Универсальные функции

Функция двух натуральных аргументов называетсяуниверсальной для класса всех вычислимых функций одного аргумента, если для каждого функциявычислима и любая вычислимая функцияодного переменного совпадает с одной из функций

Теорема 4. Существует вычислимая функция двух аргументов, являющаяся универсальной функцией для класса всех вычислимых функций одного аргумента.

Доказательство. Вычислимые (т.е. рекурсивные) функции одного аргумента получаются из функций оsс помощью операций суперпозиции S, примитивной рекурсии R и минимизации М. Значит, всякая функция одного переменного – это слово в алфавите о, s, S, R, M, (, )}. Очевидно, существует алгоритм перебора всех таких слов (начиная со слов длины 1), а также алгоритм“отбраковывания” бессмысленных слов, т.е. слов, не определяющих никакой функции. Далее, существует алгоритм“перевода” слова, задающего рекурсивную функцию, в программу машины Тьюринга. Алгоритм вычисления универсальной функциибудет состоять теперь в следующем. Пусть заданыиВключаем алгоритмыии находимп-е слово, определяющее рекурсивную функцию Далее включаем алгоритмсоставления программы для машины ТьюрингаЗапускаем машинудля аргумента, равногои получаем

Теорема 5. Не существует вычислимой всюду определённой функции двух аргументов, универсальной для класса всех вычислимых всюду определённых функций одного аргумента.

Доказательство. Для доказательства мы применим диагональный метод Кантора. Предположим, что такая функция существует. То есть при фиксированномфункция–п-я всюду определённая вычислимая функция от Рассмотрим функциюОчевидно,– всюду определённая вычислимая функция. Значит,при некоторомНочто противоречит равенству

Теорема 6. Существует вычислимая функция от которой никакая вычислимая функция одного аргумента не может отличаться во всех точках, т.е. для любой вычислимой функциинайдётся такоеN, что

Доказательство. Равенство мы понимаем в том смысле, что либоиоба не определены, либо обе определены и равны друг другу. Положимгде– универсальная функция (см. теорему 4). Если– вычислимая функция одного аргумента, топри некоторомТогда

Теорема 7. Существует вычислимая функция, не имеющая всюду определённого вычислимого продолжения.

Доказательство. Пусть – вычислимая функция, являющаяся универсальной для класса вычислимых функций одного аргумента. ПоложимТогда– вычислимая функция, определённая не для всехЕсли– её всюду определённое вычислимое продолжение, топри некоторомТогдаЗначит,существует и не равноТаким образом, функцияне является продолжением функцииПротиворечие.

Теорема 8. Существует перечислимое неразрешимое множество натуральных чисел.

Доказательство. Рассмотрим вычислимую функцию, не имеющую вычислимого всюду определённого продолжения. Докажем, что её область определения будет искомым множеством. В самом деле, по теореме 1 множествоперечислимо. Если быбыло разрешимым, то функция

была бы вычислимым всюду определённым продолжением функции Противоречие.

Будем говорить, что для машины Тьюринга проблема остановки алгоритмически разрешима, если существует другая машина Тьюринга которая для каждого натурального числавыясняет, остановится или не остановится машинаимея на сходе числоДля определённости пустьимея на входе числовыдаёт на выходе 1, еслиостанавливается (будучи запущенной на ленте, на которой написано числои выдаёт на выходе 0, еслине останавливается.

Теорема 9. Существует машина Тьюринга для которой проблема остановки алгоритмически неразрешима.

Доказательство. Возьмём вычислимую функцию не имеющую всюду определённого вычислимого продолжения (такая функция существует по теореме 7). По теореме 8 её область определения является неразрешимым множеством. Пусть– машина Тьюринга, вычисляющая функциюТогда проблема остановки машиныявляется алгоритмически неразрешимой задачей.