).

► Из 1) следует: при всех . Так как g не- отрицательна на [a,b), то ≤ . Следовательно, при всех , т.е. не убывающая на [a,b) функция ог- раничена сверху числом . Значит, существует , а это означает, что существует ; поэтому f абсолютно интегрируема на [a,b).◄

Пусть функция f определена на промежутке (a,b], a<b, ограничен- ном или неограниченном и интегрируема на сегменте [x,b] при всяком х, a< х <b. Для такой функции и - либо определенные ин- тегралы (когда f интегрируема на ограниченном (a,b], либо несобствен- ные, сходящиеся или расходящиеся ( когда а – особая точка для f или a = -∞) . Если сходится, то сходится и - доказательство этого утверждения аналогично доказательству теоремы 1 .

Определение 2. Функцию f назовём абсолютно интегрируемой на (a,b], если интеграл существует.

Теорема 3. (Признак Вейерштрасса) Пусть функции f и g интег- рируемы на всяком сегменте [x,b], где a< х <b. Если 1) при всех |f(x)| ≤ g(x) и 2) существует, то f абсолютно интегрируема на (a,b]

Доказательство здесь аналогично доказательству теоремы 2.

Пусть функция f определена на интервале (a,b), a<b, ограниченном или неограниченном и интегрируема на всяком сегменте, содержащемся в (a,b). Тогда интегралы и - либо определенные ( когда (a,b) ограничен, а f интегрируема на нем), либо несобственные, сходящие- ся или расходящиеся ( когда хотя бы один из концов a и b является особой точкой для f или интервал (a,b) неограничен). Напомним: несобственный интеграл по (a,b) называют сходящимся, если существуют интег-ралы и ( т.е. либо оба они сходящиеся несобственные, ли- бо один из них определенный интеграл, а другой – сходящийся несобст -венный); здесь с – точка, произвольно выбранная на (a,b). Из изложенного выше ясно: если существует, то существует и .

Определение 3. Функцию f назовём абсолютно интегрируемой на (a,b), если интеграл существует.

Теорема 4 (Признак Вейерштрасса) Пусть функции f и g интегри- руемы на всяком сегменте, содержащемся в (a,b). Если 1) при всех |f(x)| ≤ g(x) и 2) существует, то f абсолютно интегрируема на (a,b).

Это утверждение непосредственно вытекает из теорем 2 и 3.

Пусть - произвольный промежуток, ограниченный или не- ограниченный, а функция f определена во всех точках этого промежутка, за возможным исключением нескольких точек x_j , j=0,1,2,…,l, где . - в них f может быть определена, но не обязатель- но. Потребуем, чтобы f была интегрируема на любом сегменте, который лежит на и не содержит ни одной из точек x_j , j=0,1,2,…,l. Тогда каждый из интегралов от функции f по интервалам (x_j-1,x_j), j =1,2,…,l, является либо определенным интегралом, либо несобственным, сходящим- ся или расходящимся. Символом обозначим интеграл от функции f по промежутку , определив это понятие как сумму интегралов по интервалам (x_j-1,x_j), j =1,2,…,l : . Интеграл на- зовем определенным, если все слагаемые в этой сумме являются опреде- ленными интегралами. и несобственным, если хотя бы одно слагаемое представляет собой несобственный интеграл. Несобственный интеграл назовем сходящимся, если сходятся все несобственные интегралы, входящие в сумму ; в противном случае, т.е. когда среди слага- емых имеется хотя бы один расходящийся интеграл, будем говорить, что расходится. Будем говорить, что интеграл существует, ес- ли он являетя либо определенным, либо сходящимся несобственным ин -тегралом. Иными словами, интеграл существует, если существуют все интегралы , j=0,1,2,…,l, т.е. если каждый из них является либо определенным, либо сходящимся несобствнным интегралом. Ввиду изло- женного выше ясно: если существует , то существует и .

Определение 4. Функцию f, удовлетворяющую на сформулиро- ванным выше условиям, назовем абсолютно интегрируемой на , если существует.

Отметим, что функция, абсолютно интегрируемая на промежутке [a,b), (a,b] или (a,b) ( см. определения 1,2,3), удовлетворяет и определе- нию 4; в этих трех случаях можно считать, что набор состоит из двух точек а и b.

Теорема 5 (Признак Вейерштрасса) Пусть функции f и g удов- летворяют на сформулированным выше условиям. Если 1) при всех (x_j-1,x_j), j =1,2,…,l, |f(x)| ≤ g(x) и 2) существует , то f абсо- лютно интегрируема на .

Это утверждение является следствием теорем 2,3,4.

п.2. Тригонометрический многочлен. Тригонометрический ряд

Пусть n – натуральное число, а и - заданные веществен- ные числа. Обозначим : . называют тригонометрическим многочленом порядка не выше n, числа и - его коэффициентами, и - его старшими коэффициентами. Если хотя бы один из старших коэффициентов отличен от нуля, называют тригонометрическим многочленом порядка n. Очевидно, есть 2π – периодическая функция, непрерывная на всей числовой оси. Приведем формулировку одной из важнейших теорем математического анализа.

Теорема 1. (Теорема Вейерштрасса о приближении непрерывной функции тригонометрическими многочленами) Пусть функция f непре- рывна на сегменте [-π,π] , причем f (-π )= f(π) . Тогда существует последо- вательность тригонометрических многочленов, равномерно сходя- щаяся на [-π,π] к функции f, т.е.

Доказательство этой теоремы можно найти в руководствах по мате- матическому анализу.

Пусть заданы две последовательности вещественных чисел и . Функциональный ряд , где , а при всяком натуральном , называют тригонометрическим рядом. Его n- ая частичная сумма представляет собой тригонометрический многочлен порядка не выше n. Если тригонометриче- ский ряд сходится на некотором промежутке , то он сходится на вся- ком промежутке вида , где р – целое число. Если он сходит ся на сегменте [-π,π], то он сходится на всей числовой оси, а его сумма есть 2π – периодическая функция. Если ряд равномерно сходится на [-π,π], то - непрерывная 2π – периодическая функция.

Лемма. При любых целых p и q

Для доказательства этих равенств нужно преобразовать подынтег- ральные произведения в суммы.

Теорема 2. (О коэффициентах равномерно сходящегося тригоно-метрического ряда) Пусть тригонометрический ряд

равномерно сходится на [-π,π] , а - его сумма. Тогда

при

► На сегменте [-π,π] справедливо

(1) Проинтегрируем это равенство. Так как равномерно сходящийся ряд можно интегрировать почленно, получим:

Отсюда: Пусть р – заданное натуральное число. Умножим (1) на cospx и проинтегрируем полученное равенство. Учитывая равенства леммы, получим:

Отсюда: Аналогично, умножив (1) на sinpx, до- кажем равенство . ◄

п.3. Коэффициенты Фурье и ряд Фурье функции, абсолютно

интегрируемой на

Пусть функция f определена во всех точках сегмента , за исключением, быть может, точек x_j, j=0,1,2,…,l, (они могут быть особыми точками для функции f ) и абсолютно интегри- руема на . Заметим,что при любом натуральном k существуют ин- тегралы и . Действительно, при всех имеем |f(x) coskx| ≤ g(x), где g(x) = |f(x)|, причем существует, так как f абсолютно интегрируема на . В силу признака Вейерштрасса f(x) coskx абсолютно интегрируема на ; значит, суще- ствует. Существование устанавливается аналогично.

Введем обозначения:

при . Числа и называют коэффициентами Фурье функции f ; триго- нометрический ряд называют рядом Фурье этой функции.

Замечание. Если тригонометрический ряд равномерно сходится на , а S(x) – его сумма, то коэффициенты ряда являются коэффициентами Фурье функции S(x) ( см. теорему 2, п.2).

Пусть ряд Фурье функции f сходится на некотором множестве Х . Тогда на Х определена функция S(x) – сумма ряда Фурье и, значит, на этом множестве определены две функции - f(х) и S(x). Вообще говоря, они различны между собой. Если же на множестве Х f(х) и S(x) совпада- ют, то говорят что функция f разлагается на множестве Х в ряд Фурье и при этом записывают: f(х) = на множестве Х.

Приведем формулировки основных теорем о разложении функции в ряд Фурье. Сначала введем в употребление следующие определения.

