Вышка 5

37.Линейно независимые функции. Определитель Вронского. Фундаментальная система решения однородного ДУ.

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение! (ЛОДУ) второго порядка:

у" + a₁ (х)у' + a₂ (х)у = 0 (49.13)

Функции у₁ = y₁ (х) и y₂ = у₂ (x) называются линейно независи­мыми на интервале (a; b), если равенство

а₁y₁ + a₂y₂ = 0, (49.15)

где a₁, a₂ € R, выполняется тогда и только тогда, когда a₁ = а₂ = 0. |

Средством изучения линейной зависимости системы функций является так называемый определитель Вронского или вронскиан (Ю. Вронский — польский математик).

Для двух дифференцируемых функций у₁ = у₂ (x) и y₂ = у₂ (x) вронскиан имеет вид

Имеют место следующие теоремы.

Теорема 49.3. Если дифференцируемые функции y₁ (x) и у₂(x) ли­нейно зависимы на (а;b), то определитель Вронского на этом интер­вале тождественно равен нулю.

38.Формула Остроградского- Лиувилля, её приложения.

Формула Лиуви́лля-Острогра́дского — формула, связывающая определитель Вронского (вронскиа́н) для решений дифференциального уравнения и коэффициенты в этом уравнении.

Пусть есть дифференциальное уравнение вида

Тогда

39.Линейные однородные ДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Уравнение Эйлера.

Частным случаем линейных однородных дифференциальных уравнений являются ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Пусть дано ЛОДУ второго порядка

у" +р*у' +q*y = 0, (50.1)

где р и q постоянны.

Для нахождения общего решения уравнения (50.1) достаточно най­ти два его частных решения, образующих фундаментальную систему

Будем искать частные решения уравнения (50.1) в виде

y = е^kx ,

где к — некоторое число (предложено JI. Эйлером). Дифференцируя

эту функцию два раза и подставляя выражения для у, у' и у" в уравнение (50.1), получим: к² * е^кх +p* k* е^кх + q * е^кх = 0, т. е.

Уравнение (50.2) называется характеристическим уравнени­ем ДУ (50.1) (для его составления достаточно в уравнении (50.1) отменить у" , у' и у соответственно на к², к и 1).

40.Линейные неоднородные ДУ. Частное и общее решение. Метод вариации постоянных.

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка

у" + а₁ (х)у' + а₂(х)у = f(x), (51.1)

где а₁ (х),а₂(х), f (x) — заданные, непрерывные на

(a; b) функции. Уравнение

у" + a₁ (х)у' + а₂(х)у = 0, (51.2)

| левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ (51.1), на­зывается соответствующим ему однородным уравнением.

Т(структура общего решения ЛНДУ). Общим реше­нием у уравнения (51.1) является сумма его произвольного частного решения у* и общего решениясоответствующего од­нородного уравнения (51.2), т. е.

Функция является решением уравнения (51.1). Покажем теперь, что функция

(51.4) является общим решением уравнения (51.1). Для этого надо доказать, что из решения (51.4) можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям

(51.5)

41.Линейные неоднородные ДУ с постоянными коэффициентами. Метод неопределённых коэффициентов для уравнений со специальной правой частью.

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, т. е. уравнение

y''+p*y'+q*y=f(x) (51.10)

где р и q — некоторые числа.

Для уравнений с постоянными коэффициентами (51.10) существу ет более простой способ нахождения у*, если правая часть f(x) урав­нения (51.10) имеет так называемый «специальный вид»:

I.f(x) = Р_п(x) * е^ах

или

II.f(x) = е^ах *(Р_n (x) • cosβх + Q_m(ж) *sin βх).

Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициен­тов, состоит в следующем: по виду правой части f(x) уравнения (51.10) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение (51.10) и из полу­ченного тождества находят значения коэффициентов.

Случай 1. Правая часть (51.10) имеет вид f(x) = Р_п(x) • е^ах, где а € R, Р_п (x) — многочлен степени п. Уравнение (51.10) запишется в виде

(51.11)

y''+p*y'+q*y=P_n(x)*e^ax

В этом случае частное решение у* ищем в виде:

y^*=x^r * Q_n(x)*e^ax (51.12)

42.Системы ДУ, их связь с ДУ высших порядков. Понятие решения системы ДУ. Метод исключения для интегрирования систем ДУ. Интегрируемые комбинации.

Системой ДУ называется совокупность ДУ, каждое из которых содержит независимую переменную, искомые функции и их производ­ные.

Общий вид системы ДУ первого порядка, содержащей п искомых функций у₁ , у₂,..., y_n следующий:

Система ДУ первого порядка, разрешенных относительно произ­водной, т. е. система вида

(52.1) называется нормальной системой ДУ

Решением системы (52.1) называется совокупность из п функ­ций y₁, y₂, ... ,у_п, удовлетворяющих каждому из уравнений этой системы.

Начальные условия для системы (52.1) имеют вид

43.Системы линейных ДУ, Однородные системы линейных ДУ и свойства их решений.

