4.Содержание отчета.

Отчет должен содержать исходные данные, рисунок схемы, по­рядок расчетов, необходимые матрицы для расчета, а также результа­ты проверки правильности расчета по первому закону Кирхгофа.

5. Контрольные вопросы

5.1. Сформулировать правила составления матрицы узловых прово­димостей для расчета схем по первому закону Кирхгофа.

5.2. Сформулировать правила составления вектора источников тока для расчета схем по первому закону Кирхгофа.

5.3. Что такое единичный вектор?

5.4. Как зависит размер единичного вектора от количества неза- земленных узлов схемы?

5.5. Сформулировать правила составления матрицы проводимо­стей векторным методом узловых потенциалов.

5.6. Сформулировать правила составления вектора источников то­ка векторным методом узловых потенциалов.

Лабораторная работа № 2

МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ ДЛЯ СХЕМ, СОДЕРЖАЩИХ ЗАВИСИМЫЕ ИСТОЧНИКИ ТОКА

1. Цель работы: получить навык в расчете схем, содержащих управ­ляемые напряжением источники тока, методом узловых потенциалов.

2. Основные теоретические сведения

Источник тока, управляемый напряжением (ИТУН), показан на рис.2.1.

Рис.2.1. Источник тока управляемый напряжением

ИТУН описывается следующими уравнениями:

,

где g - передаточная проводимость.

При помощи двух управляемых напряжением источников тока можно представить такой элементарный четырехполюсник, как гиратор (см. рис. 2.2), для которого справедливы уравнения:

,

где g1 и g2 - постоянные гирации.

а) б)

Рис.2.2. Гиратор: а)условное обозначение; б) реализация при помощи двух ИТУН

Если постоянные гирации равны, т.е. gl = g2 = g, то гиратор называют идеальным.

Источник тока управляемый напряжением, легко можно включить в уравнения, записанные по методу узловых потенциалов. Обозначим его входные зажимы буквами j и j', а выходные - буквами k и k '(рис.2.1). Токи и напряжения источника связаны следующими соотношениями:

.

Видно, что в уравнениях закона Кирхгофа для токов, записан­ных только для этих четырех узлов, токи I_k и I_k' появятся лишь в двух уравнениях для k-го и k'-го узлов, причем, один раз со знаком плюс, а другой - со знаком минус:

для k-го узла: ...+I_k ... = ...

для k'-го узла: ...+ I_k' ... = ...

Точками заменены токи через другие элементы и источники. Подставив значения токов I_k и I_k', получим:

для k-го узла: ...+ gU_j - gU_j' ... = ...

для k'-го узла: ...- gU_j + gU_j' ... =

Таким образом, матрица проводимостей Y′, составленная для источника тока управляемого напряжением, будет иметь вид:

	j	j′	k	k′
j	0	0	0	0
j′	0	0	0	0
k	g	-g	0	0
k′	-g	g	0	0

Т.е. передаточная проводимость ИТУН появится в матрице узловых проводимостей со знаком плюс - в элементах с номерами (k, j) и (к', j') и со знаком минус - в элементах с номерами (k,j') и (k′,j),причем k и k' - номер строки матрицы Y′, а j и j' - номер столбца матрицы Y′.

Рассмотрим цепь, изображенную на рис.2.3.

Рис.2.3.Цепь с источником тока управляемым напряжением

Сформируем матрицу проводимостей Y для пассивных компонентов в соответ­ствии с правилами составления уравнений для узловых потенциалов (см. л/р N1).

Для описания ИТУН применим правила, описанные выше. Введем следующую нумерацию узлов (см. рис.2.4): j ₌ 2; j'=1; k = 3; k'= 2.

Рис.2.4. ИТУН с нумерацией узлов для решения задачи

Тогда передаточная проводимость g появится в матрице узловых проводимостей ИТУН Y′ со знаком

+g - в элементах с номерами (3,2) и (2,1);

-g - в элементах с номерами (2,2) и (3,1).

Таким образом, матрица проводимостей Y′ для ИТУН имеет следующий вид:

Полная матрица узловых проводимостей, равная сумме матриц проводимостей , Y_n = Y' + Y, перепишется в виде:

.

Вектор независимых источников тока:

.

Узловые потенциалы рассчитываются по формуле:

Составим матрицы узловых проводимостей для цепи, изобра­женной на рис.2.5. Она отличается от предыдущей тем, что ИТУН в ней подключен к нулевому узлу.

Рис.2.5.Цепь с ИТУН, подключенным к нулевому узлу.

Матрица проводимостей для пассивных элементов для данной схемы выглядит следующим образом:

Для описания ИТУН применим правила, описанные выше. В данном случае нумерацию узлов будет следующая (см. рис.2.6): j ₌ 1; j'=0; k = 0; k'=2.

Рис.2.6. ИТУН с нумерацией узлов для решения задачи

Тогда передаточная проводимость g появится в матрице узловых проводимостей ИТУН Y′ со знаком

-g - в элементе матрицы с номерами (2,1).

Таким образом, матрица проводимостей Y′ для ИТУН имеет следующий вид:

Полная матрица узловых проводимостей, равная сумме матриц проводимостей , Y_n = Y' + Y, определиться так:

.

Вектор независимых источников тока, как и в предыдущем примере:

.

Узловые потенциалы рассчитываются по формуле:

.

Y-матрицу ИТУН в алгебраической форме можно описать с помо­щью произведения векторов:

где e_j - это j-й единичный вектор, все элементы которого, кроме j-гo, равны нулю, а j-й -равен единице; т - индекс транспонирования. Ре­зультатом перемножения вектора-столбца и вектора-строки является матрица.

Вернемся к цепи, изображенной на рис.2.3. Выберем произвольно направление токов в ветвях и сформируем Y-матрицу для пассивных компонентов, последовательно перебирая элементы схемы.

Таблица направлений токов будет иметь вид:

yi		pC1	pC2
j	1	1	3	2	3
k	0	2	2	0	0

В таблице y_i - проводимость i-ой ветви, включенной между j-м и k-м узлами, причем, ток течет от узла j к узлу k.

Составим матрицу проводимостей ИТУН, учитывая, что нумерация его узлов следующая: j = 2; j'= 1; k = 3; k'= 2.

.

Вектор независимых источников тока: .

Учитывая, что полная матрица узловых проводимостей определяется как Y_n = Y' + Y, будем искать узловые потенциалы в виде:

.

3. Порядок выполнения работы

3.1. Произвести расчет схемы, выданной преподавателем, "ручным" методом узловых потенциалов.

2. Произвести необходимые преобразования (заменить гиратор двумя управляемыми напряжением источниками тока).

3. Составить необходимые матрицы для расчета цепи на ЭВМ.

4. Найти узловые потенциалы и рассчитать токи в ветвях.

5. Сделать проверку по 1-му закону Кирхгофа.

3.2. Рассчитать эту же цепь векторным методом

1. Сформировать необходимые матрицы с помощью произведе­ния единичных векторов.

2. Найти узловые потенциалы и рассчитать токи в ветвях.

3.3. Сравнить полученные результаты.