Математика / 4015

c x1 y2 e3 x1z2 e2 y1x2 e3 y1z2 e1 z1x2 e2 z1 y2 e1( y1z2 z1 y2 )e1 (z1x2 x1z2 )e2 (x1 y2 y1x2 )e3.

Последнее равенство можно записать в виде:

Формулу (3.7) можно представить через определитель третьего порядка:

i j k

минорам второго порядка этой матрицы, полученным путем поочередного вычеркивания 1, 2 и 3-го столбцов, причем второй минор нужно взять со знаком «–».

Тогда модуль векторного произведения выражается формулой

Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов

Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору.

Пример 3.3

Решение. Составим матрицу из координат векторов:

3 4 8 .5 2 1

51

Обозначив координаты векторного произведения через x, y, z, имеем:

Пример 3.5

Коллинеарны ли векторы a (2, 5,1) и b ( 6,15, 3) ? Решение. Вычислим векторное произведение a b :

Итак, векторы коллинеарны. Однако проще проверить пропорциональность соответствующих координат.

§ 3.4. Смешанное произведение трех векторов

Смешанным произведением трех векторов a, b , c называется скалярное произведение вектора a на векторное произведение b c .

52

Обозначается смешанное произведение трех векторов a, b , c следующим образом: a (b c) или (a,b,c) .

Геометрический смысл смешанного произведения

Модуль смешанного произведения a b c трех некомпланарных векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векто-

рах, т. е. V a b c (рис. 3.5).

a

b

c

Рис. 3.5

Отсюда следует необходимое и достаточное условие компла-

нарности трех векторов: векторы a, b , c компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю: a b c 0. Как видно из рис. 3.5, если векторы a, b , c компланарны (лежат в одной

плоскости), то объем соответствующего параллелепипеда равен нулю. Свойства смешанного произведения:

1. Круговой перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется, при перестановке двух сомножителей меняет знак на противоположный: a b c b c a ca b (b a c) (ac b ) (cab ).

2.Свойство распределительности: (a b )cd acd b cd .

3.Свойство сочетательности относительно числового множителя: (ma)b c m(ab c).

4.Смешанное произведение, имеющее хотя бы два равных сомножителя, равно нулю: a a c 0 (векторы компланарны).

Пример 3.6

ab (3a 2b 5c) 3ab a 2ab b 5ab c 5ab c .

53

Вычисление смешанного произведения

Смешанное произведение трех векторов

а следовательно, объем параллелепипеда, построенного на этих векторах, вычисляется по формуле

Пусть требуется определить объем треугольной пирамиды с

вершинами в точках M1 (x1, y1, z1 ), M 2 (x2 , y2 , z2 ), M3 (x3 , y3 , z3 ), M 4 (x4 , y4 , z4 ) . Объем треугольной пирамиды M1M 2M3M 4 равен шес-

M1M3 (x3 x1, y3 y1, z3 z1) , M1M 4 (x4 x1, y4 y1, z4 z1) , то

Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов (3.10) выражается равенством

Пример 3.7

Вычислить объем треугольной пирамиды, вершины которой на-

ходятся в точках M1(6,1,4), M 2 (1, 3,7), M3 (7,1,3), M 4 (2, 2, 5).

54

Решение. В соответствии с формулой (3.13) находим

D

L

A O C

B

Рис. 3.6

Пример 3.8

Даны точки A( 2, 3,1), B(1, 1,2), C(2,4,2), D(1,2,6). Вычислить:

1)угол между ребром AD пирамиды ABCD и плоскостью ABC;

2)длину высоты DO пирамиды (рис. 3.6).

Значит, DAO 90o 62,5o 27,5o.

55

§ 3.5. Различные виды уравнения плоскости

Поверхностью называется совокупность точек пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению следующего вида:

Ф(x, y, z). (3.15)

Может случится, что уравнению (3.15) удовлетворяют координаты лишь конечного числа точек. Например, рассмотрим уравнение

(x a)2 ( y b)2 (z c)2 0. Этому уравнению удовлетворяют координаты лишь единственной точки M(a, b, c). Рассмотрим еще такой пример: x2 y2 z2 1 0. В этом случае не существует ни одной точки, координаты которой удовлетворяли бы этому уравнению.

Вэтом случае поверхность называется мнимой поверхностью.

