05-11-2014_14-27-37 / Convergence IP
.pdf
Некоторые сведения о сходимости интерполяционных процессов.
Конспект §9 учебного пособия "Лекции по методам вычислений\ И.П. Мысовских
С конечным отрезком [a; b] свяжем бесконечную треугольную матрицу:
0 x(0)0
B x(1)0
B
X = B ...
B
B
@ x(0n)
: : :
x(1)1
...
x(1n)
: : :
1
C
C
C:
C
C x(2n) : : : x(nn) A
: : : : : : : : :
Все элементы матрицы X принадлежат [a; b], при этом элементы одной строки попарно различны. Назовем X треугольной матрицей узлов.
Пусть f(x) заданная на [a; b] конечная функция, а Pn(x) интерполяционный многочлен функции f(x), построенный по узлам из n + 1 строки X, т. е.
Pn(xni ) = f(xni ); i = 0; 1; : : : ; n ; n = 0; 1; : : : :
Получим последовательность интерполяционных многочленов fPn(x)g1n=0. Будем говорить, что матрица X определяет интерполяционный процесс (ИП) на [a; b]. Рассмотрим вопрос о сходимости последовательности fPn(x)g1n=0 к функции f(x) на отрезке [a; b]. Ответ на этот вопрос зависит как от матрицы X, так и от функции f(x).
Определение 1 Если для некоторого x 2 [a; b] limn!1 Pn(x) = f(x), то будем говорить, что интерполяционный процесс для функции f сходится в точке x. Определение 2 Если limn!1 Pn(x) = f(x) при всех x 2 [a; b], при этом сходимость равномерна на [a; b], то будем говорить, что интерполяционный процесс для функции
n!1
f сходится равномерно и использовать обозначение: Pn =) f.
Рассмотрим на плоскости комплексного переменного замкнутую область @, которая есть объединение двух замкнутых кругов с центрами в концах отрезка [a; b] и радиусом R = b a.
Теорема 1 (В.И. Крылова) (без доказательства)
Если аналитическая функция f(x) регулярна в замкнутой области @, то при любом выборе узлов из [a; b] (или, что то же самое, 8X), интерполяционный процесс (ИП) для f, определяемый X, сходится равномерно на [a; b].
При этом, область регулярности @ является наименьшей, обеспечивающей равномерную сходимость интерполирования при любой матрице узлов X.
Теорема Крылова гарантирует равномерную сходимость ИП 8X для функций весьма узкого класса. Рассмотрим более широкий класс: C[a;b]. Оказывается, что никакая матрица узлов X не может обеспечить равномерную сходимость ИП для любой функции f 2 C[a;b].
Теорема 2 (Фабера) (без доказательства)
Какова бы ни была треугольная матрица узлов X, найдется такая непрерывная на [a; b] функция f(x), что ИП для неё не сходится равномерно.
Приведем примеры, показывающие характер расходимости ИП для непрерывных
функций. |
[ |
|
1;1] |
|
матрицу равноотстоящих узлов X0, у которой строка с |
|||||
С отрезком |
|
свяжем |
||||||||
|
|
(n) |
|
|
|
|
||||
номером n + 1 имеет элементы xk |
= 1 + |
2nk |
; |
k = 0; 1; : : : ; n: |
||||||
Пример 1:
Рассмотрим усеченную степенную функцию (r 2 N, x 2 R):
x+r = (maxf0; xg)r = |
(0; |
x 0: |
|
xr; |
x > 0; |
|
|
|
xr+ имеет непрерывные производные до порядка r 1 включительно, однако, ИП, определяемый матрицей X0 для неё, расходится во всех точках отрезка [ 1;1], кроме
1; 0; 1.
Пример 2 (С.Н. Бернштейна):
Рассмотрим f(x) = jxj, где x 2 [ 1;1]. Для такой функции также нет сходимости, кроме точек 1; 0; 1.
Пример 3:
Пусть f(x) = 1+251 x2 , где x 2 [ 1;1]. Для неё ИП, определяемый матрицей узлов X0, сходится на отрезке [ ; ], где 0; 726, и расходится во всех остальных точках
отрезка [ 1;1]. Замечание 1
Вспомним первую теорему Вейерштрасса о том, что любую непрерывную функцию можно сколь угодно хорошо приблизить алгебраическим многочленом:
8f 2 C[a; b] 8 > 0 9n 2 N; 9Pn 2 Pn k f Pn kC[a;b] < .
Следствие (о сходимости наилучших равномерных приближений En(f) непрерывной
функции): |
C[a; b] |
|
|
|
P (x) |
|
|
|
наилучшего равномерного приближения |
|||||||
Пусть |
f |
|
2 |
, если |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
полином n |
!1 0 |
||||||||
функции |
f(x) |
, тогда |
E |
(f) = f |
|
P |
|
|||||||||
|
n |
n |
|
k |
|
n kC[a;b] ! . |
||||||||||
Значит, |
P |
!1 |
f |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
9X – матрица узлов интерполирования, |
|||||
Теорема |
3 |
(Марцинкевича) 8f 2 C[a;b] |
||||||||||||||
n!1
такая, что интерполяционный процесс Pn =) f. Доказательство:
Обозначим через Pn (x) – полином наилучшего равномерного приближения функции f(x) на [a;b]; n = 0; 1; : : : Тогда по теореме Чебышёва об альтернансе найдутся n + 2 точки: a t0 < t1 < : : : < tn+1 b, такие, что разность f Pn достигает в них максимального по модулю значения на [a;b] с чередующимися знаками. Итак,
|
|
|
f |
|
P |
концах отрезка [ti; ti+1] принимает значения разного |
||||||||||
непрерывная функция |
|
n на |
|
|
(n) |
|
(ti; ti+1), такая, что f(x |
(n) |
|
|
P (x |
(n) |
) = 0, т.е. |
|||
знака. Тогда (по теореме Коши) |
9 |
x |
|
2 |
|
) |
|
|
||||||||
(n) |
(n) |
|
|
|
|
|
i |
|
i |
|
n |
i |
|
|||
f(xi |
) = Pn (xi |
) i = 0; 1; : : : ; n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким образом, Pn (x) – интерполяционный многочлен для f(x), построенный по узлам x(in); i = 0; 1; : : : ; n. Возьмем их за элементы n + 1 строки матрицы узлов X.
n!1
Матрица X – требуемая, т.к. Pn =) f (смотри следствие). Теорема доказана. Замечание 2 Теорема Марцинкевича имеет лишь теоретическое значение, так как сама по себе
задача отыскания полинома наилучшего равномерного приближения непрерывной функции трудна.
Теорема 4 (без доказательства) Если f(x) целая функция, то для любой матрицы узлов X, определяемый ею интерполяционный процесс равномерно сходится на любом ограниченном множестве.
Замечание 3
n!1
Сведения о скорости сходимости En(f) = ! 0 можно почерпнуть в прямых и обратных теоремах теории приближения (носяших имена Джексона и Бернштейна соответственно). Здесь мы их не рассматриваем.