Система Дифференциальных Уравнений называется линейной, если она линейна относительно всех неизвестных функций и их производных.

44.Неоднородные системы линейных ДУ, их частные решения. Принцип суперпозиции. Метод вариации постоянных.

45.Системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера для однородных систем. Характеристическое уравнение.

Рассмотрим еще один метод интегрирования нормальной системы* уравнений (52.1) в случае, когда она представляет собой систему линейных однородных ДУ с постоянными коэффициентами, т. е. систему вида

Для простоты ограничимся рассмотрением системы трех уравне­ний с тремя неизвестными функциями у₁ , у₂ и у₃:

(52.6)

где все коэффициенты aij (i,j = 1,2,3) — постоянные.

Будем искать частное решение системы (52.6) в виде

y_i =α* е^кх, y₂=β* е^кх, у₃ = γ* е^кх, (52.7)

где α, β, γ, к — постоянные, которые надо подобрать (найти) так, чтобы функции (52.7) удовлетворяли системе (52.6).

Уравнение

называется неоднородным линейным уравнением Эйлера, а уравнение без правой части

называется однородным линейным уравнением Эйлера.

Эти уравнения подстановкой приводятся к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Так как функции у₁ и у₂ линейно зависимы, то в равенстве (49.15) значение a₁ или а₂ отлично от нуля. Пусть a₁≠ 0, тогда ;поэтому для любого х € (а; Ь)

Т. Если функции у₁ (х) и у₂ (x) — линейно независимые решения уравнения (49.13) на (a;b), то определитель Вронского на этом интервале нигде не обращается в нуль.

Из теорем следует, что вронскиан не равен нулю ни в одной точке интервала (а; b) тогда и только тогда, когда частные решения линейно независимы.

Совокупность любых двух линейно независимых на интервале (а; b) частных решений у₁ (х) и у₂{х) ЛОДУ второго порядка опре­деляет фундаментальную систему решений этого уравнения: любое произвольное решение может быть получено как комбинация у = a₁ y₁ {х) + a₂ y₂ (x).

Систему уравнений (52.1) можно решать методом ин­тегрируемых комбинаций. Суть метода состоит в том, что посредством арифметических операций из уравнений данной системы образуют так называемые интегрируемые комбинации, т. е. легко интегрируемые уравнения относительно новой неизвестной функции.

где r — число, равное кратности а как корня характеристического уравнения k² + рк + q = 0 (т. е. г — число, показывающее, сколько раз а является корнем уравнения к² + рк + q = 0), a Q_n{x) — А₀ х^п + A₁ x^n-1 + ... + А_п — многочлен степени п, записанный с неопреде­ленными коэффициентами А_i (i = 1,2,..., п).

Случай 2. Правая часть (51.10) имеет вид

f(x) = е^ах - (Р_п(х) * соs βx + Q_m (x) sinβx),

где Р_п(х) и Qm(x) — многочлены степени п и т соответственно, а и β- действительные числа.

Уравнение (51.10) запишется в виде

у” +ру' +qy = е^ах * (Р_п(х)* cosβx + Q_m(x) * sinβx)(51.14)

Можно показать, что в этом случае частное решение у* уравнения (51.14) следует искать в виде

у* = х^r * е^ах *(M_l (x) соsβx + N_l (x) * sin βx), (51.15)

где r — число, равное кратности α +β как корня характеристического уравнения к² + рк + q = 0, M_l (x) и N_l (х) — многочлены степени L с не­определенными коэффициентами, L — наивысшая степень многочленов Р_п(х) и Q_m(х), т. е. L = тах(п,т).

Продифференцировав функцию (51.4) и подставив начальные ус­ловия (51.5) в функцию (51.4) и ее производную, получим систему урав­нений:

где уо = у(хо), y'о = у'(хо), с неизвестными c₁ и с₂. Определителем этой системы является определитель Вронского W(xо) для функции у₁ (x) и y₂ (x) в точке x = xо. Функции y₁(x) и у₂(х) линейно незави­симы (образуют фундаментальную систему решений), т. е. W(xо) ≠ 0. Следовательно, система имеет единственное решение: c₁ = с⁰₁ и с₂ = с⁰₂.

Решение у=у* +c⁰₁ y₁ (x) +c⁰₂ y₂ (x) является частным решени­ем уравнения (51.1), удовлетворяющим заданным начальным услови­ям (51.5).

Рассмотрим ЛНДУ (51.1). Его общим решением является фук ция (51.3), т. е.

Частное решение у* уравнения (51.1) можно найти, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения (51.2), методом вариации произвольных постоянных

Подставив эти функции в систему (52.6) и сократив на множитель е^кх ≠ 0, получим:

или

(52.8)

Систему (52.8) можно рассматривать как однородную систему трех ал­гебраических уравнений с тремя неизвестными α, β, γ. Чтобы эта си­стема имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы опре­делитель системы был равен нулю:

(52.9)

Уравнение (52.9) называется характеристическим уравнени­ем системы (52.6). Раскрыв определитель, получим уравнение тре­тьей степени относительно к.