Задачи.

3.1. Пусть А, В и С – наблюдаемые события, причем Р(А)>0, P(AC)>0. Доказать справедливость следующих формул для условной вероятности:

P(AB/C)=P(A/C)P(B/AC) (формула умножения),

P(A+B/C)= P(A/C)+ P(В/C)- P(AВ/C) (формула сложения).

3.2. Показать, что если А, В и С – такие наблюдаемые в эксперименте события, что Ø и, то справедлива следующая формула умноженияP(В+С/А)= P(В/А)+ P(С/А).

3.3. Доказать, что .

3.4. Один раз подбрасывается игральная кость. События А = {выпало простое число очков}, В = {выпало четное число очков}. Вычислить вероятность Р(А/В).

3.5. Вероятность попасть в самолет равна 0,4, а вероятность его сбить равна 0,1. Найти вероятнсть того, что при попадании в самолет он будет сбит.

3.6. Вероятность того, что прибор не откажет к моменту времени равна 0,8, а вероятность того, что он не откажет к моменту времени, равна 0,6. Найти вероятность того, что прибор не отказавший к моменту времени, не откажет и к моменту времени.

3.7. Электрическая схема (рис. 3.1) состоит из элементов, каждый из которых в момент вклюяения с равной верятностью может либо проводить, либо не проводить ток. Состояние каждого из элементов не влияет на сотояние остальных. Введем следующие события С = {цепь проводит ток}, А_i = {i – й элемент проводит ток}. Вычислить P(A₁/C) и Р(А₂/С).

рис. 3.1

3.8*. В семье двое детей. Считая, что рождение мальчика и девочки – независимые и равновероятные события, вычислить вероятность того, что оба ребенка – мальчики, если известно, что в семье есть мальчик.

3.9. Из множества чисел {1, 2, …, N} по схеме случайного выбора без возвращения выбирают три числа. Найти условную вероятность того, что третье число попадет в интервал, образованный первыми двумя, если известно, что первое число меньше второго.

3.10. Подбрасывают наудачу три игральные кости. Наблюдаемые события А = {на трех костях выпадут разные грани}, В = {хотя бы на одной из костей выпадет шестерка}. Вычислить Р(В/А) и Р(А/В).

3.2 Независимость.

Событие А называется независимым от события В, удовлетворяющего условию P(B) > 0, если выполняется равенство

.

События А и В называются независимыми, если

. (1)

События называются независимыми в совокупности, если для любого набора изm событий () выполняется равенство

(2)

Формулы (1) и (2) позволяют выделить независимые события в тех случаях, когда модель вероятностного эксперимента формализована и вероятности всех нужных событий полностью определены. Однако, в практических задачах, связанных с проведением реальных экспериментов, далеко не всегда возможно использование данных критериев независимости. В таких случаях часто применяют гипотезу о физической независимости: считаются независимыми события, не связанные причинно.

Так, например, естественно считать независимыми результаты стрельбы из двух орудий при одновременном выстреле по цели или события, связанные с появлением брака определенного вида изделий, производимых двумя поточными линиями на различных предприятиях и т.д.

Решение типовых задач.

Задача 1. Из урны, содержащей 3 белых и 7 красных шаров, наудачу последовательно и без возвращения извлекаются два шара. События А={первый шар белый}, В={второй шар белый}, С={по крайней мере один из вынутых шаров белый}. Установить являются ли независимыми А и В, А и С, В и С, события А, В и С в совокупности.

Решение. Так как все необходимые вероятности вычислены в Задаче 1 п. 3.1, то для решения задачи достаточно проверить, выполняется ли для каждой пары событий критерий независимости (1), а для трех событий А, В и С – критерий (2). Имеем

, ,

т.е. события А и В не являются независимыми (в таком случае говорят, что они зависимы). Далее, как установлено в той же задаче,

так как . Следовательно, событияА и С также зависимы. Наконец, поэтому и событияВ и С являются зависимыми.

События А, В и С не являются независимыми в совокупности, так как согласно критерию (2) для этого необходимо, чтобы все три события были попарно независимы.

Задача 2. Производятся два последовательных извлечения по одному шару без возвращения из урны, содержащей белых ичерных шаров. СобытияА = {первый шар белый}, В = {второй шар белый}. Показать, что

, (**)

где = {вынутый шар белый} – событие, наблюдаемое в новом эксперименте, состоящем в выборе наудачу одного шара из урны, состав которой изменен в соответствии с условием событияА.

Указанный метод вычисления условной вероятности называется методом вспомогательного эксперимента.

Так как эксперимент представляет собой схему выбора без возвращения и с упорядочиванием, то .

.

Аналогично находим

Подставляя полученные данные в формулу (*) для вычисления условной вероятности, получаем и первая часть равенства (**) доказана.

Для доказательства второй части равенства (**) заметим, что согласно условию события А один белый шар удален из урны. Новый (вспомогательный) эксперимент состоит в том, что из оставшихся шаров наудачу извлекают один шар. Вероятность, что он окажется белым (событие ), определяется по классической формуле

что и доказывает вторую часть равенства (**).