3.3 Формула полной вероятности.

Если событие А может произойти только совместно с одним из событий , образующих полную группу несовместных событий (гипотез), то вероятностьР(А) появления события определяется по формуле полной вероятности:

где - вероятность гипотезы;- условная вероятность событияА при этой гипотезе.

Так как гипотезы образуют полную группу несовместных событий, то

В ряде случаев выбор системы гипотез не определяется однозначно условиями эксперимента. В таких случаях предпочтение следует отдавать той системе, для которой условные вероятности вычисляются наиболее просто.

Решение типовых задач.

Задача 1. Из полной колоды в 52 карты наудачу последовательно и без возвращения выбирают две карты. Какова вероятность того, что второй картой можно покрыть первую? (Это значит, что вторая картой должна быть более старшей картой той же масти.)

Решение. Пусть А – интересующее нас событие. В качестве первой попытки выберем следующие гипотезы: Н_k = {в составе вынутых карт ровно k картинок}, k = 0, 1, 2 (к картинкам относятся валет, дама, король и туз каждой масти).

Ясно, что {Н_k} (k = 0, 1, 2) – разбиение множества Ω. Нетрудно вычислить безусловные вероятности гипотез Р(Н_k).

Однако вычисление условных вероятностей Р(А/Н_k) оказывается делом не менее трудным, чем ответ на первоначально поставленный вопрос о вероятности события Р(А). Это объясняется тем, что связь события А с данными гипотезами Н_k не может быть достаточно прост описана на языке алгебраических операций.

Рассмотрим более удачный для решения задачи вариант разбиения {Н_k} (k = 2, 3, …, 14), где Н_k = {первая вытянутая карта оценивается в k очков}, при этом значению k = 2 соответствует двойка, k = 3 – тройка, k = 11 – валет, k = 12 – дама, k = 13 – король, k = 14 – туз.

Вычислим условные вероятности, применяя метод вспомогательного эксперимента.

Р(А/Н_k) = Р {вторая вынутая карта той же масти, причем ее достоинство оценивается не ниже, чем в k + 1 очко} = в силу формулы классической вероятности. Безусловные вероятности гипотезР(Н_k) = в силу равновероятности событийН_k = {вытянуть карту произвольной масти, оцениваемую в k очков}. Применяя формулу полной вероятности, получим

.

Еще более простой путь решения получается, если ввести следующее разбиение множества Ω в данном эксперименте: {Н_k} (k = 1, 2), где Н₁ = {обе вынутые карты одной масти}, Н₂ = {две карты разной масти}. Очевидно, что Р(А/Н₂) = 0, поэтому вторая гипотеза исключается из формулы полной вероятности и Р(Н₁) (первая карта может быть произвольной масти, вторая должна быть той же масти, что и первая). Пусть теперь выполнено событиеН₁, т.е. обе карты одной масти. Тогда та из них, которую извлекали второй по счету, должна быть старше первой. Но в Силу равновероятности исходов = {вторая карта старше первой} и= {первая карта старше второй} в этом вспомогательном эксперименте получаемР(А/Н₁) = 0,5, поэтому

Задача 2. На трех автоматических станках изготавливаются одинаковые детали. Известно, что 30% продукции производится первым станком, 25% - вторым и 45% - третьим. Вероятность изготовления детали, отвечающей стандарту, на первом станке равна 0,99, на втором – 0,988 и на третьем – 0,98. Изготовленные в течении дня на трех станках нерассортированные детали находятся на складе. Определить вероятность того, что наудачу взятая деталь не соответствует стандарту.

Решение. Пусть событие А - наудачу взятая деталь не соответствует стандарту. Гипотезы: - выбранная деталь изготовлена на первом станке;- выбранная деталь изготовлена на втором станке и- выбранная деталь изготовлена на третьем станке. Из условий задачи легко находятся следующие вероятности для некоторой детали, выбранной случайно из всей дневной продукции:

По формуле полной вероятности находим вероятность того, что наудачу взятая деталь не соответствует стандарту: