2. Теорема Тейлора.

Теорема Тейлора. Если f(z)C^(|z-z₀|<R), то степенной ряд

c_n(z-z₀)ⁿ =>f(z) при |z-z₀|<R.

Доказательство. Возьмем z: |z-z₀|<R и построим C_ - окружность радиуса  с центром в точке z₀ и содержащую точку z внутри: для C_: | -z₀|=, <R, |-z₀|>|z-z₀|.

Т.к. f(z)C^(|z-z₀|< ), то по интегральной формуле Коши ;

Преобразуем подынтегральное выражение

Мы воспользовались формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, ведь |z-z₀|/|-z₀|<1.  C_ ряд сходится равномерно по так как мажорируется сходящимся числовым рядом

f(z)= ;

c_n= =f⁽ⁿ⁾(z₀)/n!, что и доказывает и единственность разложения. 

 Замечания 1) Разложение функции f(z)= c_n(z-z₀)ⁿ называют разложением функции в ряд Тейлора.

2) По теореме Коши c_n= , где C - произвольный кусочно-гладкий контур, содержащий внутри себя точку z₀, целиком лежащий в области аналитичности функции.

Пример.

; …



.

3. Ряды Тейлора элементарных функций.

1. (Воспользоваться   k C_k=1/k!)

2. (Воспользоваться )

3. (Воспользоваться )

4. , (Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии)

5. (Воспользоваться тем, что производная данной функции может быть представлена суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии , ряд для исходной функции получается почленным интегрированием ряда для производной)

(Воспользоваться тем, что производная данной функции может быть представлена су§22. Единственность определения аналитической функции.

1. Понятие правильной точки.

Пусть f(z) задана в g, за исключением может быть некоторых изолированных точек.

Точка z₀g называется правильной точкой функции f(z), заданной в g, если  в круге |z-z₀|<(z₀), где (z₀)>0 - радиус сходимости степенного ряда.

Все остальные точки zg- особые точки функции f(z), заданной в g.

Замечание. Если f(z)C^ (g), то все zg- правильные точки f(z). Если f(z) задана в , то граничные точки могут быть как правильными, так и особыми.

2. Нули аналитической функции.

Определение. Пусть f(z)C^(g); f(z₀)=0, z₀g, тогда z₀ - нуль аналитической функции.   С₀ =0. В этом случае

Если C₁=…= C_n-1 =0, а C_n0, то z₀ - нуль n-того порядка. В этом случае

Заметим, что в нуле n-того порядка f(z₀) = f ' (z₀)=… = f^(n-1)(z₀) = 0, f⁽ⁿ⁾(z₀)0 и f(z)=(z-z₀)ⁿf₁(z), где f₁(z₀) 0.

Если C_n=0 n, то f(z)0.

Примеры.

1. Точка z=0 - нуль первого порядка.

2. Точка z=0 - нуль второго порядка.

3. Точка - ноль третьего порядка

4. Точка - ноль второго порядка

Теорема о нулях аналитической функции.

2. Пусть f(z)C^(g) и  : (z_iz_k , все z_ng и f(z_n)=0), имеющем предельную точку (точку сгущения) ag ( z_n=ag). Тогда f(z)0, для zg ммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии , ряд для исходной функции получается почленным интегрированием ряда для производной)

6. 



 k

В частности, при =0.5

Доказательство.

Т.к. ag, то причем радиус сходимости этого степенного ряда R₀ не меньше расстояния от a до g

f(z)C^(g)=> по непрерывности f(a)=0 => С₀=0, т.о.

Новая функция f₁(z) отличается от исходной одним множителем (z-a) => имеет те же нули , что и f(z). По непрерывности f₁(a)=0 => С₁=0.

Продолжая в том же духе, получим C_n=0 n. Это означает, что f(z)0 z: |z-a|<R₀

_­Докажем, что f(z₁)0, для z₁g.

Соединим z1 и a кусочно-гладкой кривой L, целиком лежащей в g и отстоящей от ее границы g на расстояние d>0.

Поскольку z: |z-a|<R₀ можно рассматривать, как предел последовательности нулей f(z), то в качестве нового центра разложения можем выбрать точку z=a₁ – точку пересечения кривой L с окружностью |z-a|=R_0­. Проведя аналогичные рассуждения, получим, что f(z)0 z: |z-a₁|<R₁, где R₁d. Продолжая рассуждать подобным образом, покроем всю кривую L кругами, внутри которых f(z)0. При этом точка z₁ попадет внутрь последнего круга и тем самым f(z₁)= 0.

Следствие. f(z)C^(g) внутри любой замкнутой подобласти может иметь лишь конечное число нулей, иначе .

Пример. sin (1/z) )C^(g/0) имеет в конечной замкнутой области бесконечное число нулей {z_n=1/n}0. Что не противоречит теореме, т.к. в z=0 нарушается аналитичность.