Лекция 14

i

Следовательно, общая емкость батареи последовательно соединенных конденсаторов может быть найдена из соотношения:

(10)

11

4. ПОЛЯРИЗАЦИЯ ДИЭЛЕКТРИКОВ И ВЕКТОР СМЕЩЕНИЯ

Наличие диэлектрического материала между обкладками увеличивает относительную диэлектрическую

благодаря процессу диэлектрической поляризации.

Как отмечалось ранее, процесс диэлектрической поляризации состоит в смещении связанных зарядов под действием внешнего поля из мест своего равновесного закрепления. Смещенные полем заряды образуют систему электрических мультиполей (среди которых в силу электронейтральности молекул, основными являются диполи). В диполи «превращаются» атомы, молекулы, более сложные структурные единицы вещества и сам диэлектрик в целом.

Для простоты будем считать, что единственной структурной единицей вещества является молекула и обозначим ее дипольный момент, дающий вклад в

поляризацию, pi .

Выберем в поляризованном диэлектрике произвольную точку А и в ее окрестности рассмотрим элемент

поляризованность диэлектрика (рис. 3).

12

однородна. Сложим векторы дипольных моментов всех молекул в элементе и разделим эту сумму на объем элемента V :

(11)

Полученная таким образом величина PE называется вектором поляризации (поляризованностью) в точке А.

Модуль этого вектора имеет смысл суммарного дипольного момента единицы объема диэлектрика и потому он иногда называется плотностью дипольного момента.

Физический смысл вектора поляризации РЕ (х, у, z) состоит в том, что его модуль определяет степень

направлением поляризации.

Вектор поляризации является макроскопической характеристикой, поэтому он определяется напряженностью внешнего макроскопического поля,

13

вызывающего поляризацию, и не зависит от полевых флуктуаций, создаваемых в точке микрополями окружающих молекул.

В системе СИ связь вектора поляризации PE с макроскопической напряженностью Е для линейной изотропной среды выражается соотношением:

(12)

где коэффициент пропорциональности E характери-

зующий способность диэлектрика к поляризации, называется электрической восприимчивостью.

способом связана с проницаемостью . Поскольку вакуум не подвержен диэлектрической поляризации, то при переходе к вакууму восприимчивость должна обратиться в нуль, а относительная диэлектрическая проницаемость

— в единицу.

Простейшей формой такой связи, которая и

14

ВЕКТОР СМЕЩЕНИЯ.

Для описания электрического поля помимо напряженности и потенциала вводится еще одна характеристика, называемая вектором смещения и обозначаемая

соотношение:

(1)

Отметим, что напряженность и потенциал обладают непосредственным смыслом и определенной наглядностью. Действительно, напряженность — это силовая, а потенциал — энергетическая характеристика поля. В отличие от них вектор смещения не имеет непосредственного смысла и лишен наглядности. Он вводится в

теорию электричества только потому, что с его помощью в удобной для исследований и расчетов форме записываются уравнения для электрических полей в неоднородных диэлектрических средах.

(2)

Эта формула справедлива для линейного изотропного диэлектрика.

В нелинейной среде диэлектрическая проницаемость

15

5.ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

При переходе электрического поля через границу раздела двух диэлектрических сред обе векторные характеристики поля — вектор напряженности и вектор смещения скачкообразно изменяются по величине и направлению. Соотношения, характеризующие эти изменения, называются граничными условиями. Таких условий четыре.

перпендикулярные и параллельные границе раздела (рис.

1).

Рис. 1

В области границы сред рассмотрим замкнутую поверхность в форме цилиндра длиной l , образующие которого перпендикулярны к границе, а основания — параллельны границе. Площадь боковой поверхности

16

Применим к замкнутой поверхности постулат Максвелла с учетом, что на границе находятся лишь связанные заряды, а свободных зарядов нет. Очевидно, что потоки через основания создаются только нормальными составляющими векторов смещения, а поток через боковую поверхность — только тангенциальными составляющими. Поэтому постулат Максвелла может быть представлен в виде:

(3)

Рассмотрим предельный переход l 0 , при котором оба основания вплотную подходят к границе раздела, оставаясь, однако, по разные стороны от нее. При этом третий интеграл в (17) стремится к нулю, поскольку к нулю стремится площадь боковой поверхности.

В первых двух интегралах нормальные составляющие D1n и D2n принимают значения в непосредственной близости от границы. Полагая, что размеры оснований малы по сравнению с пространственным масштабом неоднородности поля, заменим в (17) интегралы произведениями:

(4)

Напомним, что потоки, входящие внутрь замкнутых поверхностей, отрицательны, а выходящие -

17

положительны, что и отражено в (18). Учитывая равенство площадей оснований, получаем из (18) первое граничное условие:

(5)

Первое граничное условие (19) выражает непрерывность нормальных составляющих вектора смещения на границе раздела диэлектрических сред.

Оно выражает разрывное изменение нормальных составляющих вектора напряженности при переходе через границу раздела сред.

Для вывода третьего граничного условия вновь рассмотрим границу раздела сред и введем векторы напряженностей в средах, разложив их на нормальные и тангенциальные составляющие (рис. 2).

18

Рис. 2

В области границы рассмотрим замкнутый контур L в форме прямоугольника, две стороны которого перпендикулярны к границе, а две другие стороны параллельны ей. Обозначим длины сторон контура a иb , пронумеруем стороны и введем положительное направление обхода.

выражающее безвихревой характер электростатического поля. При этом учтем, что на четные стороны контура дают отличные от нуля проекции только нормальные составляющие векторов напряженности, а на нечетные — только тангенциальные составляющие. Тогда получим:

(8)

Рассмотрим предельный переход b 0 , при котором нечетные стороны контура подходят вплотную к

19

границе, оставаясь, однако, по разные стороны от нее. При таком переходе в (7) стремятся к нулю интегралы по четным сторонам, а в интегралах по нечетным сторонам

значения в непосредственной близости к границе раздела.

пространственным масштабом неоднородности поля, заменим в (21) интегралы на произведения E1 a и E2 a .

выбранному направлению обхода контура. Получаем третье граничное условие:

Третье граничное условие (8) выражает непрерывность касательных составляющих вектора напряженности на границе, раздела.

Подставив (2) в (8), получим четвертое граничное условие

(10)

выражающее разрывное изменение касательных составляющих вектора смещения при переходе через границу раздела.

Поскольку, как это следует из (6) и (9), у обоих векторов Е и D одна из составляющих испытывает на границе разрыв, оба вектора при переходе поля через границу скачкообразно изменяются по величине и направлению. Поэтому эти векторы на границе испытывают излом, т. е. преломляются.

20