For Exam / Двойные интегралы 2

1) Свести двойной интеграл f (x , y )dxdy к

G

повторному двумя способами (по формуле (1) и по формуле (2)), если G - область, ограниченная кривыми

x=1, y=x 2, y =2 x (x ≤1) . а Рисунок 1 б

I способ. Область G изображена на рисунке 1, а. При каждом значении x из отрезка [0,1] переменная y изменяется от x2 до 2x , т. е. Область G можно представить в виде G={(x , y ):0≤x≤1, x 2≤ y≤2 x} . По формуле (1)

II способ. Чтобы воспользоваться формулой (2), нужно разбить область G на две части, G1 и G2 , как показано на рисунке 1, б. В области G1 переменная y изменяется от 0 до 1, а при каждом значении y переменная x изменяется от y /2 (значение x на прямой y=2 x ) до √ y (значение y на параболе y=x 2 ) . Поэтому по формуле (2)

В области G2 переменная y изменяется от 1 до 2, а при каждом значении y переменная x изменяется от y /2 до 1. По формуле (2) имеем

21

f (x , y )dxdy =∫dy ∫ f (x , y )dx .

Вычисляем внутренний интеграл в повторном, пользуясь формулой НьютонаЛейбница:

Теперь вычисляем повторный интеграл:

∫(x2− 23 x3− 13 x6 )dx=(x33 − 16 x4− 211 x7) 10= 425 .

3)Изменить порядок интегрирования в повторном

0√(2 x−x2)

Кривые y=√2 x −x2 , y=√2 x и отрезок прямой x=2 ограничивают область G, изображенную на рисунке 3, а.

а Рисунок 3 б Данный повторный интеграл равен двойному интегралу по

этой области. Чтобы изменить порядок интегрирования в повторном интеграле, нужно разбить область G на три части, как показано на рисунке 3, б. Кривая y=√2 x −x2 является верхней полуокружностью окружности (x−1)2+ y2=1 . Разрешая это уравнение относительно x, получим два решения x=1±√1− y2 . В областях G1 и G2

переменная y изменяется от 0 до 1, а при каждом значении y переменная x изменяется в области G1 от y2 /2 (значение x

22

f (x , y )dxdy =∫dy ∫ f (x , y )dx .

1y2 /2

4)Найти площадь фигуры G, ограниченной кривой

неотрицательна при любых x и y, то и правая чатсть должна быть неотрицательной, а значит, x и y должны иметь одинаковые знаки. Следовательно, кривая расположена в I и III квадрантах, причем симметрична относительно начала координат. В самом деле, если точка M (x , y ) лежит на кривой, т. е. x и y удовлетворяют уравнению кривой, то и -x, -y также удовлетворяют этому уравнению, т. е. точка M ' (−x ,− y ) , симметрична точке M относительно начала координат, также лежит на кривой. Поэтому и вся фигура G состоит из двух частей, симметричных друг другу относительно начала координат. Найдем площадь S 1 части фигуры, расположенной в I квадранте. Для этого удобно перейти к новым переменным

— обобщенным полярным координатам. Они вводятся по формулам x− x0=a ρβ cosα φ , y− y0=bρβ sinα φ , где

x0, y0, a , b , α , β - некоторые числа, выбираемые в каждом конкретном случае из соображений удобства. Якобиан этого отражения равен ab αβρ2 β−1 sinα−1 φ cosα−1 φ .

В данном случае удобно взять x0= y0 =0, α=2, β=1 .

интеграл к повторному, получим

=∫−11 [x2(1− x2)+ 13 (1− x6 )]dx= 10588 .