12

Задачи многокритериальной (векторной) оптимизации

В общем случае задача формулируется следующим образом. Найти вектор управляемых параметров, который обеспечивает одновременно максимальные (минимальные) значения нескольких частных критериев оптимальности, например:

….;

где область допустимых решений X задается системой ограничений вида

Анализ задач многокритериальной оптимизации значительно упрощается, если ввести понятие области критериев, которая определяется с использованием значений частных критериев оптимальности и представляется как множество

.

Область критериев Y является отображением множества допустимых решений X в p-мерное пространство , где R – множество вещественных чисел, причем каждому вектору соответствует.

Область критериев Y можно разделить на два подмножества:

Y = Y^(c)  Y^(к); Y^(c)  Y^(к) = ,

называемых областью согласия Y^(c) и областью компромисса Y^(к).

В области согласия нет противоречий между частными критериями оптимальности. Если Y^(c), то соответствующая точка может быть изменена таким образом, что все частные критерии будут одновременно увеличены. В случае, когда область критериевY = Y^(c) состоит только из области согласия, то существует единственная точка , в которой все частные критерии оптимальности согласованы между собой, т.е. при движении кзначения всех функций одновременно возрастают.

Такая ситуация на практике встречается очень редко. Наиболее типичным является случай, когда максимум по каждому частному критерию достигается в различных точках ,где . В этих точках компонентывекторного критерия являются противоречивыми.

Такое противоречие означает, что для некоторой точки не существует ни одной другой точки, в которойдля всех частных критериев () и хотя бы для одного критерия это неравенство строгое, т.е.. Очевидно, что в точкевекторный критерий не может быть увеличен для всех частных критериев одновременно. Поэтому решение, соответствующее точке, называетсянеулучшаемым решением, или решением, оптимальным по Парето.

Оптимальность по Парето означает, что нельзя далее увеличить значение критерия , не уменьшая при этом хотя бы один из других частных критериев. Множество всех точек, оптимальных по Парето, соответствует значениямY^(к), составляющим область компромисса Y^(к), и называется областью (множеством) Парето.

Таким образом, проблему поиска оптимальных решений по нескольким критериям называют векторной оптимизаций. Решение задачи векторной оптимизации , в котором значения всех частных критериев были бы пусть не оптимальными, но наилучшими по выполнению всех критериев одновременно, можно найти в области ПаретоX₀. Такие решения называют эффективными, компромиссными или оптимальными по Парето, а область X₀  X, в которой невозможно одновременное улучшение всех критериев, находится в области допустимых решений X задачи.

Следует заметить, что решение задач векторной оптимизации возникает ряд специфических проблем, к которым относятся:

- нормализация критериев, т.е. приведение их к единой шкале измерений, если частные критерии имеют различные единицы измерения;

- ранжирование критериев по приоритетам (их важности);

- выбор схемы компромисса, т.е. определение правила сравнения нескольких решений с векторными критериями оптимальности.

Число возможных схем компромисса является достаточно большим. Наиболее известные из них получают по методам обобщенного критерия, главного критерия, минимаксного критерия, последовательных уступок и др.