3.4 Формула Байеса (теорема гипотез).

Пусть - разбиение множества Ω для данного эксперимента, интерпретируемое как совокупность гипотез по отношению к интересующему нас событиюА. Пусть эксперимент проведен и стало известно, что событие А осуществилось. Какова послеопытная (апостериорная) вероятность осуществления гипотезы при условии, что событиеА имело место? Ответ дается формулой Байеса (Бейеса)

,

где - полная вероятность осуществления событияА.

Формула Байеса позволяет «переоценить» вероятность каждой из гипотез после поступления новой «информации» относительно осуществления тех или иных наблюдаемых событий.

Особое значение приобретает формула Байеса для таких экспериментов, в которых гипотезы непосредственно не наблюдаемы, хотя априорные вероятностии соответствующие условные вероятности,k = 1, ..., n, известны из дополнительных опытов. Такая ситуация может иметь место, например, если отсутствует прибор, позволяющий регистрировать факт осуществления этих гипотез, или же если применение прибора для регистрации осуществления гипотез приводит к разрушению предмета наблюдения (разрушающий контроль). Для подобных экспериментов переоценка вероятностей гипотез после опыта может быть проведена на основании наблюдаемого события А, тесно связанного с гипотезами. Такой подход часто используется в задачах медицинской и технической диагностики.

Решение типовой задачи.

Задача 1. Партия транзисторов, среди которых 10% дефектных, поступила на проверку. Схема проверки такова, что с вероятностью 0,95 обнаруживается дефект (если он есть), и существует ненулевая вероятность 0,03 того, что исправный транзистор будет признан дефектным. Пусть случайно выбранный из партии транзистор был признан дефектным. Какова вероятность того, что на самом деле транзистор исправен?

Решение. Из условия задачи очевидно, что с рассматриваемым событием А = {случайно выбранный транзистор признан дефектным} тесно связаны две гипотезы: = {поступивший на проверку транзистор дефектный},= {поступивший на проверку транзистор исправный}. Безусловные априорные вероятности этих гипотез легко вычисляются по классической формуле:,. Условные вероятности определены в условии задачи: ,. Применяя формулу полной вероятности, получим

Вычислим апостериорную условную вероятность гипотезы ,используя формулу Байеса

Таким образом, апостериорная условная вероятность того, что транзистор на самом деле исправный, если известно, что он был признан дефектным, существенно меньше априорной вероятности гипотезы , что явилось следствием поступившей информации.

Задача 2. Изучается три вида дефектов запоминающих устройств, выполненных на интегральных схемах: дефекты схем обрамления (гипотеза ,), дефекты, вызванные паразитными связями (гипотеза,) и дефекты адресных шин (гипотеза,). Диагностика запоминающих устройств производится с помощью набора тестовТ₁, Т₂, …, Т_п, каждый из которых проверяет определенное состояние ячейки памяти. Наблюдаемый результат – состояние выбранной ячейки по отношению к каждому тесту. Пусть диагностика произведена, и наблюдался некоторый результат (произошло событие А). Известно до опыта, что

, ,.

Установить, какая из гипотез имеет наибольшую апостериорную вероятность (т.е. какой из дефектов наиболее вероятен).

Решение. Вычислим сначала полную вероятность осуществления события А. Используя данные задачи и применяя формулу полной вероятности, получим

.

Для ответа на вопрос, какой из дефектов имеет наибольшую апостериорную вероятность, заметим, что в числителе формулы Байеса стоит слагаемое полной вероятности, относящееся к данной переоцениваемой гипотезе. Сравнивая эти слагаемые для трех заданных гипотез, получим, что наибольшую вероятность имеет гипотеза :.