§23. Ряд Лорана.
Кольцо сходимости ряда Лорана.
Определение.
Рядом Лорана называется степенной ряд
вида
(суммирование ведется и по положительным,
и по отрицательным степеням), здесь z0
– фиксированная точка комплексной
плоскости.
Второе слагаемое
называется правильной
(регулярной) частью
ряда Лорана, первое
- главной
частью
ряда Лорана.
Очевидно, областью сходимости ряда Лорана будет пересечение областей сходимости его регулярной и главной части.
Из теоремы Абеля следует, что регулярная часть сходится в круге и является в нем аналитической функцией. C(|z-z0|<R1).
Сделаем
замену 1/(z-z0)=;
главная часть ряда Лорана принимает
вид
.
По теореме Абеля такой ряд сходится при
,
что соответствует внешности круга
.
При R2<R1 существует общая область сходимости - круговое кольцо R2<|z-z0|<R1. Свойства степенного ряда, следующие из теоремы Абеля :
1. C(R2<|z-z0|<R1).
Внутри кругового кольца сходимости ряд Лорана можно почленно дифференцировать и интегрировать любое число раз, при этом полученные ряды также аналитичны в том же кольце.
R1 определяется через {cn}, n=0,1,2...,: R1=1/L1, L1= или L1=
, а R2
- через {c-n},
n=1,2...,: R2=
,
или R2=
.
4. Коэффициенты ряда Лорана cn через значения суммы ряда в точке z0 не определяются! В точке z0 сумма ряда Лорана не определена!
Пимеры:
,
,
,
Теорема о разложении функции комплексной переменной, аналитической в круговом кольце в ряд Лорана.
Теорема (теорема Лорана) Если f(z)C(R2<|z-z0|<R1), то она однозначно разложима в этом кольце в ряд Лорана f(z)= .
Доказательство.
Фиксируем
произвольную точку z
внутри кольца: (R2<|z-z0|<R1)
и построим окружности C1
:|-z0|=R'1
и C2
: |-z0|=R'2
, с центром По формуле
Коши для многосвязной области
в силу аналитичности f(z),
справедливо
f(z)=
=f1(z)+f2(z)
Проведя почленное интегрирование, что возможно в силу равномерной сходимости ряда по переменной на C1
,
где введено обозначение
,
n>0.
На
окружности C2:|-z0|=R'2
выполняется неравенство
.
Поэтому, дробь
1/(-z)
можно представить в виде
В результате почленного интегрирования этого ряда получим:
,
где
введено обозначение
Изменив направление интегрирования, получим:
,
n>0
Подынтегральные функции в выражениях для cn и c-n являются аналитическими в круговом кольце R2<|z-z0|<R1.. Поэтому в силу теоремы Коши значения соответствующих интегралов не изменится при произвольной деформации контуров интегрирования в области аналитичности подынтегральных функций. Это позволяет записать общее выражение
,
n=0,1,2,…
где C - произвольный замкнутый контур, лежащий в кольце R2<|z-z0|<R1 и содержащий точку z0 внутри. Для f(z) окончательно можно записать:
f(z)=
.
Т.к. z - произвольная точка внутри кольца R2<|z-z0|<R1 ряд сходится к f(z) всюду внутри данного кольца, причем в замкнутом кольце R2<R'2|z-z0|R'1<R1 ряд сходится к f(z) равномерно.
Докажем
единственность разложения в ряд Лорана.
Предположим, что имеет место другое
разложение f(z)=
, где хотя бы один коэффициент c'ncn.
Тогда всюду внутри кольца R2<|z-z0|<R1
имеет место равенство:
=
Проведем окружность CR , радиуса R: R 2<R<R1 , с центром в точке z0 . Тогда ряды и сходятся на CR равномерно.
Умножим оба ряда на (z-z0)-m-1 , где m- произвольное целое число и проинтегрируем почленно по окружности CR.
Рассмотрим
.
Т.о. для m c'm=cm.
Примеры.
Разложить в ряд Лорана с центром в
,
,