1. Неопределенный интеграл функции комплексной переменной.

Если g- односвязная и f(z)C^(g), то для z₁, z₂g не зависит от пути интегрирования Т.о. при фиксированном z₀ интеграл - функция только z!

Определение. Пусть g-односвязная область, f(z)C(g) (не обязательно аналитическая!) и для  замкнутого контура g =0. Функция - называется неопределенным интегралом от f(z).

Теорема 6.1.

Пусть g-односвязная, f(z)C(g) и для  замкнутого контура g , тогда  , F(z)C^(g) и .

Доказательство.

В силу для  замкнутого контура не зависит от пути интегрирования => можем взять отрезок прямой, соединяющий точки z и z

В силу непрерывности f(z) правая часть неравенства может быть сделана меньше <0 для =>

 .

Т.о. F(z) – неопределенный интеграл от функции комплексного переменного f(z).

И F(z) – аналитическая, т.к. ее производная по условию теоремы непрерывна. § 7. Интегральная формула Коши. Интеграл Коши.

1. Интегральная формула Коши.

Пусть f(z) C^( ). Выразим f(z₀) (z₀g) через значения f(z) на g.

(z)=f(z)/(z-z₀)  C^( /z₀).

Возьмем в области g произвольный такой замкнутый контур  : z₀  . (z)C^(g^*) (g^* - многосвязная область между g и ).

По теореме Коши для многосвязной области

: = z₀+e ^i, d = i e ^i d

В силу произвольности можем 0.

f(z) C^( )=>  >0  : |f()-f(z₀)|<  как только |-z₀|< (!) =>



Т.о. или

- интеграл Коши

Замечания.

1. Формула верна как для g односвязной, так и g- многосвязной, только в последнем случае ⁺- полная граница области, проходимая в положительном направлении.

2. Интеграл Коши имеет смысл для  взаимного расположения точки z₀ и замкнутого контура  (не проходящего через z₀) в области аналитичности f(z)

2. Следствия интегральной формулы Коши.

Формула среднего значения.

Пусть z₀- некоторая внутренняя точка односвязной области g. Возьмем окружность C_R с центром в z₀ и радиусом R, C_R  g.

Тогда

C_R: = z₀+R e^i _; d = i Re^i d = i e^i ds (ds – дифференциал дуги)

Принцип максимума модуля. Если f(z) C^( ), тогда или |f(z)|const или |f(z)| достигает своего максимального значения только на g. Доказательство.

Пусть максимум модуля достигается во внутренней точке : . Возьмем произвольную окружность с центром в этой точке и радиуса . Запишем формулу средних

Возьмем модуль

Из этого соотношения и непрерывности следует

Действительно, если на контуре существует точка, где , тогда в силу непрерывности существует окрестность этой точки , где ( ). Тогда

Если для окружности произвольного радиуса , тогда внутри некоторого круга с центром в точке и целиком лежащего в .

Выберем произвольную точку вне этого круга. Докажем, что и . Для этого проведем гладкую кривую, соединяющую точки и . Это можно сделать, т.к. - область.

Найдем точку пересечения окружности и этой кривой.

Повторим наши рассуждения, выбрав в качестве центра круга новую точку . Получим, что . Найдем точку пересечения окружности и кривой, соединяющей точки и . И т.д. пока не попадет внутрь очередного круга . Т.о. предположив, что , мы доказали, что в любой другой внутренней точке области.