3.4. Ультрапроизведение моделей. Теорема компактности Ультрафильтры

Фильтром на множестве называется совокупность F подмножеств множестваобладающая свойствами:

1. F;

2. F, F;

3. FF.

Примеры фильтров:

1. Пусть Тогда F– фильтр. Он называется фильтром, порождённым множеством

2. Пусть Тогда F– фильтр. Он называетсяглавным фильтром, порождённым элементом

3. Пусть – бесконечное множество и F – множество такихчтоТогда F – фильтр.

Пусть – совокупность подмножеств множестваОна называетсяцентрированной системой подмножеств (иногда говорят: обладает свойством конечных пересечений), если пересечение любого конечного числа множеств из непусто, т.е.

Теорема 1. Всякая центрированная система подмножеств вкладывается в фильтр.

Доказательство. Пусть – центрированная система подмножеств множестваОбозначим через F совокупность таких подмножествмножествачтодля некоторыхПроверим, что F – фильтр. Из определения системыследует, чтопри всехF. Значит,F. ПустьF иТак какпри некоторыхто такжеЗначит,F. Наконец, пустьF. Тогдапри некоторыхСледовательно,а значит,F.

Фильтр U на множестве называетсяультрафильтром, если U максимальный по включению, т.е. для любого фильтра F UFFU.

Теорема 2. Всякий фильтр вкладывается в ультрафильтр.

Доказательство. Пусть D – фильтр на множестве Обозначим черезчастично упорядоченное по включению множество всех фильтров FD на множествеДокажем, что вкаждая цепь имеет верхнюю границу. Действительно, пусть– цепь фильтров. ПоложимДокажем, что– тоже фильтр. Так какни при какомтоДалее, пустьиТогдапри некоторомТак как– фильтр, тоСледовательно,Наконец, пустьТогдапри некоторыхТак как– цепь, то либолибоПусть, например,ТогдаТак как– фильтр, тоОтсюда получаем:Итак,– фильтр, который, очевидно, является верхней границей цепиПо лемме Цорна в множествеесть хотя бы один максимальный элемент U. Это и будет ультрафильтр, содержащий фильтр F.

Теорема 3. Фильтр U на множестве является ультрафильтром в том и только том случае, если для любоголибоU, либоU.

Доказательство. Необходимость. Пусть U – ультрафильтр и таково, чтоU. Докажем, чтоU. Предположим, чтоU. Рассмотрим следующую совокупность подмножеств множестваSU}. Докажем, что S – центрированная система. Пусть... ,S (при этомU). Так как U – фильтр, тоU. Нам надо доказать, чтоПредположим, чтоТогдаСледовательно,U, а это противоречит предположению. Итак, S – центрированная система. По теореме 1 существует фильтр F такой, что SF. ПустьU. ТогдаS, поэтомуF, а значит,F. Итак,Кроме того,а это означает, что U не максимальный. Мы получили противоречие.

Достаточность. Пусть F – фильтр со свойством: F илиF. Докажем, что F – ультрафильтр. Пусть– такой фильтр, чтоНадо доказать, чтоПустьТак какF, тоF, а значит,Так какитот.е.а это противоречит тому факту, что– фильтр. Теорема доказана.

Тривиальным примером ультрафильтра является главный фильтр Fгде– фиксированный элемент изОднако, больший интерес представляют ультрафильтры, не являющиеся главными. Их существование, как показывает теорема 2, следует из леммы Цорна. Однако, никому ещё не удалось построить ультрафильтр, не являющийся главным.