Тр номер 2(математика)
.pdf
21.7. |
Найти |
угол |
между прямыми |
2x −2y −z +8 = 0, |
и |
|||||||||||||
|
|
2z +1 = 0 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2y − |
|
|
||||
x = −3t +1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y = 6t −2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z = 2t + 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2y +3z −13 = 0, |
привести |
||||||
21.8. Общие уравнения прямой |
|
−14 |
= 0 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x + y + 4z |
|
|
|
||||
к каноническому виду. |
|
x − y +3 = 0, |
|
|||||||||||||||
21.9. Найти косинус угла между прямыми |
и |
|||||||||||||||||
|
+ y + z = |
0 |
||||||||||||||||
|
x |
|
|
y + 2 |
|
|
z + 2 |
|
|
2x |
|
|||||||
|
= |
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
21.10. Доказать перпендикулярность прямых |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x |
= |
y − 2 |
|
= |
z − |
3 |
|
x + y = 0, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
−1 |
1 |
|
|
x − y + z +1 |
|
|
|
|
|
|||||||
21.11. Составить канонические уравнения прямой, проходящей
|
|
x − y −z =1, |
|
|||||||
через точку M(1;3;2) параллельно прямой |
+ y + 2z = 2. |
|
||||||||
|
|
x |
|
|||||||
21.12. Доказать параллельность прямых |
x −1 |
= |
|
y |
|
= z −2 |
, |
|||
|
5 |
|
|
−1 |
||||||
x − y + 2z = 0, |
|
|
|
|
−3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2y + z +3 = 0. |
|
|
x |
|
|
y |
= z −1 |
|
||
21.13. Доказать перпендикулярность прямых |
|
= |
и |
|||||||
1 |
|
|||||||||
|
|
3 |
|
|
3 |
|
||||
x +3y +3z +1 = 0,2x − y −z = 0.
21.14. Составить канонические уравнения прямой, лежащей в плоскости XOZ, проходящей через начало координат и
перпендикулярной к прямой x −3 2 = y−+21 = z −1 5 .
x −3y + 2 = 0,
21.15. Общие уравнения прямой привести к
2y −z +1 = 0
каноническому виду. |
|
x −1 |
|
|
y + 2 |
|
|
|
z |
|
|
||||||||||
21.16. |
Доказать, |
что |
прямые |
= |
= |
|
|
и |
|||||||||||||
2 |
|
|
|
|
−2 |
||||||||||||||||
|
x +1 |
|
y +11 |
= z +6 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
||||||||||
|
= |
пересекаются. |
|
|
Найти |
|
|
|
точку |
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
пересечения. |
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
y −1 |
|
|
|
z |
|
|
|||||||
21.17. |
Доказать, |
|
что |
прямые |
|
= |
|
= |
|
и |
|||||||||||
|
3 |
|
−2 |
|
|
||||||||||||||||
x + y −z = 0, |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||
|
параллельны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x − y −5z −8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
21.18. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
|
x = 2, |
|
|
A(−1;2;−3) и перпендикулярной к прямой |
|
|
|
|
y −z =1. |
|
|
21.19. Найти |
уравнения прямой, проходящей |
через |
точку |
A(2;7;−1) |
и образующей с осями OY и OZ углы |
120° |
|
и 45°. |
|
|
|
21.20. Найти |
уравнения прямой, проходящей |
через |
точку |
A(−1;3;4) |
и образующей с осями OX и OZ углы |
120° |
|
и 60°.
21.21. Даны три последовательные вершины параллелограмма A(3;0;−2), B(1;2;−4) и C(0;7;−2). Найти уравнения сторон
AD и CD.
21.22. В плоскости YOZ найти прямую, проходящую через начало координат и перпендикулярную к прямой
2x − y = 2,
x + 2z = −2.
