Вышка 4

28. Дифференциальные уравнения. Типы ДУ. Понятие решения ДУ. Интегральные кривые. Задача Коши.

Математические модели в виде уравнений, связывающих независимую переменную, искомую функцию и её производные называются дифференциальны­ми. Решением дифферен­циального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Типы ДУ:

Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

Однородные уравнения

Уравнения, приводящиеся к однородным

Обобщенные однородные уравнения

Линейные дифференциальные уравнения

ДУ 1-го и 2-го порядка.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Вопрос об интегрировании дифференциального уравнения считается решенным, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде или нет.

29.Обыкновенные ДУ первого порядка. ДУ первого порядка, разрешённые относительно производной. Семейство интегральных кривых. Изоклины.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов):

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае можно записать в виде F(x; y; y’)=0- ур 48.1

Уравнение связывает независимую переменную х, искомую функцию у и ее производную у'. Если уравнение (48.1) можно разрешить относительно у', то его записывают в виде y'=f (x; y)-ур 48.2 и называют ДУ первого порядка, разрешенным относительно npouзводной. Уравнение (48.2) устанавливает связь (зависимость) между координатами точки (х;у) и угловым коэффициентом у' касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку.

Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, называется изоклиной. Изоклинами можно пользоваться для приближенного построения интегральных кривых. Уравнение изоклины можно по лучить, если положить y’=c, т.е. f(x; y)=c

30.ДУ с разделёнными и разделяющимися переменными. Однородные ДУ первого порядка, их решение.

Наиболее простым ДУ первого порядка является, уравнение Р(х) * dx + Q(y) *dy = 0.

В нем одно слагаемое зависит только от х, а другое — от у. Иногда такие ДУ называют уравнениями с разделенными переменными. Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем: JP(x) *dx + J Q(y)*dyy = c- его общий интеграл.

Более общий случай описывают уравнения с разделяющимися ременными, которые имеют вид

-ур 48.6

Особенность уравнения (48.6) в том, что коэффициенты при dx и dy представляют собой произведения двух функций (чисел), одна которых зависит только от х, другая — только от у.

Уравнение (48.6) легко сводится к уравнению (48.5) путем почлен ного деления его на Q₁ (y)*Р₂ (х)≠ 0. Получаем:

-общий интеграл.

31.Линейные ДУ первого порядка и их решения. Уравнение Бернулли.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде у' +р(х)* у = g(х), (48.11)

где р(х) и g(х) — заданные функции, в частности - постоянные.

Особенность ДУ (48.11): искомая функция у и ее производная входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой.

Метод Бернули:

Решение уравнения (48.11) ищется в виде произведения двух других функций, т. е. с помощью подстановки у = u* v, где и = и(х) и v=v(x) -неизвестные функции от х, причем одна из них произволь­на (но не равна нулю — действительно любую функцию у(х) можно записать как

где v(x)≠0). Тогда y'=u’*v+u*v’. Подставляя y и y' в уравнение 48.11 получаем u’*v+u*v’+ p(x)*u*v=g(x).

Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной):

Уравнение (48.11) интегрируется следующим образом. Рассмотрим соответствующее уравнение без правой части, т.е. уравнение у'+р(х)у=0. Оно называется линейным однородным Ду первого порядка. В этом уравнении переменные делятся:

32.ДУ первого порядка в полных дифференциалах. Условие Эйлера. Интегрирующий множитель.

Уравнение P(x;y)dx+ Q(x;y)dy = 0 (48.17)

|^| называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции и(х;у), т. е. Р(х; у) dx + Q(x; у) dy = du(x; у).

В этом случае ДУ (48.17) можно записать в виде du(x; у) = 0, а его общий интеграл будет: и(х;у)=с.

Приведем условие, по которому можно судить, что выражение ∆ = Р(х; у) dx + Q(x; у) dy есть полный дифференциал.

Теорема. Для того чтобы выражение ∆= Р(х; у) dx+Q(x; у) dy,где функции Р(х; у) и Q(x;y) и их частные производные

непрерывны в некоторой области D плоскости Оху, было полным дифференциалом, необходимо и достаточно выполнение условия

ур 48.19

Если условие (48.19) нe выполняется, то ДУ (48.17) не является уравнением в полных дифференциалах.

Однако это уравнение иногда можно привести к уравнению в пол­ных дифференциалах умножением его на некоторую функцию t(x;y), называемую интегрирующим множителем.