Пусть - ограниченный промежуток, а , - набор некоторых точек. Сформулированные ниже определе- ния касаются функций, которые определены во всех точках этого проме- жутка, за возможным исключением точек x_j , j=0,1,2,…,l, - в них рассмат- риваемые функции могут быть определены, но не обязательно.

Определение 1. Будем говорить, что функция f кусочно-монотонна на , если f монотонна ( т.е. либо не убывает, либо не возрастает) на каждом из интервалов X_j =(x_j-1, x_j), j=1,2,…,l .

Определение 2. Будем говорить, что функция f кусочно- непрерывна на , если

1. f непрерывна на каждом из интервалов X_j =(x_j-1, x_j), j=1,2,…,l;

2. в каждой из внутренних точек x_j, j= 1,2,…,l-1, cуществуют односторонние пределы f(x_j-0) и f(x_j+0);

3. существуют f(a_j+0) и f(b_j-0).

Заметим, что в точках x_j , j=0,1,2,…,l кусочно – непрерывная функ- ция может быть не определена; если же она определена в точке x_j , то её значение f (x_j ) может не совпадать с её односторонними пределами в этой точке. Кусочно- непрерывная на функция ограничена на и либо непрерывна на этом промежутке, либо имеет на нем конечное количество точек разрыва первого рода. Отсюда вытекает, что f интегрируема, а пото- му и абсолютно интегрируема на .

Определение 3. Функцию f назовём кусочно-гладкой на промежут- ке , если она имеет на этом промежутке кусочно- непрерывную про -изводную.

Теорема 1. (Теорема Дирихле) Пусть функция f кусочно- монотонна и кусочно- непрерывна на сегменте . Тогда её ряд Фурье сходится в каждой точке этого сегмента, а для его суммы S(x) справедливы утвержде- ния:

1. при всяком S(x) = ;

2. S(-π) = S(π) = .

Замечание. Во всякой точке интервала , в которой f непрерыв- на, имеет место равенство f(х) = S(x).

Следствие. Если функция f кусочно –монотонна и непрерывна на и удовлетворяет условию f(-π) = f(π), то она разлагается на этом сегменте в ряд Фурье.

Теорема 2. Пусть функция f 1) абсолютно интегрируема на сегмен- те , 2) в каждой точке интервала существуют односторонние производные и , 3) существуют односторонние производ- ные и . Тогда ряд Фурье этой функции сходится на , а для его суммы S(x) справедливы утверждения:

1) если , то S(x) = ;

2. S(-π) = S(π) =

Замечание. Утверждения 1) и 2) справедливы, если функция f явля- ется кусочно- гладкой на .

Теорема 3. Функция f , непрерывная и кусочно- гладкая на сегмен- те и удовлетворяющая условиям f(-π) = f(π), (-π) =(π) разлагает- ся на этом сегменте в ряд Фурье, равномерно сходящийся на .

Ввиду грамоздкости доказательств этих теорем мы их здесь не при- водим; их можно найти в руководствах по математическому анализу.

п.4. Почленное дифференцирование и интегрирование ряда Фурье

Пусть функция f и её производная абсолютно интегрируемы на и , кроме того, f(-π) = f(π). Запишем ряды Фурье этих функций:

f(х) ; (х) . Здесь символ означает, что тригонометрический ряд представляет собой ряд Фурье соответствующей функции; при этом не предполагается, что функция разлагается в этот ряд, не предполагается даже, что этот ряд сходится. Запишем выражения для коэффициентов Фурье производной :

при . Пусть функция такова, что к этим интегралам применима формула ин- тегрирования по частям ( например, непрерывна на .). Тогда, учи- тывая равенство f(-π) = f(π), получим:

;

;

Таким образом, ряд Фурье для производной записывается в следу- ющем виде: (х) . Легко заметить, что этот ряд можно получить, произведя формальное почленное дифференцирование ряда Фурье функции f. Этим обстоятельством пользуются, если известен ряд Фурье функции и требуется записать ряд Фурье производной этой функции. Обратим еще раз внимание на то, что при этом не нужно выяс- нять, разлагаются ли функция и её производная в ряды Фурье. Описанное построение ряда Фурье производной носит чисто формальный характер; сумма построенного ряда, если она вообще существует, вовсе не обяза- тельно совпадает с производной .