21.23. При каких значениях коэффициентов A и B плоскость
Ax + By +6z −7 = 0 |
перпендикулярна |
к |
прямой |
|||||||||||
|
x −2 |
= |
|
y +5 |
= z |
? Найти орт вектора нормали плоскости. |
||||||||
2 |
|
−4 |
||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||
21.24. При каком |
значении коэффициента |
A |
плоскость |
|||||||||||
Ax +3y +5z +1 = 0 |
будет |
параллельна |
прямой |
|||||||||||
|
x −1 |
= |
y + 2 |
|
= |
z |
|
? Найти орт вектора нормали плоскости. |
||||||
|
4 |
|
|
|
||||||||||
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
21.25. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
x =1, |
|
|
+ t, |
A(−2;3;0) и через прямую y = 2 |
|
|
− t. |
z = 2 |
x = 2t −3, |
x = t +5, |
|
|
21.26. Доказать, что прямые y = 3t −2, |
и y = −4t −1, |
|
|
z = −4t +6 |
z = t −4 |
пересекаются. Найти точку их пересечения.
21.27. Составить уравнение плоскости, проходящей через две
параллельные |
|
|
прямые |
x −1 |
= |
y |
= |
z −1 |
и |
|||||
3 |
|
|
|
|||||||||||
|
x −2 |
|
y +1 |
|
|
z |
|
|
3 |
2 |
|
|||
|
= |
|
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
21.28. Составить уравнение плоскости, проходящей через
x = t +5,
y = −t +1, M(1;3;2)
прямую и точку .
z = 2t
21.29. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M1(1;1;0), M2 (3;0;−1) параллельно прямой x5 = −y5 = z 3−1 .
21.30. Даны точки A(1;1;1), B(2;3;3) и C(3;3;2). Составить уравнение прямой, проходящей через точку A и
перпендикулярной к векторам AB и AC . Составить канонические уравнения медианы AP.
Задача 22
22.1.Через линию пересечения плоскостей 4x − y +3z −1 = 0 и
x−5y −z + 2 = 0 провести плоскость, проходящую через точку A(1;1;1).
22.2.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
x =1, |
|
|
+ t, |
A(− 2;3;0) и через прямую y = 2 |
|
|
− t. |
z = 2 |
22.3.Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной к прямой пересечения
плоскости x −2y + 4z −3 = 0 с плоскостью OXZ.
22.4. Составить уравнение плоскости, проходящей через
x + y = 0,
прямую параллельно прямой x = y = z .
x − y −z −2 = 0
22.5. |
Найти координаты |
точки |
пересечения |
прямой |
|||||||
|
y = −2x +9, |
и плоскости 3x −4y |
+7z −33 = 0 . |
|
|
|
|||||
|
z = 9x −43 |
= z − |
|
|
|||||||
22.6. |
Проверить, |
что |
прямые |
|
x −3 |
= |
y +1 |
|
2 |
, |
|
5 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|||
x 3−8 = y1−1 = z−−26 пересекаются, и написать уравнение плоскости, проходящей через них.
22.7. Составить уравнение прямой, проходящей через точки
пересечения |
плоскости 2x + y −3z +1 = 0 с прямыми |
|||||||||||||||||
|
x −3 |
= |
y −5 |
= |
|
z +1 |
|
, |
x −5 |
= |
y −3 |
|
= |
z + 4 |
. |
|||
1 |
−5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
2 |
4 |
|
6 |
|
|||||||||||
22.8. Через прямую |
x −2 |
= |
y −3 |
= |
z +1 |
провести плоскость, |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|||||||
перпендикулярную плоскости x + 4y −3z +7 = 0 .
22.9. Написать уравнение к плоскости, проходящей через
прямую |
|
x −3 |
= |
y + 4 |
= |
z −2 |
и параллельной прямой |
||||||
|
|
|
|
−3 |
|||||||||
|
x +5 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|||||
|
= |
y |
= |
|
z |
. |
|
|
|
||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
|
|
−1 |
|
|
|
|||||||
22.10. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку |
|||||||||||||||||||||||
|
M(1;1;1) |
параллельно плоскости |
−2x + y −z +1 = 0 |
и |
|||||||||||||||||||
|
найти расстояние между этими плоскостями. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + y −z = 0, |
на |
||||||
22.11. Написать уравнение проекции прямой |
|
|
2 = 0 |
||||||||||||||||||||
|
координатную плоскость OXZ. |
|
2x − y + |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x −1 |
|
y + 2 |
|
z −5 |
|
||||||||||||||||
22.12. |
|
Убедиться, |
что |
прямые |
|
= |
= |
, |
|||||||||||||||
|
2 |
|
−3 |
|
|||||||||||||||||||
|
x −7 |
|
y −2 |
|
z −1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||
|
= |
= |
принадлежат одной |
плоскости, |
и |
||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
написать уравнение этой плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
22.13. |
|
Доказать, |
что |
2x + 2y + z −1 |
= 0, |
и |
|||||||||||||||||
|
прямые |
− y −z −22 = 0 |
|||||||||||||||||||||
|
|
x +7 |
|
y −5 |
|
z −9 |
|
x |
|
|
|||||||||||||
|
|
= |
= |
|
параллельны |
|
и найти расстояние |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
−1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
между ними.