33.Теорема существования и единственности решения ДУ первого порядка, разрешённого относительно производной.

Теорема (существования и единственности решения задачи Коши). Если в уравнении

y '=f(x; y) функция f(x;y) и ее частная про­изводная f'_y (x;y) непрерывны в некоторой области D, содержащей точку (xо;yо). то существует единственное решение у = (x) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что при выполнении ее условий существует единственная интегральная кривая ДУ, проходящая через точку (x₀; yо).

34.ДУ высших порядков, Теорема существования и единственности решения ДУ высших порядков.

Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае записыва­ется в виде

F(x;y,y';y" )= 0 (49.1)

или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно старшей производной:

у" = f(x; у, у') (49.2)

Решением ДУ (49.2) называется всякая функция у=(х), кото­рая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Общим решением ДУ (49.2) называется функция у = (x; C₁; с₂), где С₁ и С2 — не зависящие от х произвольные постоянные, удовле­творяющая условиям:1. (x; C₁; c₂) является решением ДУ для каждого фиксированного значения С₁ и с₂.

2. Каковы бы ни были начальные условия

существуют единственные значения постоянных с₁ = C⁰₁ и С2 =C⁰₂ такие, что функция у = (x; с°₁; с⁰₂) является решением уравнения (49.2) и удовлетворяет начальным условиям (49.3).

35.Простейшие типы ДУ, допускающие понижение порядка.

Тип 1.

Пусть дано уравнение y''=f(x)- ур 49.6

Порядок можно понизить, введя новую функцию р(x), положив у' =р(х). Тогда у" = р'(х) и получаем ДУ первого порядка: р' = f(x). Решив его, т. е. найдя функцию р = р(х), решим уравнение у' = р(х). Получим общее решение заданного уравнения (49.6).

На практике поступают иначе: порядок понижается непосредствен­но путем последовательного интегрирования уравнения.

Тип 2.

Пусть дано уравнение y''=f(x; y')- ур 49.7, не содержащее явно искомой функции у.

Обозначим у' = р, где р = р(х) — новая неизвестная функция. Тогда у" = р’ и уравнение (49.7) принимает вид р' = f(x;с₁). Пусть р =(х;c₁ ) — общее решение полученного ДУ первого порядка. Заме­няя функцию р на у', получаем ДУ: у' = (х; с₁ ). Оно имеет вид (49.6). Для отыскания у достаточно проинтегрировать последнее уравнение. Общее решение уравнения (49.7) будет иметь вид

Частным случаем уравнения (49.7) является уравнение

- (49.8) не содержащее также и независимую переменную х.

36.Линейные ДУ высших порядков. Однородные ДУ высших порядков и свойства их решения.

Уравнение вида,

b₀(x)y^{n) + b₁ (x)y^{n-1) + ... + b_п(х)у = g(х), (49.11)

где b₀ (х)≠ 0, b₁ (x),...,b_n(x),g(x) — заданные функции (от x), называется линейным ДУ п-го порядка.

Оно содержит искомую функцию у и все ее производные лишь в первой степени. Функции b₀ (х), b₁ (х),..., b_п(х) называются коэффициентами уравнения (49.11), а функция g(х) — его свободным членом.

Если свободный член g(х) = 0, то уравнение (49.11) называется линейным однородным уравнением; если g(х)≠ 0, то уравне­ние (49.11) называется неоднородным.

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение! (ЛОДУ) второго порядка:

у" + a₁ (х)у' + a₂ (х)у = 0 (49.13)

и установим некоторые свойства его решений.

Т. Если функции у₁ = (х) и у₂ = у₂ (х) являются частными решениями уравнения (49.13), то решением этого уравне­ния является также функция

y= C₁ y₁ (х) + с₂у₂ (x), (49.14)

где C₁ и С2 — произвольные постоянные.

Функция (49.14) содержит две произвольные постоянные и явля­ется решением уравнения (49.13). Может ли она являться общим ре­шением уравнения (49.13)?

К уравнению с разделяющимися переменными приводятся один родные ДУ первого порядка.

Функция f(x; у) называется однородной функцией п-го порядка , если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель λ вся функция умножится на λⁿ, т. е.

Дифференциальное равнение y'=f(x; y)- ур 48.7 называется однородным, если функция f(x; y) есть однородная функция нулевого порядка. Покажем что однородное ДУ 48.7 можно записать в виде -ур 48.8.

