7.3. Стационарное, однородное, изотропное поля

В рамках корреляционной теории случайные акустические поля описываются пространственно-временной корреляционной функцией, выборочное значение которой равно:

(7.35)

Кроме того используют пространственную корреляционную функцию и временную корреляционную функцию, которые могут быть получены из приведённой формулы «совмещением» соответственно временных или пространственных координат поля. Вид функции в формуле служит основой классификации случайных акустических полей.

Стационарным называется поле, для которого функция инвариантна относительно отсчёта времени:

(7.36)

Однородным называют поле, для которого функция инвариантна относительно отсчёта в пространстве:

(7.37)

Стационарное и однородное случайное поле имеет корреляционную (ковариационную) функцию, инвариантную к началу отсчёта по временной и пространственной координатам:

(7.38)

Свойства стационарности и однородности независимы и могут проявляться в различных сочетаниях для реальных гидроакустических полей. Частным случаем однородного поля является изотропное поле, корреляционная (ковариационная функция) которого зависит только от модуля разностного координатного вектора:

(7.39)

В природе не существует абсолютно стационарных и абсолютно однородных полей, однако на конечном интервале времени и в конечном объёме пространства свойства стационарности и однородности могут иметь место. Кроме того, практическую ценность имеет использование свойств временной эргодичности реальных акустических полей.

При спектральном представлении случайного поля используют многомерную интегральную характеристику амплитудного спектра - сумму случайных комплексных амплитуд многомерных гармоник всех значений временной и пространственных частот

7.4. Модели сигналов

Сигналами в гидроакустических информационных системах являются изменяющиеся во времени и пространстве физические величины акустического поля (волны), отображающие сообщение совокупностью своих параметров. В общем случае говорят о пространственно-временных сигналах, физическим носителем которых является векторное акустическое поле, поскольку движение частиц среды описывается вектором колебательной скорости . Однако в воде сдвиговые напряжения малы, что позволяет описывать поле скалярной функцией, называемой потенциалом колебательной скоростиЗнание этой функции позволяет вычислить векторное поле колебательных скоростейи скалярное поле давленийВ твёрдых телах (сейсмические, акустико-сейсмические поля) необходимо векторное описание поля.

Важным и сложным в гидроакустике является составление математических соотношений, связывающих характеристики объектов и полезных сигналов, т.е. разработка соответствующих моделей сигналов, вид которых определяется физической сущностью процесса, степенью его познания и целью исследования. В общем случае описание сигнального поля представляет собой функцию временных и пространственных координат. После пространственной обработки в приёмной антенне или если приёмная антенна имеет малые размеры по сравнению с длиной волны воспринимаемого колебания в скалярном поле давлений, сигнал представляет собой лишь функцию времени.

При разработке математических моделей учитывается ряд противоречивых ограничений: с одной стороны модель должна быть адекватна реальным объектам, с другой стороны она должна быть простой, удобной для применения.

Вероятностной моделью гидроакустического процесса является его математическое представление, которое позволяет вычислить (или постулировать) вероятностные характеристики процесса, которые интересуют исследователя в конкретной задаче. Она строится на основе представления

(7.40)

где (t,r) – исследуемый процесс,- оператор формирования,-элементарные случайные процессы, вероятностные характеристики которых заданы или могут быть физически интерпретированы.

В настоящее время существует два подхода к разработке динамических моделей гидроакустических процессов и полей: волновой и феноменологический. При волновом подходе модель строится на основе решения волнового уравнения при заданных характеристиках источника, граничных условиях и распределении скорости звука по глубине, а также на трассе распространения. Используя волновые модели можно найти прямые соотношения, связывающие параметры среды, границ и источников с параметрами гидроакустических сигналов на входе приёмных антенн ГАС.

При феноменологическом подходе модель разрабатывается при нестрогом учёте исходных данных, т.е. при упрощении физических представлений с целью применения достаточно хорошо известных методов измерения отдельных характеристик сигналов. Такой подход характерен для моделирования сигналов во многих информационных системах, отличных от гидроакустических. Построение вероятностной модели исследуемого процесса в этом случае состоит в расчёте вероятностных характеристик сигналов по соответствующим характеристикам элементарных процессов.

В зависимости от полноты учёта исходной информации феноменологические модели можно классифицировать на канонические, конструктивные и параметрические. Примерами канонических моделей, основанных на представлении сложных процессов и полей в виде интегральных или дифференциальных преобразований элементарных колебаний со случайными параметрами, являются дискретные вида

(7.41)

где - некоррелированные случайные величины,-случайные параметры;

интегральные

(7.42)

где случайная функция, обладающая свойствами белого шума,неслучайная функция;

дифференциальные

( 7.43)

где случайные величины.

Частным случаем дискретных канонических моделей являются разложение функций в ортогональные ряды. В гидроакустике широко используются разложения по тригонометрическим функциям и функциям вида В первом случае получается спектральное представление в виде обычного ряда Фурье, а во втором – временное представление в виде ряда Котельникова.

Конструктивные модели основаны на описании вида

( 7.44)

где - знак взаимодействия элементарных процессовявляющихся либо случайными, либо наряду сос случайными часть из них может являться известными функциями.

Примером конструктивной модели является представление сигнала в виде колебания со случайной амплитудой и фазой

(7.45)

где текущая фаза сигнала может быть представлена в виде Это приводит к модели сигнала в виде суммы

( 7.46)

где квадратурные (косинусная и синусная) компоненты процесса.

При использовании комплексного функционального пространства сигналов модель имеет вид

( 7.47)

и называется аналитическим сигналом, если действительная и мнимая часть связаны преобразованием Гильберта.

Параметрической моделью сигнала является его представление в виде гденекоторая известная функция,-совокупность независимых случайных величин.

Поскольку обычное разложение Фурье применимо к ограниченному классу функций (периодические, почти периодические и быстро затухающие), а также в связи с необходимостью описания сигналов в терминах теории вероятностей, широко используется модель сигнала в виде стационарного случайного процесса, когда функции с ограниченной средней мощностью ставится в соответствие её корреляционная функцияБолее сложными являются модели в виде обобщённого стационарного случайного процесса (сумма детерминированной функции и стационарного случайного процесса), процесса с ограниченным спектром и т.д.