22.14. Написать уравнения плоскостей, делящих пополам двугранные углы, образованные плоскостями
2x − y +5z −3 = 0 , 2x −10y + 4z −2 = 0 .
x = 3t + 2,
y = −t + 4,
22.15. Найти расстояние между прямыми иz = 2t +1
x 3+1 = y−−18 = z +2 3 .
22.16. Найти проекцию точки A(2;1;0) на плоскость y + z + 2 = 0 .
22.17. Показать, |
что |
прямые |
x +3 |
= |
y +1 |
= |
z +1 |
|
и |
|||
1 |
|
|
||||||||||
|
x + 4 |
|
y −2 |
= z |
|
2 |
1 |
|
|
|||
|
= |
пересекаются и |
найти |
точку |
их |
|||||||
3 |
|
|||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
пересечения.
22.18. Найти уравнение плоскости, проходящей через
параллельные |
прямые |
x −1 |
= |
y +1 |
= |
z − |
2 |
и |
|
1 |
|
−2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|||
x1 = y−+21 = z 3−1 .
x = 3 +5t,
y = −1+ t,
22.19. Составить уравнение проекции прямой на
z = 4 + t
плоскость 2x −2y +3z −5 = 0 .
22.20.Через точку A(1;2;3) провести плоскость,
перпендикулярную к |
плоскости |
5x −2y +5z −10 = 0 и |
|||||||
образующую с плоскостью x −4y −8z +12 = 0 угол π . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
P(2;−1;3) |
4 |
22.21. Найти |
расстояние |
от точки |
до прямой |
||||||
|
x +1 |
= |
y + 2 |
= |
z −1 |
. |
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
||||
|
5 |
|
|
|
|
||||
22.22. Показать, что прямая |
x +1 |
= |
y +1 |
= |
z +3 |
лежит в |
|
2 |
|
−1 |
|
||||
|
|
|
3 |
|
|||
плоскости 2x + y −z = 0 .
x = 3t +1,
y = −t +5,
22.23. Найти угол между прямой и плоскостью
z = 2t
x + y + z +5 = 0 .
22.24. Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M(1;0;2) перпендикулярно к плоскости 4x +7y +3z = 0 , найти точку их пересечения.
22.25.Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую x 1−3 = y−−13 = 1z и точку M(1;7;3).
22.26.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
|
x = t +3, |
|
||||||
M1(2;3;3), M2 (1;1;1) параллельно прямой y = −2t + 4, |
|
|||||||
|
z = t −1. |
|
||||||
22.27. Найти точку пересечения прямой |
x −1 |
= |
y |
= |
z − 2 |
|
и |
|
3 |
|
|
−1 |
|
||||
|
|
7 |
|
|
||||
плоскости x − y +3 = 0 и угол между ними.
22.28. Доказать перпендикулярность прямых |
x −1 |
= |
y −1 |
= z |
, |
|
5 |
|
|
||||
x + y + z = 0, |
|
3 |
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2x − y −z +5 = 0. |
|
|
|
|
|
|
22.29. Составить уравнение плоскости, проходящей через
x = t +3, |
x −1 |
|
y |
|
z +1 |
|
||
прямые y = 2t +1, и |
= |
= |
. |
|||||
2 |
|
|
|
|||||
z = 3t −3 |
|
5 |
|
−1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
22.30. Через прямую |
x +5 |
= |
y −2 |
= |
z |
провести плоскость, |
3 |
|
|
||||
|
1 |
4 |
|
|||
параллельную плоскости x + y −z +15 = 0 .
