Ультрапроизведение моделей

Пусть – совокупность моделей одной и той же сигнатурыгде– множество символов операций, а– множество символов отношений. Рассмотрим вначалепрямое произведение множеств Обозначается оноа определяется как множество наборов(краткое обозначение:гдепри каждом(Если множествоконечно, скажем,то– это множество троекгдеНа множествелегко ввести операции иза именно, если– символп-арной операции, то положим

т.е. определим операции покомпонентно.

Намного хуже дело обстоит с определением отношений на множестве Пусть– символт-арного отношения. Первое, что приходит в голову, – это сказать, что тогда и только тогда, когдадля всехНапример, так определялось отношение порядкана прямом произведении частично упорядоченных множеств

Тогда действительно становится моделью той же сигнатурыоднако, эта модель, в отличие от той, которая будет построена позднее, не обладает замечательным свойством, которое хотелось бы иметь. Нам хотелось бы, чтобы с моделейна модельпереносились свойства, выразимые на языке логики первого порядка. Для обычного прямого произведения это не так. Хотя прямое произведение групп – это группа, прямое произведение колец – кольцо, но прямое произведение полей не является полем, хотя поле задаётся 9 аксиомами УИП, прямое произведение линейно упорядоченных множеств частично упорядочено, но не является в общем случае линейно упорядоченным, хотя линейная упорядоченность задаётся одной аксиомой логики первого порядка:Исправить эту ситуацию нам поможет ультрапроизведение.

Пусть – ультрафильтр на множествеи– совокупность моделей одной сигнатурыВведём на произведении отношение ~, полагая Проверим, что ~ является отношением эквивалентности. Имеем:так какзначит, ~ рефлексивно. Симметричность отношения ~ очевидна. Докажем теперь его транзитивность. ПустьиТогдаиЕслитоиоткудаСледовательно,а значит,Таким образом, отношение ~ транзитивно и потому является отношением эквивалентности.

Множество отношением ~ разбивается на классы эквивалентности. Множество классов эквивалентности мы будем обозначать и называть ультрапроизведением. Класс эквивалентности, в котором лежит элемент мы будем обозначать Чтобы превратитьв модель сигнатурынам надо определить на этом множестве функциии предикаты

Пусть –п-арная функция. Положим

Надо доказать корректность этого определения, т.е. независимость значения функции от выбора представителей классов. А именно, надо показать, что если . . . ,то~ПоложимПо условиюНо тогдаДля каждогомы имеем:=Следовательно,~

Теперь рассмотрим т-арный предикат Будем считать, чтов том и только том случае, еслиДокажем корректность этого определения, т.е. независимость от выбора представителей. Пусть. . . ,ПоложимТак кактоПустьЕслитоДля элементоввыполнены равенстваиЗначит,прии поэтому

Большое значение ультрапроизведений в теории моделей объясняется тем, что, в отличие от обычного прямого произведения, ультрапроизведение сохраняет утверждения, выраженные формулами логики первого порядка. Следующая важная теорема принадлежит польскому математику Лосю.

Теорема 4. Пусть – ультрапроизведение моделейодной и той же сигнатурыФормуладанной сигнатуры истинна на наборев том и только том случае, если

Доказательство. Избавимся в формуле от связокии кванторапользуясь эквивалентностямиДальнейшее доказательство проведём индукцией по длине формулыпонимая под длиной количество связоки квантороввходящих в формулу.

Пусть – атомарная формула, то есть

где –п-местный предикат, а – термы. Выясним, когда формулаистинна на наборе. . . ,Это будет в том и только том случае, если

что и требовалось доказать.

Пусть теперь =Тогда

(по предположению индукции) (по теореме 3)что и требовалось доказать.

Если то= =ПустьиПо предположению индукциии аналогично дляЗначит,

Осталось рассмотреть случай, когда Имеем:в том и только том случае, еслипри некоторомЗафиксируем наборПусть выполнено

Тогда по предположению индукции

Положим Из вида формулыследует, чтоТак както

Наоборот, пусть Тогда длянайдём такоечтоДляв качествевозьмём любые элементы. ПустьТогдаТак кактоСледовательно, выполнено

Следствие. Если формула для каждогоистинна на наборев моделитоистинна вна наборе

Замечание. Как мы видели выше, прямое произведение полей не является полем, прямое произведение линейно упорядоченных множеств не обязано быть линейно упорядоченным. Однако, по теореме Лося ультрапроизведение полей является полем (так как поле задаётся 9 аксиомами логики первого порядка), а ультрапроизведение линейно упорядоченных множеств линейно упорядочено (линейная упорядоченность определяется 4 аксиомами УИП).