Вышка 3

19.Понятие непрерывности функций нескольких переменных. Свойства непрерывных функций.

Функция z = f{x;y) (или f{M)) называется непрерывной в точ­ке Мо(хо;уо), если она:

а)определена в этой точке и некоторой ее окрестности,

б)имеет предел

в) этот предел равен значению функции z в точке М₀, т. е.

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, назы­вается непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается, называются точками разрыва этой функции.

Можно дать другое, равносильное приведенному выше, определе­ние непрерывности функции z = f(x; у) в точке. Обозначим ∆x = x-xо, ∆у = y- уо, ∆z = f{x,у)- f(xo,yo)- Величины ∆x и ∆у называются приращениями аргументов х и у, a ∆z — полным приращением функ­ции f(x;y) в точке Мо(хо;Уо).

Функция z = f(x;y) называется непрерывной в точке М₀(x₀; уо) € D если выполняется равенство

т.е. т. е. полное приращение функции в этой точке стремится к нулю, когда приращения ее аргументов x и у стремятся к нулю.

20.Частные производные. Дифференцируемость функций нескольких переменных.

Пусть задана функция z = f(x;y). Так как x и у — независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной х приращение ∆ч, сохраняя значение у неизменным. Тогда z получит приращение, которое назы­вается частным приращением z по x и обозначается ∆_xz. Итак, ∆_xz=f(x +∆x; y)- f(x; y).

Аналогично получаем частное приращение z по у:

∆_yz=f(x; y+∆y)-f(x; y). Полное приращение ∆z функции г определяется равенством ∆z=f(x+ ∆x; y+ ∆y)-f(x; y).

Если существует предел

го он называется частной производной функции z =(x; у) в точке М(х,у) по переменной х и обозначается одним из символов:

Аналогично определяется и обозначается частная производная от z = f(x;y) по переменной у:

Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных неза­висимых переменных.

21.Дифференциал функции нескольких переменных. Теорема о существовании полного дифференциала.

Функция z=f(x;y) называется дифференцируемой в точке М(х;у) если её полное приращение в этой точке можно представить в виде: z=A*∆x+B*∆y+

+α*∆x+β*∆y, где α=α(∆x; ∆y)→0 и

β=β(∆x; ∆y)→0 при ∆x→0, ∆y→0. Сумма первых слагаемых в равенстве представляет собой главную часть приращения функции. Главная часть приращения функции z=f(x; y), линейная относительно ∆x и ∆y, называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом dz:

dz= A*∆x+B*∆y.

Выражения A*∆x и B*∆y называются частными дифференциалами.

Т.(достаточное условие дифференцируемости). Если функция z=f(x; y) имеет непрерывные частные производные z’_x и z’_y в точке М(х;у), то она дифференцируема в этой точке и её полный дифференциал выражается формулой

22.Геометрический смысл дифференцируемости функции двух переменных. Касательная плоскость и нормаль.

Графиком функции z=(x; у) яв­ляется некоторая поверхность. График функции z = f\x;yo) есть линия пересечения этой поверх­ности с плоскостью y=yo. Исходя из геометрического смысла произ­водной для функции одной перемен­ной , заключаем, что f^'_x (xo,yo)=tga, где а — угол ме­жду осью Ох и касательной, прове­денной к кривой z = f(x;yo) в точке М₀(х₀;у₀; f(x₀;yo))

для сечения у = у₀, построим касательную L₂ к кривой z₀ (x) в точке х=x₀. Прямые L₁ и L₂ опре­деляют плоскость а, которая называется касательной плоскостью к поверхности S в точке М₀.

Составим ее уравнение. Так как плоскость а проходит через точку Мо{хо;уо; zo), то ее уравнение может быть записано в виде

А(х - x₀) + В{у - у₀) + C(z - z₀) = 0, которое можно переписать так: z - z₀ = А₁ (х - х₀) + В₁ (у - у₀)- ур 45.1

23.Дифференцирование сложных функций нескольких переменных. Однородные функции. Теорема Эйлера о дифференцировании однородных функций.

Однородная функция степени q— числовая функция такая, что для любого и выполняется равенство:

причём q называют порядком однородности.