22.31. Доказать, |
что |
прямые |
x −2 |
= |
y +1 |
= |
z −3 |
|
и |
|||||||
|
|
−2 |
||||||||||||||
|
x −1 |
|
y −2 |
|
z +3 |
|
3 |
2 |
|
|
|
|||||
|
= |
= |
принадлежат |
одной |
плоскости, |
и |
||||||||||
|
3 |
|
|
− 2 |
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
написать уравнение этой плоскости.
Задача 23
23.1.Найти точку M1 , симметричную точке M(1;0;1) относительно плоскости 4x +6y + 4z −25 = 0 .
23.2.Найти проекцию точки A(2;3;4) на прямую x = y = z .
23.3.Найти точку B, симметричную точке C(−1;2;0) относительно плоскости 4x −5y −z −7 = 0 .
23.4.Составить уравнение прямой, проходящей через точку ) и образующей равные углы с векторамиM(0;2;1
a = (1;2;2), b = (0;3;0), c = (0;0;3).
23.5. Найти уравнение проекции прямой x +3 2 = y 1+3 = z−−22
на плоскость 2x +3y −z −5 = 0 .
23.6. Найти точку A, симметричную точке B(2;−1;1) относительно прямой x −14,5 = −y +0,53 = z −1 2 .
23.7. Найти проекцию точки M(0;−3;−2) на прямую x 1−1 = y−+11 = 1z .
23.8. Найти проекцию точки A(−1;0;−1) на плоскость
2x +6y −2z +11 = 0 .
23.9. Найти точку A, симметричную точке B(1;2;3)
|
|
x = 0,5, |
|
|
|
|||||
относительно прямой y = −t −1,5, |
|
|
|
|||||||
|
|
z = t +1,5. |
A(1;1;1) |
|
|
|||||
23.10. |
Найти |
проекцию |
точки |
на |
прямую |
|||||
x = t + 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = −2t −1,5, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
z = t +1. |
|
|
|
|
|
|
A(1;3;5) |
|
|
|
23.11. |
Найти |
расстояние от точки |
до прямой |
|||||||
2x + y + z −1 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
3x + y + 2z −3 = 0. |
|
|
|
|
|
|
B(2;1;0) |
|||
23.12. |
Найти |
точку A, |
симметричную точке |
|||||||
|
|
x |
= 2, |
|
|
|
|
|
||
относительно прямой |
+ z + 2 = 0. |
|
|
|||||||
|
|
y |
|
A(4;3;10) |
||||||
23.13. Найти точку, симметричную точке |
|
|||||||||
относительно прямой |
x −1 |
= |
y −2 |
|
= z −3 . |
|
|
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
4 |
|
5 |
|
|
|||
x = 2t +1,5,
A(0;2;1) y = −t,
23.14. Найти проекцию точки на прямую
z = t + 2.
23.15.Найти расстояние между двумя параллельными прямыми
x−3 2 = y 4+1 = 2z , x −3 7 = y 4−1 = z −2 3 .
23.16.Найти точку A, симметричную точке )B(3;−3;1
x = 5t +6,
y = 4t +3,5,
относительно прямой
z = −0,5.
23.17. Найти проекцию точки A(0;2;1) на прямую
x + 2y −1,5 = 0,
y + z −2 = 0.
23.18. Найти точку, симметричную точке A(2;7;1) относительно плоскости x −4y + z +7 = 0 .
x + y −z = 0,
23.19. Написать уравнение проекции прямой 2x − y + 2 = 0 на
координатную плоскость OXY. |
|
|
23.20. Провести |
через точку пересечения плоскости |
|
x + y + z −1 = 0 |
y =1, |
|
с прямой z +1 = 0 |
прямую, лежащую в |
|
этой плоскости и перпендикулярную к данной прямой.
23.21.Записать уравнение плоскости, проходящей через прямую
x1−2 = y1−1 = 2z параллельно прямой x3 = y −0 2 = z 1+1 .
23.22. |
|
Найти |
расстояние |
от |
точки M(3;2;5) до |
прямой |
|||||||
|
x |
|
= |
y |
= |
z −5 |
. |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|||||
23.23. |
Составить канонические уравнения перпендикуляра, |
||||||||||||
опущенного |
из |
точки |
A(2;3;1) |
на |
прямую |
||||||||
x 2+1 = −y1 = z −3 2 .