Втом случае когда переменные в уравнение (3.15) входят в первой степени, получается плоскость.

Параметрическое уравнение плоскости

Вектор a называется параллельным плоскости , если он лежит на прямой l, параллельной плоскости , или лежит на самой плоско-

сти . Плоскость вполне определяется, если задана точка M0 (x0 , y0 , z0 ) , лежащая в этой плоскости, и два неколлинеарных век-

тора a , b , каждый из которых параллелен плоскости . Пусть a = {a1, a2 , a3}, b = {b1,b2 ,b3}. Составим уравнение плоскости , прохо-

дящей через точку M 0 (x0 , y0 , z0 ) и параллельной векторам a , b . Возьмем в плоскости произвольную точку M (x, y, z) . Ясно, что

двум неколлинеарным напрвлениям a , b , т. е. имеет место уравнение

56

Отсюда получим:

Уравнение (3.17) есть параметрическое уравнение плоскости.

Общее уравнение плоскости

Условие компланарности векторов a , b , M0M , а следовательно, уравнение плоскости можно записать в виде:

Уравнение (3.19) определяет плоскость в пространстве. Оно называется общим уравнением плоскости. Отметим частные случаи этого уравнения:

1. Если D 0 , то уравнение (3.19) принимает вид: Ax By Cz 0 . Значит, плоскость проходит через начало координат.

2. Если C 0, то уравнение (3.19) принимает вид: Ax By D 0 и определяет плоскость параллельную оси OZ . Слу-

чаи, когда A 0 или B 0, аналогичны, и уравнение определяет плос-

кость, параллельную соответствующей оси.

3. Если из трех коэффициентов A, B, C два равны нулю, напри-

мер, A B 0 , то уравнение (3.19) принимает вид: Cz D 0 и определяет плоскость, параллельную плоскости XOY (т. е. плоскость, параллельную и оси OX , и оси OY ).

Вектор n( A, B,C) называется нормальным вектором (или нормалью) плоскости (3.19) и проходит перпендикулярно данной плоскости.

57

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Если даны три точки M1(x1, y1, z1), M 2 (x2 , y2 , z2 ), M3 (x3, y3, z3 ) , не лежащие на одной прямой (рис. 3.7), то уравнение плоскости, про-

ходящей через эти точки, имеет вид:

Равенство (3.20) выражает необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов:

M1M (x x1, y y1, z z1); M1M 2 (x2 x1, y2 y1, z2 z1);

M1M3 (x3 x1, y3 y1, z3 z1) ,

где M (x, y, z) – любая точка данной плоскости.

Рис. 3.7

Пример 3.9

Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M1(1, 3,2), M2 (8,5;0) и параллельной вектору a(4,1, 1) .

Решение. Пусть точка M (x, y, z) принадлежит искомой плоскости. Тогда векторы M1M (x 1, y 3, z 2), M1M 2 (7,8, 2), a –

компланарны (т. е. их смешанное произведение равно нулю). Тогда получаем:

58

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющую данную нормаль

Пусть известно, что плоскость проходит через точку M (x0 , y0 , z0 ) иимеетнормаль n( A, B,C) . Тогдаееуравнениеимеетвид:

Пример 3.10

Написать уравнение плоскости, проходящей через точки

A(3, 3,0), B(0,7,1),C( 5,3,2) .

Решение. В соответствии с формулой (3.20) имеем

14x 42 2 y 6 62z 14x 2 y 62z 48 0 .

Итак, 7x y 31z 24 0 – искомая плоскость.

Взаимное расположение двух плоскостей

Это означает коллинеарность нормальных векторов n1(A1, B1,C1) и n2 (A2 , B2 ,C2 ) плоскостей (3.22).

59

Косинус угла между плоскостями (3.22) определяется формулой

Фактически эта формула определяет угол между нормальными векторами плоскостей. Тогда необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоскостей (3.22) выражается равенством

случае называется уравнением в нормальном виде. Если плоскость дана

§3.6. Различные виды уравнений прямой

впространстве

Пусть дана точка M 0 (x0 , y0 , z0 ) на прямой и направляющий вектор a {a1, a2 , a3}. Этими условиями вполне определяется положение прямой в пространстве. Возьмем на прямой текущую точку M (x, y, z) . Векторы M0M и a коллинеарны. Следовательно, имеетместоравенство

M0M = a t.

60