Метод расщепления уравнений баланса газовых примесей
Полные уравнения, лежащие в основе системы уравнений баланса химически активных примесей в геосфере, описывают химические и физические процессы, различающиеся пространственными и временными масштабами. Для подобных систем полных уравнений трудно построить единую конечно-разностную схему и метод интегрирования по времени, которые бы в полной мере учитывали различия в свойствах этих процессов.
Указанные трудности могут быть преодолены с помощью метода расщепления, предложенного и развитого в работах Г. И. Марчука [31]. Основная идея этого метода заключается в том, что сложное уравнение или система уравнений расщепляются на несколько простых уравнений или подсистем уравнений, решаемых последовательно на дробных шагах — интервалах времени, в сумме составляющих шаг по времени. Такой подход позволяет сложную задачу представить в виде конечного числа элементарных алгоритмов, эффективно реализуемых с использованием хорошо отработанных конечно-разностных схем. Метод расщепления часто используется для создания алгоритма модели эволюции химически активных газов в атмосфере.
Слагаемые правой части уравнения эволюции газовой примеси можно разбить на группы по типу процессов, вносящих вклад в изменчивость рассматриваемых составляющих. Первая группа описывает локальные химические и физические процессы, вторая группа – упорядоченный перенос за счет адвекции, третья группа – диффузионный и турбулентный перенос. Каждая из этих групп, в зависимости от своего временного масштаба, вносит свой, больший или меньший, вклад в тенденции изменчивости газовых примесей атмосферы. При явной оценке тенденции вклад каждой группы процессов оценивается для текущего момента времени и складывается. Тем самым временные масштабы всех групп процессов автоматически учитываются и если какая-то группа процессов преобладает, то ее скорость намного больше скоростей остальных, и они составляют только малые поправки для преобладающей группы.
Однако, чисто явные методы редко применяют из-за их больших погрешностей и проблем со сходимостью и положительной определенностью. Для неявных или полунеявных методов необходимо решать более сложные алгебраические системы, чем в случае явных методов, поэтому для них часто используется метод расщепления по процессам. Метод расщепления дает возможность для каждого простого уравнения построить такие конечно-разностные схемы, которые учитывают пространственные и временные масштабы процессов, описываемых этими уравнениями.
Существуют два подхода к применению метода расщепления: метод дробных шагов и метод предиктор-корректор.
В методе дробных шагов временной шаг разбивается на несколько более мелких шагов, на каждом из которых действует только одна группа процессов. Если представить уравнение эволюции в виде:
То можно предположить, что сначала в каждом пространственном узле в течение одной трети шага действуют только химические процессы, затем только адвективные и, наконец, на последней трети только диффузионно-турбулентные:
Если сложить эти три уравнения, то результат даст исходное уравнение, только с разным временем оценки слагаемых правой части. Каждое их этих трех уравнений решать проще, чем исходное, однако точность решения может получиться невысокой. Причина в том, что временные масштабы действия разных процессов неявным образом считаются равными, в результате чего временной шаг делится на три равные части. В действительности временные масштабы могут сильно отличаться.
В методе предиктор-корректор шаги не дробятся, а расщепление используется для оценки правой части в средней точке.