23.24. Найти проекцию прямой x4 = y −3 4 = z 2+1 на плоскость
x − y +3z +8 = 0 .
23.25. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M0 (3;−2;0) перпендикулярно к прямой x 2+1 = −y1 = z −3 2
и расположенной в плоскости XOY.
23.26. |
Доказать, |
что |
прямые |
x + y −z + 4 = |
0, |
|
и |
||||||
|
−3y −z −5 |
= |
0 |
||||||||||
|
x +3 |
|
y +3 |
|
= z −1 |
|
2x |
|
|||||
|
= |
|
пересекаются, |
и найти их |
точку |
||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
4 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
пересечения. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 3t + 2, |
|
||
23.27. Найти расстояние между двумя прямыми y = t +1, и |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z =1 |
|
|
|
x = t +3, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y = −t +5, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
z = 2t +3. |
|
|
A(2;1;1) до |
|
|
|
|||||||
23.28. |
Найти |
расстояние |
от точки |
прямой |
|||||||||
x 1−2 = y−−12 = 3z .
23.29. Написать уравнение прямой, проходящей через точку M(3;−3;5) и точку пересечения прямой
x 3−1 = y 1−4 = z −4 5 с плоскостью 3x − y + 2z −5 = 0 . 23.30. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
A(−1;−2;3) и параллельной прямым x −3 2 = −y4 = z −6 5 и
x1 = y +2 2 = z−−83 .
23.31. Найти точку M1 , симметричную точке M(−1;0;1)
относительно прямой x1 = y −01,5 = z −1 2 .
Задача 24. Прямая на плоскости
Заданы координаты вершин некоторого треугольника ABC. Найти: а) уравнение стороны BC;
б) уравнение высоты, проведенной из точки A;
в) уравнение медианы, проведенной из точки C; |
||
г) уравнение биссектрисы внутреннего угла B. |
||
24.1. A(1;4), |
B(7;−4), |
C(3;−7). |
24.2. A(2;1), |
B(−7;13), |
C(−1;21). |
24.3. A(3;3), |
B(10;−21), |
C(−2;−5). |
24.4. A(4;1), |
B(− 4;−5), |
C(−20;−7). |
24.5. A(5;0), |
B(1;−3), |
C(−6;21). |
24.6. A(3;1), |
B(15;17), |
C(6;29). |
24.7. A(4;2), |
B(12;4), |
C(8;1). |
24.8. A(2;5), |
B(9;−19), |
C(21;−3). |
24.9. A(0;3), |
B(4;6), |
C(−8;22). |
24.10. A(1;2), |
B(7;10), |
C(31;17). |
24.11. A(1;4), |
B(17;16), |
C(5;32). |
24.12. A(2;1), |
B(14;−8), |
C(22;−2). |
24.13. A(3;3), |
B(9;11), |
C(5;14). |
24.14. A(4;−1), |
B(−12;11), |
C(12;18). |
24.15. A(5;0), |
B(8;4), |
C(16;−2). |
24.16. A(3;1), |
B(15;17), |
C(6;29). |
24.17. A(4;2), |
B(13;−10), |
C(19;−2). |
24.18. A(2;1), |
B(9;−23), |
C(13;−20). |
24.19. A(0;2), |
B(−16;−10), |
C(−24;−4). |
24.20. A(1;3), |
B(−3;0), |
C(5;−6). |
24.21. A(0;0), |
B(7;24), |
C(13;32). |
24.22. A(1;1), |
B(13;17), |
C(9;20). |
24.23. A(−1;−1), |
B(11;−10), |
C(23;6). |
24.24. A(1;3), |
B(7;11), |
C(19;2). |
24.25. A(2;4), |
B(6;7), |
C(−18;14). |
24.26. A(4;0), |
B(1;4), |
C(13;20). |
24.27. A(3;−1), |
B(10;−25), |
C(1;−13). |
24.28. A(2;3), |
B(14;−13), |
C(26;−4). |
24.29. A(1;2), |
B(7;10), |
C(31;3). |
24.30. A(1;1), |
B(−3;4), |
C(13;16). |
24.31. A(2;4), |
B(7;16), |
C(−5;21). |
Задача 25. Кривые 2-го порядка
25.1. Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс симметрично относительно
начала координат, если даны точки M1(4;−
3) и M2 (2
2;3)
эллипса.
