[Править] Снижение размерности.

Третий раздел многомерного статистического анализа — задачи снижения размерности с целью сжатия информации. Цель их решения состоит в определении набора производных показателей, полученных преобразованием исходных признаков, такого, что число производных показателей значительно меньше числа исходных признаков, но они содержат возможно большую часть информации, имеющейся в исходных статистических данных. Задачи снижения размерности решают с помощью методов многомерного шкалирования, главных компонент, факторного анализа и др. Например, в простейшей модели многомерного шкалирования исходные данные — попарные расстояния междуkобъектами, а цель расчетов состоит в представлении объектов точками на плоскости. Это дает возможность в буквальном смысле слова увидеть, как объекты соотносятся между собой. Для достижения этой цели необходимо каждому объекту поставить в соответствие точку на плоскости так, чтобы попарные расстоянияs_ijмежду точками, соответствующими объектам с номерамиiиj, возможно точнее воспроизводили расстояния ρ_ijмежду этими объектами. Согласно основной идее метода наименьших квадратов находят точки на плоскости так, чтобы величина

достигала своего наименьшего значения. Есть и многие другие постановки задач снижения размерности и визуализации данных.

[Править] Статистика случайных процессов и временных рядов

Методы статистики случайных процессов и временных рядов применяют для постановки и решения, в частности, следующих задач:

• предсказание будущего развития случайного процесса или временного ряда;

• управление случайным процессом (временным рядом) с целью достижения поставленных целей, например, заданных значений контролируемых параметров;

• построение вероятностной модели реального процесса, обычно длящегося во времени, и изучение свойств этой модели.

Пример 1. При внедрении статистического регулирования технологического процесса нужно проверить, что в налаженном состоянии математическое ожидание контролируемого параметра не меняется со временем. Если подобное изменение будет обнаружено, то следует установить подналадочное устройство.

Пример 2. Следящие системы, например, входящие в состав автоматизированной системы управления технологическим процессом, должны выделять полезный сигнал на фоне шумов. Это — задача оценивания (полезного сигнала), в то время как в примере 1 речь шла о задаче проверки гипотезы.

Методы статистики случайных процессов и временных рядов описаны в литературе [2,20].

[Править] Статистика объектов нечисловой природы

Методы статистики объектов нечисловой природы (статистики нечисловых данных, или нечисловой статистики) применяют всегда, когда результаты наблюдений являются объектами нечисловой природы. Например, сообщениями о годности или дефектности единиц продукции. Информацией о сортности единиц продукции. Разбиениями единиц продукции на группы соответственно значения контролируемых параметров. Упорядочениями единиц продукции по качеству или инвестиционных проектов по предпочтительности. Фотографиями поверхности изделия, пораженной коррозией, и так далее. Итак, объекты нечисловой природы — это измерения по качественному признаку, множества, бинарные отношения (разбиения, упорядочения и др.) и многие другие математические объекты [2]. Они используются в различных вероятностно-статистических методах принятия решений. В частности, в задачах управления качеством продукции, а также, например, в медицине и социологии, как для описания результатов приборных измерений, так и для анализа экспертных оценок.

Для описания данных, являющихся объектами нечисловой природы, применяют, в частности, таблицы сопряженности, а в качестве средних величин — решения оптимизационных задач [2]. В качестве выборочных средних для измерений в порядковой шкале используют медиану и моду, а в шкале наименований — только моду. О методах классификации нечисловых данных говорилось выше.

Для решения параметрических задач оценивания используют оптимизационный подход, метод одношаговых оценок, метод максимального правдоподобия, метод устойчивых оценок. Для решения непараметрических задач оценивания наряду с оптимизационными подходами к оцениванию характеристик используют непараметрические оценки распределения случайного элемента, плотности распределения, функции, выражающей зависимость [2].

В качестве примера методов проверки статистических гипотез для объектов нечисловой природы рассмотрим критерий «хи-квадрат» (обозначают φ²), разработанный К.Пирсоном для проверки гипотезы однородности (другими словами, совпадения) распределений, соответствующих двум независимым выборкам.

Рассматриваются две выборки объемов n₁иn₂, состоящие из результатов наблюдений качественного признака, имеющегоkградаций. Пустьm_1jиm_2j— количества элементов первой и второй выборок соответственно, для которых наблюдаетсяj-я градация, аp_1jиp_2j— вероятности того, что эта градация будет принята, для элементов первой и второй выборок,j= 1,2,...,k.

Для проверки гипотезы однородности распределений, соответствующих двум независимым выборкам,

,

применяют критерий φ²(хи-квадрат) со статистикой

;.

Установлено [9, 11], что статистика X²при больших объемах выборокn₁иn₂имеет асимптотическое распределение хи-квадрат с (k− 1) степенью свободы.

Пример 3. В таблице приведены данные о содержании серы в углеродистой стали, выплавляемой двумя металлургическими заводами. Проверим, можно ли считать распределения примеси серы в плавках стали этих двух заводов одинаковыми.

Распределения плавок стали по процентному содержанию серы
Содержание серы, в %	Число плавок
	Завод А	Завод Б
0,00—0,02	82	63
0,02—0,04	535	429
0,04—0,06	1173	995
0,06—0,08	1714	1307

Расчет по данным дает X²= 3,39. Квантиль порядка 0,95 распределения χ-квадрат сk− 1 = 3 степенями свободы равен, поэтому гипотезу о совпадении функций распределения нельзя отклонить, а следует принять на уровне значимости α = 0,05.

Выше дано лишь краткое описание содержания прикладной статистики на современном этапе. Подробное изложение конкретных методов содержится в специальной литературе

Вопросы для самопроверки

В чём отличие группированного статистического ряда от упорядоченной статистической совокупности

В чём отличие частоты от вероятности

Вопросы к экзаменам

1.Первичная статистическая совокупность, её упорядочение

2. Статистическая функция распределения.

3. Группированный статистический ряд.

4. Гистограмма.

5. Выравнивание статистических распределений.

Именной указатель

Перечень сокращений

5