Свойства:

1.Если функция f является многочленом от n переменных, то она будет однородной функцией степени q в том и только в том случае, когда f — однородный многочлен степени q , в частности в этом случае q должно быть целым.

2. Однородная функция в нуле равна нулю, если она там определена:

3. Лемма Эйлера. Однородные функции пропорциональны скалярному произведению своего градиента на вектор своих переменных с коэффициентом равным порядку однородности:

Пусть u = f (х, у) задана в области D и пусть х = х(t ) и у = у(t ) определены в области (∆) , причём, когда t€(∆) , то х и у принадлежат области D . Пусть функция u дифференцируема в точке M0 (x0, y0, z0), а функции х(t ) и у(t ) дифференцируемы в соответствующей точке t0, то сложная функция u = f [x(t), y(t)]=F (t) дифференцируема в точке t0 и имеет место равенство:

24.Производные высших порядков функций нескольких переменных. Смешанные производные. Теорема о смешанных производных. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функций нескольких переменных.

Частные производные называют частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от (х; у) € D. Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка.Они определяются и обозначаются следующим образом.

Аналогичным способом определяются производные 3-го 4-го и т.д. порядков.

Частная производная второго или более высокого порядка, взя­тая по различным переменным, называется смешанной частной производной.

25.Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия существования экстремума.

Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функций одной независимой переменной.

Пусть функция z = f(x; у) определена в некоторой области. точка N(x₀;y₍₎) €D.

Точка (хо;уо) называется точкой максимума функции z=f(x; у), если существует такая δ-окрестность точки (хо;уо), чтобы для каждой точки (х;у), отличной от (хо;уо), из этой окрестности выполняется неравенство f{x;y) < f(x₀; у₀ ).

Аналогично определяется точ­ка минимума функции: для всех точек (x; у), отличных от (x₀; уо), из δ-окрестности точки (xо;yо) вы­полняется неравенство: f(x;y) >f(x₀;y₀).

N₁-точка max, N₂-точка min

Значение функции в точке мак­симума (минимума) называется максимумом (минимумом.) функции. Максимум и минимум функ­ции называют ее экстремумами.

26.Квадратичная форма второго дифференциала. Достаточное условие существования экстремума функции нескольких переменных.

Достаточное условие существования экстремума.

Пусть в стаци­онарной точке (х0;уо)и некоторой ее окрестности функция f(x;y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка вклю­чительно. Вычислим в точке (хо;уо) значения А = f"_xх(xo;yo), В = = f"_yу (хo;yo), С = 1"_ху(х₀;уо)- Обозначим

Тогда:

1.если ∆ > 0, то функция f(x;y) в точке (хо;уо) имеет экстремум: максимум, если А < 0; минимум, если А > 0;

2. если ∆ < 0, то функция f(x; у) в точке (хо; у₀) экстремума не имеет. В случае ∆ = 0 экстремум в точке (xо; у о) может быть, может не быть.

27.Условный экстремум. Методы поиска условного экстремума. Функция Лагранжа. Наибольшее и наименьшее значение функции неск переменных в замкнутой области.

Условным экстремумом функции z = f (х, у) называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные х и у связаны уравнением  (х, у) = 0 .

Метод Лагранжа.

1.Составим функцию Лагранжа в виде линейной комбинации функции f и функций , взятых с коэффициентами, называемыми множителями Лагранжа — :

где

2. Составим систему из уравнений, приравняв к нулю частные производные функции Лагранжа по и .

3. Если полученная система имеет решение относительно параметров и , тогда точка может быть условным экстремумом, то есть решением исходной задачи. Заметим, что это условие носит необходимый, но не достаточный характер.

_______________

Частные производные называют частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от (х; у) € D. Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка.

Частная производная второго или более высокого порядка, взя­тая по различным переменным, называется смешанной частной

производной.

Функция z=f(x;y) называется дифференцируемой в точке М(х;у) если её полное приращение в этой точке можно представить в виде: ∆z=A*∆x+B*∆y+

+α*∆x+β*∆y.

Т.(необходимое условие дифференцируемости). Если функция z=f(x; y) дифференцируема в точке М(х;у) то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные

.

