Поведение , когда гипотезаверна.

Речь идет о поведении при увеличении объема выборки: .

Теорема К. Пирсона. Предположим, что гипотеза верна. Тогда прираспределение величинысходится к распределению хи-квадрат сстепенью свободы, то есть,

Практический смысл этой теоремы в том, что при большом объемевыборки распределениеможно считать распределением хи-квадрат сстепенью свободы.

Поведение , когда гипотезаневерна.

Предположим теперь, что и разбиениетаково, что

где вероятности вычислены по функции распределения. Тогда можно показать (см., например, [13, § 10.4]), что

если

(52)

Критерий проверки.

То обстоятельство, что поведение существенно различно в зависимости от того верна или нет гипотеза, дает возможность построить критерий для ее проверки. Зададимся некоторымуровнем значимости(допустимой вероятностью ошибки) и возьмем квантиль, определенную формулой (45):

Определим критическое множество :

Таким образом, наши действия по принятию (или отвержению) гипотезы состоят в следующем. Подстановкой имеющихся данныхв формулу (51) вычисляется значение функции , которое затем сравнивается с:

• если , то гипотезаотвергается (при этом говорят, что выборка обнаруживает значимое отклонение от гипотезы ),

• если , то гипотезапринимается (говорят, что выборка совместима с гипотезой ).

Действительно, такое решающее правило соответствует вышеизложенным фактам о поведении функции . Приведем аргументы, основанные на здравом смысле, свидетельствующие в пользу этого решающего правила. Если значения функцииоказались ``слишком большими'', то, принимая во внимание (52), разумно считать, что гипотеза не имеет места. Если же значения``не слишком большие'', то, скорее всего, гипотезаверна, поскольку это согласуется с теоремой Пирсона.

При таком решающем правиле мы может допустить ошибку, отвергнув верную гипотезу . Из теоремы Пирсона вытекает, что при большихвеличина вероятности этой ошибки близка к.

Границы применимости критерия на практике.

Утверждения теоремы Пирсона и (52) относятся к пределам при.На практике, конечно, мы имеем дело лишь с выборками ограниченного объема. Поэтому, применяя вышеописанный критерий, необходимо проявлять осторожность. Согласно рекомендациям, изложенным в [7], применение критерия дает хорошие результаты, когда все ожидаемые частоты. Если же какие-то из этих чисел малы, рекомендуется, укрупняя некоторые группы, перегруппировать данные таким образом, чтобы ожидаемые частоты всех групп были не меньше десяти. Если числодостаточно велико, то, как указывается в книге [13], порог для ожидаемых частот может быть понижен доили даже до, еслиимеет порядок нескольких десятков.

3. Критерий согласия для сложных гипотез

На практике задача о согласии данных наблюдений с некоторым совершенно конкретным распределением, рассмотренная в  9.2, встречается реже, чем задача проверки сложной гипотезы, которую мы рассматриваем ниже. Итак, рассмотрим независимую выборку, соответствующую неизвестной функции распределения. Поставим вопрос о том, согласуются ли данные наблюденийсо сложной гипотезой

где -- (вообще говоря) многомерный параметр. В эту формальную схему можно включить, например, рассмотрение гипотезы о принадлежности к классу показательных распределений (без уточнения параметра показательного распределения) и т. п.

Группируя данные аналогично 9.2и вычисляяпо функции распределения, обнаруживаем, что теперь эти вероятности являются функциями от неизвестного параметра:

Это обстоятельство делает невозможным непосредственное воспроизведение метода  9.2, так как, если бы мы подставили эти вероятности в (51), то мы бы получили совершенно непригодную с практической точки зрения функцию: ведь для ее вычисления, кроме полученных в эксперименте данных  , требовалось бы также знать сами неизвестные параметры. Чтобы выйти из положения, следует подставить ввместо параметраего оценку, вычисленную по выборке. Это можно сделать разными способами, но мы остановимся на одном из них.

Пусть числа ,, вычислены по выборке согласно формуле (50). Запишем следующую функцию правдоподобия

Находя значение , при котором эта функция максимальна, получим оценку наибольшего правдоподобия. Особо отметим, что для ее вычисления достаточно знать только. По аналогии с (51) определим

(53)

Справедлив следующий вариант теоремы Пирсона⁵: Предположим, что гипотеза верна. Тогда прираспределение величины, определяемой по формуле(53), сходится к распределению хи-квадрат с степенью свободы.

Заметим, что по сравнению с теоремой из  9.2за замену-мерного неизвестного параметра его оценкой нам пришлось ``заплатить''степенями свободы в предельном распределении хи-квадрат.

В дальнейшем, фиксируя   и выбирая критическое множество

получим искомый критерий уровня значимости   для проверки сложной гипотезы.

Все примечания относительности применимости этого критерия, сделанные в  9.2, разумеется, остаются в силе.

Замечание 9.1  

То обстоятельство, что оценка , которую мы используем в определении (53), зависит от выборки только через значения, является важным для утверждения сформулированной выше теоремы. Как показано в книге [13, § 10.6], замена параметрапроизвольной его оценкой по выборкеприводит к тому, чтобольше не является удовлетворительной аппроксимацией для.