25.2. Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет ε = 23 , фокус F(2;1) и уравнение
соответствующей директрисы x −5 = 0 .
25.3. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на
оси абсцисс симметрично относительно начала координат, |
|||
если |
даны точка M1 |
(−5;3) |
гиперболы и эксцентриситет |
ε = |
2 . |
|
|
25.4. Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет ε = 54 , фокус F(5;0) и уравнение
соответствующей директрисы 5x −16 = 0 .
25.5. Составить уравнение параболы. Если дан фокус F(−7;0) и
уравнение директрисы x −7 = 0 .
25.6. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат,
если даны точка |
M |
9 |
|
|||
|
2 |
;−1 гиперболы и уравнения |
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
асимптот |
y = ± |
2 x . |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
25.7. Дана |
вершина параболы |
A(− 2;−1) |
и уравнение ее |
директрисы x + 2y −1 = 0 . |
Составить |
уравнение этой |
|
параболы. |
A(−3;−5) лежит |
|
|
25.8. Точка |
на эллипсе, |
фокус которого |
|
F(−1;−4), а соответствующая директриса дана уравнением
x −2 = 0 . Составить уравнение этого эллипса.
25.9. Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс симметрично относительно
начала координат, если даны точка M1(− 
5;2) эллипса и расстояние между его директрисами равно 10.
25.10. Точка M(1;−2) лежит на гиперболе, фокус которой F(− 2;2), а соответствующая директриса дана уравнением 2x − y −1 = 0 . Составить уравнение этой гиперболы.
25.11. Составить уравнение эллипса, если известны его
эксцентриситет |
ε = |
1 |
, фокус F(−4;1) |
и уравнение |
|
|
2 |
|
|
соответствующей директрисы y +3 = 0 .
25.12. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат,
если даны точки M1(6;−1) и M2 (−8;2
2 ) гиперболы.
25.13.Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(2;−1) и директриса x − y −1 = 0 .
25.14.Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат,
если даны уравнения асимптот y = ± |
3 x и уравнения |
|
4 |
директрис x = ±165 .
25.15. Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс, симметрично относительно
начала координат, если даны точка M1(8;12) эллипса и расстояние r1 = 20 от нее до левого фокуса.
25.16. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат,
если даны точка |
|
−3; |
5 |
|||
M |
2 |
гиперболы и уравнения |
||||
|
|
|
|
|
|
|
директрис |
x = ± |
4 . |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
25.17. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат, симметрично относительно
начала координат, зная, что уравнения асимптот y = ±125 x и
расстояние между вершинами равно 48.
25.18. Составить уравнения эллипса, зная, что его фокусы F1(1;3), F2 (3;1) и расстояние между директрисами равно
12
2 .
25.19. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что расстояние между
директрисами равно 7 17 и эксцентриситет ε = 75 .
25.20.Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(4;3) и директриса y +1 = 0 .
25.21.Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат симметрично относительно начала координат.
Зная расстояние между его фокусами 2c = 24 и
эксцентриситет ε = 1213 .
25.22. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат, симметрично относительно
начала координат, зная уравнения асимптот y = ± 43 x и
расстояние между директрисами равно 6 52 .
25.23. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что расстояние между директрисами
равно 83 и эксцентриситет ε = 32 .
25.24. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат, симметрично относительно начала координат, зная, что расстояние между его фокусами 2c = 6 и
расстояние между директрисами равно 16 23 .
25.25. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, что расстояние между фокусами
2c =10 и эксцентриситет ε = 53 .
25.26. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, что расстояние между директрисами
равно 325 и ось 2b = 6 .
25.27.Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(7;2) и директриса x −5 = 0 .
25.28.Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат симметрично относительно начала координат,
зная, что расстояние между его директрисами равно 10 23 и
эксцентриситет ε = 34 .
25.29.Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что расстояние между фокусами
2c =10 и ось 2b = 8 .
25.30.Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат симметрично относительно начала координат,
зная, что его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2c = 8 .
