For Exam / Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций 2

Методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование. Основано на преобразовании подынтегрального выражения с помощью арифметических операций к одному из табличных интегралов либо к сумме интегралов имеющихся в таблице.

Решение. Возведем числитель подынтегральной дроби в куб и полученный многочлен разделим почленно на знаменатель

x 12dx 3 dx 3 x12dx xdx

2x 3x 2xx x2 c.

2. Метод замены переменной (подстановки)

Пусть функция x t определена и дифференцируема на множестве t , и пусть x множество значений этой функции.

Пусть для функции f x существует на множестве x

первообразная F x , тогда на множестве t для функции f t t

существует первообразная F t .

Этот результат обычно записывают в виде

f x dx f t t dt.

После взятия интеграла справа делают обратный переход к переменной x.

Замена переменной делается для того, чтобы свести интеграл к табличному или к интегралу, для которого известны способы интегрирования. Выбор правильной подстановки в значительной степени определяется умением анализировать подынтегральную функцию.

Метод замены переменной является основным методом интегрирования в неопределенном интеграле, который используется как промежуточный элемент интегрирования в сочетании с другими методами.

3. Метод интегрирования по частям

Основан на использовании формулы

u x dv x u x v x v x du x ,

если u x и v x - дифференцируемые функции. Важным условием удачного использования исходной формулы интегрирования по частям является правильный выбор функции u и выражения dv, в связи с этим можно пользоваться приведенным ниже перечнем интегралов, берущихся по частям, сгруппированных по типам (условно).

Первый тип интегралов, берущихся по частям:

p x eaxdx , p x sinaxdx, p x cosaxdx,

где p x - многочлен произвольной целой неотрицательной степени относительно x, a - постоянная.

В интегралах этого типа за u принимают многочлен p x , т.е. u p x , все остальное принимают за dv, т.е.

Пример 3. Вычислить интеграл xexdx .

Решение. Положим u x , dv exdx v ex , c 0 .

Процесс интегрирования будем записывать следующим образом:

xexdx dv exdx, v ex x ex exdx xex ex c.

Ответ: xexdx x 1 ex c.

При нахождении функции v по известному выражению dv в

sin x

cosx

p x lnxdx, p x arc dx, p x - многочлен.

tgx

все остальное есть dv, т.е. dv p x dx.

Далее процесс интегрирования ведется аналогично предыдущему случаю.

1 x 1arctgx c.

2 2

Третий тип интегралов, берущихся по частям:

Интегралы этого типа находятся двукратным интегрированием по частям. За u можно принимать любую из функций.

Пример 5. Найти интеграл e2x cos3xdx .

u e2x , du 2e2xdx

Решение: e2x cos3xdx dv cos3xdx, v 1sin 3x 3

1e2x sin3x 2e2x sin3xdx . 3 3

Вычислим полученный интеграл в правой части равенства еще раз по частям

ue2x, du 2e2xdx

e2x sin3xdx dv sin3xdx, v 1cos3x

3

В правой части равенства в результате второго интегрирования по частям получен исходный интеграл с коэффициентом. Перенесем этот интеграл в левую часть и, объединив с исходным интегралом, получим

Интегрирование рациональных дробей

числитель и знаменатель – многочлены степеней n и m n,m N с действительными коэффициентами.

неправильной. Если n m - дробь правильная.

Теорема 1. Всякая неправильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы многочлена и правильной дроби, а именно

меньшей, чем m.

Теорема 2. Всякий многочлен степени m может быть представлен в виде произведения по корням действительным или комплексным в том числе и кратным.

Другими словами, если многочлен степени m Qm x имеет

действительные корни x1,x2,... и комплексные корни, то

Qm x

a0 x x1 x x2 ... x2 p1x q1 ... x2 p2x q2 ,

где a0 - действительное число, коэффициент при xm ,

x1,x2 - действительные корни, а квадратичные множители действительных корней не имеют и выполняется условие

... 2 ... 2 m .

Определение 3. Правильные рациональные дроби вида:

1)A ,

xa

A

2) x a k (k - целое положительное число 2),

Теорема 3. Всякая правильная рациональная дробь может быть разложена на сумму простейших дробей: если корень знаменателя действительный, то в числителе простейшей дроби пишем постоянную; если же корни комплексные, то в числителе пишем многочлен первой степени.

Пример разложения правильной дроби на простейшие:

коэффициенты A1, A2 , A3 , B1, B2, C1, C2, D1, D2 , M1, M2 , M3 , N1,N2,N3 называют неопределенными коэффициентами,

которые находят после приведения правой части равенства к общему

знаменателю, из условия равенства многочленов числителей справа и слева от знака равенства.

Интегрирование рациональных дробей, связанное с разложением подынтегральной дроби на простейшие с последующим нахождением неопределенных коэффициентов, называют методом неопределенных коэффициентов.

x3 x 2

Пример 6. Найти интеграл: x 3 x 4 dx .

x3 x 2

Решение. Подынтегральная дробь x 3 x 4 - неправильная,

следовательно, преобразуем ее к правильной дроби и целой части, разделив числитель на знаменатель

Для нахождения полученного интеграла разложим подынтегральную дробь на простейшие