Т.(достаточное условие дифференцируемости). Если функция z=f(x; y) имеет непрерывные частные производные z’_x и z’_y в точке М(х;у), то она дифференцируема в этой точке и её полный дифференциал выражается формулой

Приведем свойства функций, непрерывных в ограниченной замкну­той области. Предварительно уточним понятие области. Областью называется множество точек плоскости, обладающих свойствами открытости и связности.

Свойство открытости: каждая точка принадлежит ей вместе с некоторой окрестностью этой точки.

Свойство связности-, любые две точки области можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этой области.

Точка No называется граничной точкой области D, если она не принадлежит D, но в любой окрестности ее лежат точки этой обла­сти. Совокупность граничных точек области D называется границей D. Область D с присоединенной к ней границей называется замкнутой областью, обозначается D . Область называется огра­ниченной, если все ее точки принадлежат некоторо­му кругу радиуса R. В противном случае область на­зывается неограниченной. Примером неограничен­ной области может служить множество точек перво­го координатного угла, а примером ограниченной δ-окрестность точки М₀ (хо; уо).

Если функция z= f(N) непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она в этой области: а) ограничена, т. е. суще­ствует такое число R > 0, что для всех точек N в этой области выпол­няется неравенство |f(N)| < R; б) имеет точки, в которых принимает наименьшее т и наибольшее М значения; в) принимает хотя бы в од­ной точке области любое численное значение, заключенное между т и М.

Теорема 44.1 (Шварц). Если частные производные высшего поряд­ка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отлича­ющиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

В частности для z=f(x; y) имеем

Введем понятие дифференциала высшего порядка. Полный диф­ференциал функции называют также дифференциа­лом первого порядка. Пусть функция z = f(x;y) имеет непрерывные частные производ­ные второго порядка. Дифференциал второго порядка определяется по формуле d² z = d(dz):

Аналогично можно получить формулу для диф 3-го:

Полученные формулы справедливы лишь в случае, когда переменные х и у функции z=f(x; y) являются независимыми.

F(x)=

где xq = x0 + q Dx, Dx = x – x0

(разделив уравнение на –С и обозначив А₁=А/-С,

В₁=В/-С).Найдём А₁ и В_1. Уравнения касательных L₁ и L₂ имеют вид: .

Касательная l₁ лежит в плоскости а, следовательно, координаты всех точек 1_г удовлетворяют уравнению (45.1). Этот факт можно запи­сать в виде системы

Разрешая эту систему относительно B₁, получим, что В₁ = f'_y (xo;yo)-

Проводя аналогичные рассуждения для касательной 1₂, легко уста­новить, что A₁= f'_x (x₀ ,yo)/

Подставив значения А₁ и В₁ в уравнение (45.1), получаем искомое уравнение касательной плоскости:

Прямая, проходящая через точку М₀ и перпендикулярная каса­тельной плоскости, построенной в этой точке поверхности, назы­вается ее нормалью.

Используя условие перпендикулярности прямой и плоскости , легко получить канонические уравнения нормали:

Пусть функция z = f(x; у) определена и непрерывна в ограничен­ной замкнутой области . Тогда она достигает в некоторых точках своего наибольшего М и наименьшего т значений (т. н. глобальный экстремум). Эти значения достигаются функцией в точках, располо­женных внутри области , или в точках, лежащих на границе области.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений диф­ференцируемой в области функции z= f(x; у) состоит в следующем:

1. Найти все критические точки функции, принадлежащие D, и иычислить значения функции в них;

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x,y) па границах области;

3. Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее М и наименьшее m.

Необходимое условие существования экстремума:

Если в точке N(x₀; y₀) дифференцируемая функция z=f(x;y) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: f'_x(xo;yo) = О,

f'_y (хо; y0) = 0.

Зафиксируем одну из переменных. Положим, например, y=y0 получим функцию f(x; yо) = (x) одной переменной, которая имеет экстремум при х = х₀. Следовательно, согласно необходимому условию экстремума функции одной переменной, (xо) = 0, т. е. f’_y (x0; y0)=0

_________________