Примеры решения задач

1. Доказать, что следующие функции примитивно рекурсивны: а) б)в)(функция “сигнум”).

Решение. а) Имеем: оЭто схема примитивной рекурсии. Так как функцияпримитивно рекурсивна, то функциятоже.

б) Схема примитивной рекурсии для функции выглядит так:s(oТак как функцияпримитивно рекурсивна, тотоже.

в) Имеем: Следовательно, функцияпримитивно рекурсивна.

2. Доказать, что функция рекурсивна.

Доказательство. Пусть Так как функцияполучается из примитивно рекурсивных функций с помощью оператора минимизации, то функциярекурсивна. Ясно, чтоИзвестно, что функцияпримитивно рекурсивна (см. предыдущее упражнение). Следовательно, функциярекурсивна. Это влечёт рекурсивность функцииа она совпадает с функцией

3. Выяснить, что из себя представляет функция Мгде функция “сигнум” (см. предыдущую задачу).

Решение. Пусть МТогдаПоэтомуа остальные значения функциине определены.

Задачи для самостоятельного решения

1. Доказать, что следующие функции примитивно рекурсивны: а)б)в)

Указания: а)

б)

в)

2. Доказать, что функция является рекурсивной.

Указание:

3. Доказать, что если функция примитивно рекурсивна, то функция– тоже. Используя это утверждение и результат задачи

1 в), доказать примитивную рекурсивность функции

Указания:

4.4. Вычислимые и перечислимые функции и множества

В предыдущем разделе были определены понятия рекурсивной функции и функции, вычислимой на машине Тьюринга и были изложены соображения в пользу того, что эти классы совпадают. Будем называть такие функции вычислимыми. Рассмотрим более внимательно эти функции и множества натуральных чисел, связанные с ними. Изложение результатов будем вести неформально, чтобы облегчить читателю восприятие материала. Аргументывычислимой функция– натуральные числа, значение функции – также натуральное число.

Существование невычислимых функций уже отмечалось ранее: оно следует из соображений мощностей: вычислимых функций, так же, как и машин Тьюринга, счётное число, а всех функций на множестве натуральных чисел штук. Интересный пример невычислимой функции придуман в 1962 г. Т.Радо.

Пример. Предположим, что среди некоторых машин Тьюринга проводится “соревнование по трудолюбию”. Участником соревнования является машина Тьюринга с состояниями(причём последнее состояние используется только для остановки), которая, будучи запущена на пустой ленте, останавливается за конечное число шагов. Результат соревнования – количество единиц на ленте после остановки машины. Обозначим это число черезДокажем, что– невычислимая функция.

Пусть – произвольная вычислимая функция. Введём функциюТак как функциявычислима, тотакже вычислима. Пусть– машина Тьюринга, которая вычисляет функциюи– количество состояний машиныПусть– машина Тьюринга, которая пишетединиц на пустой ленте (для этого нужносостояния), а затем работает какТогда– участник соревнования ссостояниями, поэтомуОтсюда следует, чтоиЗначит, примы имеемиИтак, при больших(чётных и нечётных) имеет место неравенствоЗначит, функциярастёт быстрее любой всюду определённой вычислимой функции, поэтому не является вычислимой.

Функция растёт очень быстро. Известно, что(см. Г.Б.Эндертон, Элементы теории рекурсии, в сб. Справочная книга по математической логике, т. 3).