25.31. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно
начала координат, зная, что уравнения асимптот y = ± 43 x и
расстояние между фокусами 2c = 20 .
Задача 26
Определить тип кривой второго порядка, составить ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат.
26.1.5x2 + 4xy +8y2 −32x −56y +80 = 0
26.2.x2 −4xy + 4y2 + 4x −3y −7 = 0
26.3.x2 −12xy −4y2 +12x +8y +5 = 0
26.4.x2 −2xy + y2 −10x −6y + 25 = 0
26.5.x2 + xy + y2 + x + 2y −2 = 0
26.6.9x2 + 24xy +16y2 +50x −100y + 25 = 0
26.7.8x2 +6xy −26x −12y +11 = 0
26.8.9x2 −4xy +6y2 +16x −8y −2 = 0
26.9.x2 + 4xy + 4y2 +8x +6y + 2 = 0
26.10.5x2 +12xy −22x −12y −19 = 0
26.11.x2 −2xy + y2 − x −2y +3 = 0
26.12.2x2 −4xy +5y2 +8x −2y +9 = 0
26.13.12xy +5y2 −12x −22y −19 = 0
26.14.x2 −4xy + 4y2 −4x −3y −7 = 0
26.15.5x2 +6xy +5y2 −6x −10y −3 = 0
26.16.6xy −8y2 +12x −26y −11 = 0
26.17.3x2 −4xy −2x + 4y −5 = 0
26.18.14x2 + 24xy + 21y2 −4x +18y −139 = 0
26.19.2x2 +3xy −2y2 + x +5y −2 = 0
26.20.5x2 +4xy +8y2 −32x −56y +80 = 0
26.21.x2 −2xy + y2 −6x −2y +9 = 0
26.22.2x2 + 4xy +5y2 −6x −8y −1 = 0
26.23.6xy −8y2 +12x −26y −11 = 0
26.24.x2 −4xy + 4y2 −2x −6y + 2 = 0
26.25.7x2 −24xy −38x + 24y +175 = 0
26.26.5x2 +8xy +5y2 −18x −18y +9 = 0
26.27.7x2 +16xy −23y2 −14x −16y −218 = 0
26.28.x2 −4xy + 4y2 −5x +6 = 0
26.29.4xy +3y2 +16x +12y −36 = 0
26.30.5x2 +6xy +5y2 −16x −16y −16 = 0
26.31.2x2 +3xy −2y2 −8x −11y = 0 .
Задача 27
Семейство поверхностей задано уравнением, содержащим параметр λ. Определить тип поверхности при всевозможных
значениях λ |
( λ < 0 , λ = 0 , λ > 0 ). Построить полученные |
||
поверхности. |
|
|
|
27.1. λx2 + y2 + z2 = 4 |
27.2. y2 + z2 = −λx |
||
27.3. x2 |
+ y2 −z2 = 5λ |
27.4. − x2 +λ(y2 + z2 )= 2λ |
|
27.5. x2 |
+λy2 |
= 3λz |
27.6. z2 −λx2 − y2 = λ |
27.7. λx2 + y2 |
+ z2 = λ |
27.8. 2x = λy2 −z2 |
|
27.9. x2 |
+λ(y2 + z2 )= 2 |
27.10. y2 +λ(x2 + z2 )= λ |
|
27.11. λx2 + y2 = 4z |
27.12. 3y2 = λ(x2 + z2 ) |
|||
27.13. x2 − y2 |
−z2 = 4λ |
27.14. 4y = −λx2 + z2 |
||
27.15. x2 +3y2 = λz |
27.16. x2 + 2λy2 −z2 = 2 |
|||
27.17. x2 −λy2 + z2 = 2 |
27.18. y2 |
−λz2 = 3λ |
||
27.19. x2 |
+ y2 |
−λz2 = 3 |
27.20. 2y = λx2 + z2 |
|
27.21. λ(x2 + y2 )= −z |
27.22. z2 +λ(x2 + y2 )= λ |
|||
27.23. x2 |
+λ(y2 −z2 )= 3λ |
27.24. x2 |
−2λz = λy2 |
|
27.25. x2 |
+ y2 |
= 3λz |
27.26. x2 |
− y2 +λz2 = 2λ |
27.27. x2 |
− y2 |
= 2λ |
