05-11-2014_14-27-37 / LebegaFunction
.pdf
Функция и постоянная Лебега Конспект §9 учебного пособия "Лекции по методам вычислений\ И.П. Мысовских
Пусть f(x) 2 C[a; b], рассмотрим X бесконечную матрицу узлов из [a; b], определяющую интерполяционный процесс. Если Pn(f ; x) интерполяционный многочлен функции f(x), построенный по узлам x(0n) ; x(1n) ; : : : ; x(nn) из n + 1 строки матрицы X, то
Pn(f ; xi(n)) = f(xi(n)); |
i = 0; 1; : : : ; n : |
Используя представление в форме Лагранжа получим
n
X
Pn(f ; x) = lk(n)(x) f(x(kn));
|
|
k=0 |
|
|
где |
|
|
|
|
lk(n)(x) = |
!n+1(x) |
; |
||
(x xk(n)) !n0 |
+1(xk(n)) |
|||
|
|
|||
n
Y
!n+1(x) = (x x(kn)) :
k=0
Тогда
n
jPn(f ; x)j max j f(x(kn)j
(n) xk
Определение 1
Функция
n
X
j lk(n)(x)j : (1)
k=0
|
Xk |
n(x) = |
j lk(n)(x)j; |
|
=0 |
определяемая n + 1 строкой матрицы X, называется функцией Лебега интерполяционного процесса (ИП).
Замечание 1 Из (1) и Определения 1 непосредственно следует, что
jPn(f ; x)j n(x) k f kC[a;b] |
8x 2 [a; b] : |
(2) |
Определение 2 Число
n = max n(x) = k n kC[a;b] x2[a;b]
называется постоянной Лебега ИП. Замечание 2
Из (2) и Определения 2 непосредственно следует, что
jPn(f ; x)j n k f kC[a;b] |
8x 2 [a; b] : |
(3) |
Тогда
k Pn(f ; ) kC[a;b] n k f kC[a;b] : |
(4) |
1
Обозначим через Pn (x) полином наилучшего равномерного приближения функции f. Получим оценку погрешности алгебраического интерполирования Rn(f ; x) =
f(x) Pn(f ; x) через наилучшее равномерное приближение En(f) = k f Pn kC[a;b] . Очевидно, что
jRn(f ; x)j = jf(x) Pn (x)+Pn (x) Pn(f ; x)j jf(x) Pn (x)j+jPn (x) Pn(f ; x)j : (5)
Далее, получим оценки для каждого из слагаемых в правой части неравенства (5).
jf(x) Pn (x)j k f Pn kC[a;b] = En(f) : (6)
А так как любой алгебраический многочлен степени не выше n совпадает со своим интерполяционным многочленом, можно записать, что
jPn (x) Pn(f ; x)j = jPn(Pn ; x) Pn(f ; x)j = jPn(Pn f ; x)j :
Воспользуемся затем представлением в форме Лагранжа для него, имеем
jPn(Pn f ; x)j = |
lk(n)(x) [Pn (xk(n)) f(xk(n))] |
jlk(n) |
(x)j jPn (xk(n)) f(xk(n))j : |
||
n |
|
|
n |
|
|
k=0 |
k=0 |
|
|
||
X |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И, далее, так как очевидно |
|
|
|
|
|
|
jPn (xk(n)) f(xk(n))j En(f) ; |
|
|
||
то учитывая Определение 1, получим оценку для второго слагаемого в (5): |
|||||
|
jPn (x) Pn(f ; x)j En(f) n(x) : |
(7) |
|
||
Следовательно, согласно (5), (6) и (7), имеем: |
|
|
|
|
|
jRn(f ; x)j (1 + n(x)) En(f) |
8x 2 [a; b] : |
(8) |
|||
Поскольку 8x 2 [a; b] |
n(x) n , то из (8) вытекает оценка |
|
|||
jRn(f ; x)j (1 + n) En(f) |
8x 2 [a; b] ; |
|
|||
откуда непосредственно следует, что |
|
|
|
|
|
|
kRn(f ; )kC[a;b] (1 + n) En(f) : |
(9) |
|
||
Получив неравенства (8) и (9) мы фактически доказали следующую теорему: Теорема
Если f(x) 2 C[a; b] и в некоторой точке x 2 [a; b] выполняется условие:
lim n(x) En(f) = 0 ;
n!1
то ИП, определяемый матрицей X для f сходится в точке x. Если же
lim n En(f) = 0 ;
n!1
2
то ИП для f сходится равномерно. Замечание 3
Наилучшее равномерное приближение En(f) зависит только от f; функция Лебегаn(x) и постоянная Лебега n определяются матрицей узлов X. Известно, что при
n!1
конечном [a; b] 8f 2 C[a; b] En(f) ! 0. Известно также, что 8 X 9f 2 C[a; b], для которой ИП, определяемый X не сходится равномерно. Значит, в связи с оценкой
(9) и вышесказанным следует, что
8 X lim n = +1 :
n!1
3