Однородное уравнение 48.8 преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены переменной. (48.9)

Однородное уравнение часто задаётся в дифференциальной форме: P(x; y)*dx+Q(x; y)*dy=0-ур 48.10. Это уравнение будет однородным, если P(x; y) и Q(x; y)- однородные функции одинакового порядка.

При интегрировании уравнений вида (48.10) нет необходимости предварительно приводить их (но можно) к виду (48.8): подстановка (48.9) сразу преобразует уравнение (48.10) в уравнение с разделяющимися переменными.

Интегральной кривой называется график решения геометрически неопределённого интеграла (первообразной), представляющего собой семейство «параллельных» кривых , где каждому числу С соответствует определенная кривая семейства. График каждой кривой и называется интегральной кривой.

y’=x²-x-1

Процесс отыскания решения ДУ называется его интегрированием, а график решения ДУ — интегральной кривой.

Задача Коши:

Х₀,у₀- начальные данные.

Задача отыскания решения ДУ первого порядка , удовлетво­ряющего заданному начальному условию , называется зада­чей Коши.

_________________

Чтобы уравнение t(x;у) * Р(х; у) dx + t(x;у) * Q(x; у) dy = 0 было уравнением в полных дифференциалах, должно выполняться условие

Выполнив дифференцирование и приведя подобные слагаемы, получим

Таким образом

Метод вариации произвольной постоянной состоит в том, что постоянную с в полученном решении заменяем функцией с(х), т. е. пола­гаем с = с(х).

Уравнение Бернулли:

Уравнение вида

-ур 48.15 называется уравнением Бернулли.

Если n=0 то ДУ 48.15- линейное, а при n=1- с разделяющимися переменными.

В общем случае разделив уравнение 48.15 на yⁿ≠0, получим:

-ур 48.16

На практике ДУ 48.15 легче искать методом Бернулли

В виде y=uv( не сводя его к линейному).

Для ответа на вопрос введем понятие линейной зависимости и линейной независимости функций.

Функции у₁ = y₁ (х) и y₂ = у₂ (x) называются линейно независи­мыми на интервале (a; b), если равенство

а₁y₁ + a₂y₂ = 0, (49.15)

где a₁, a₂ € R, выполняется тогда и только тогда, когда a₁ = а₂ = 0. | Если хотя бы одно из чисел а₁ или а₂ отлично от нуля и выполня­ется равенство (49.15), то функции у₁ и y₂ называются линейно зависимыми на (а; b).

Средством изучения линейной зависимости системы функций яв- ляется так называемый определитель Вронского или вронскиан (Ю. Вронский — польский математик).

Т. Если дифференцируемые функции y₁ (x) и у₂(x) ли­нейно зависимы на (а;b), то определитель Вронского на этом интер­вале тождественно равен нулю.

Т. Если функции у₁ (х) и у₂ (x) — линейно независимые решения уравнения (49.13) на (a;b), то определитель Вронского на этом интервале нигде не обращается в нуль.

Т.(структура общего решения ЛОДУ второго поряд­ка). Если два частных решения у₁ = y₁ (x) и у₂ =у₂(х) ЛОДУ (49.13) образуют на интервале (а; b) фундаментальную систему, то общим ре­шением этого уравнения является функция

y = c₁ у₁ + с₂ y₂, (49.16)

где С₁ и С₂ произвольные постоянные.

Тип 3.

Рассмотрим уравнение y''=f(y; Y')- ур 49.10, которое не содержит явно независимой переменной х.

Для понижения порядка уравнения введем новую функцию р=Р(у) зависящую от переменной у, полагая у' = р. Дифференцируем это равенство по х, учитывая, что р=р(у(х)):

т.е.

. Теперь уравнение (49.10) запишется в виде

Пусть р =(у, C₁ ) является общим решением этого ДУ первого поряд­ка. Заменяя функцию р(у) на y’, получаем у' = (y; с₁ ) — ДУ с раз­деляющимися переменными. Интегрируя его, находим общий интеграл уравнения (49.10):

Частным случаем уравнения (49.10) является ДУ

y''=f(y)

Теорема (существования и единственности задачи Коши).

Если в уравнении (49.2) функция f(x;y;y') и ее частные производные f'y и f'y’ непрерывны в некоторой области D изменения переменных х. у и у', то для всякой точки (хо;yо,y'о) € D существует единствен­ное решение у =(x) уравнения (49.2), удовлетворяющее начальным условиям (49.3).