27.28. λy2 + z2 = 3x |
|
27.29. λx2 − y2 + z2 = λ |
27.30. λx2 −3y2 = λz2 |
|||
27.31. λ(x2 + y2 )+ z2 = 3λ. |
|
|
||
Задача 28. Полярная система координат
а) построить по точкам в полярной системе координат |
||||||
кривые (r ≥ 0); |
|
|
|
|||
б) перейдя к полярной системе координат, построить кривые. |
||||||
28.1. а) r = 3sin 2ϕ; |
б) 4(x2 + y2 − x)2 = 9(x2 + y2 ) |
|||||
28.2. а) r = e2ϕ ; |
б) (x2 + y2 |
−4y)2 = 25(x2 + y2 ) |
||||
28.3. а) r = 2sin ϕ+ 2 ; |
б) (x2 + y2 )2 +6xy = 0 |
|||||
28.4. а) r2 = 2sin 2ϕ; |
б) (x2 |
+ y2 |
−3y)2 = 9(x2 + y2 ) |
|||
28.5. а) r = |
1 |
ϕ; |
б) (x2 |
+ y2 |
+ 2x)2 = 25(x2 + y2 ) |
|
|
2 |
|
б) (x2 |
|
+ 3x)2 = 4(x2 + y2 ) |
|
28.6. а) r = |
4 |
; |
+ y2 |
|||
ϕ |
||||||
|
|
б) (x2 |
+ y2 )2 −8(x2 − y2 )= 0 |
|||
28.7. а) r = 4 −cos ϕ; |
||||||
28.8. а) r = |
|
|
3 sin ϕ+ 2 ; |
б) (x2 + y2 )2 + 2(x2 − y2 )= 0 |
|||||
28.9. а) r = 3sin3 ϕ |
; |
б) (x2 + y2 + |
2y)2 = 9(x2 + y2 ) |
||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
28.10. а) r = |
3cos ϕ |
; |
б) x2 + y2 = −2x |
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
б) (x2 + y2 − |
2x)2 = 2(x2 + y2 ) |
28.11. а) r = |
|
|
3 cos3ϕ; |
||||||
28.12. а) r = 4sin 4ϕ; |
б) (x2 + y2 − y)2 = 3(x2 + y2 ) |
||||||||
28.13. а) r = sin 3ϕ; |
|
б) (x2 + y2 )2 −4xy = 0 |
|||||||
28.14. а) r = 2 cos ϕ+5 ; |
б) (x2 + y2 )2 −2(x2 − y2 )= 0 |
||||||||
28.15. а) r2 = 4 cos 2ϕ; |
б) (x2 + y2 + 2y)2 = 9(x2 + y2 ) |
||||||||
28.16. а) r = |
4sin |
ϕ |
; |
б) (x2 + y2 )2 −6(x2 − y2 )= 0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
б) (x2 + y2 )2 =8xy |
|
28.17. а) r = 4 −4 cos ϕ; |
|||||||||
28.18. а) r = 3 −2sin ϕ; |
б) (x2 + y2 )2 +8(x2 − y2 )= 0 |
||||||||
|
|
|
ϕ |
|
|
б) x2 + y2 =8y |
|||
28.19. а) r = e 4 ; |
|
|
|||||||
28.20. а) r = |
3sin |
3 ϕ ; |
б) (x2 + y2 )2 + 4xy = 0 |
||||||
|
|
8 |
|
3 |
б) (x2 + y2 − x)2 = x2 + y2 |
||||
28.21. а) r = |
|
; |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
3ϕ |
|
|
|
|
||
28.22. а) r = |
|
|
1 eϕ3 |
; |
|
б) x2 + y2 = −4y |
|||
|
2 |
|
|
|
|
б) (x2 + y2 + |
3y)2 =16(x2 + y2 ) |
||
28.23. а) r2 = −3cos 2ϕ; |
|||||||||
28.24. а) r = 2 cos ϕ+3; |
б) (x2 + y2 )2 +10(x2 − y2 )= 0 |
||||||||
28.25. а) r = |
|
3 |
; |
|
|
б) (x2 + y2 −2x)2 = 9(x2 + y2 ) |
|||
|
|
|
|||||||
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
||