Задачи.

В задачах 1.1 – 1.10 построить множество элементарных исходов Ω по описанию эксперимента и подмножества, соответствующие указанным событиям.

1.1. Игральная кость подбрасывается дважды. Наблюдаемый результат – пара чисел, соответствующих числам очков, выпавших в первый и второй раз. События А={оба раза выпал число очков, кратное трем}, В={ни разу не выпало число шесть}, С={оба раза выпало число очков больше трех}, D={оба раза выпало одинаковое число очков}.

1.2. Монета подбрасывается три раза. Наблюдаемый результат – появление герба (г) или цифры (ц) на верхней стороне монеты. События А={герб выпал ровно один раз} , В={ни разу не выпала цифра}, С={выпало больше гербов, чем цифр}, D={герб выпал не менее, чем два раза подряд}.

1.3. Монета подбрасывается до первого появления герба. Наблюдаемый результат – общее число подбрасываний. События А={герб выпал при третьем подбрасывании}, В={герб выпал не ранее, чем при третьем подбрасывании }.

1.4. Эксперимент состоит в раскладывании наудачу трех занумерованных шаров по трем ящикам. В каждый ящик может поместиться любое число шаров. Наблюдаемый результат – тройка чисел (i, j, k), где i, j, k – номера ящиков, в которые попали соответственно первый, второй и третий шары. События А={первый ящик пустой}, В={в каждый ящик попало по одному шару}, С={все шары попали в один ящик}.

1.5. Производится стрельба по плоской прямоугольной мишени: . Наблюдаемый результат - координаты точки попадания в декартовой системе координат. По условиям стрельбы непопадание в указанный прямоугольник исключено. СобытияА={абсцисса точки попадания не меньше ординаты}, В={произведение координат точки неотрицательно}, С={сумма абсолютных величин координат точки превышает единицу}. Выявить пары совместных событий.

1.6. На отрезке наудачу ставится точка. Пустьх – координата этой точки. Затем на отрезке наудачу ставится еще одна точка с координатойу. Наблюдаемый результат – пара чисел (х, у). События А={вторая точка ближе к правому концу отрезка , чем к левому},В={расстояние между двумя точками меньше половины длины отрезка}, С={первая точка ближе ко второй чем к правому концу отрезка}. Выявить пары несовместных событий.

1.7. Иван и Петр договорились о встрече в определенном месте между одиннадцатью и двенадцатью часами. Каждый приходит в случайный момент указанного промежутка и ждет появления другого до истечения часа, но не более 15 минут, после чего уходит. Наблюдаемый результат – пара чисел (х, у), где х – время прихода Петра, у – время прихода Ивана (время исчисляется в минутах, начиная от 11 часов). Событие А={встреча состоялась}.

1.8. (продолжение). В условиях эксперимента задачи 1.7 рассмотреть следующие события: }, В={Петр ждал Ивана все обусловленное время и не дождался}, С={Ивану не пришлось ждать Петра}.

1.9. (продолжение). В условиях эксперимента задачи 1.7 рассмотреть следующие события: }, D={встреча состоялась после 11ч. 30мин.}, E={Иван опоздал на встречу}, F={встреча состоялась, когда до истечения часа оставалось меньше пяти минут}.

1.10*. Проводится матч на первенство страны по футболу между командами «Динамо» и «Спартак». Интересующие нас события А={выиграла команда «Динамо»}, В={игра закончилась победой одной из команд}, С={игра закончилась со счетом 3:1}, D={в игре забито не меньше трех голов}.

1.11*. С помощью специального прибора регистрируется направление и скорость ветрав данном месте Земли. Прибор устроен таким образом, что позволяет определять скорость ветра сколь угодно точно, а регистрация направления ветра возможна лишь с точностью до 2^о. Установить, наблюдаемы ли в данном эксперименте события А={},

В={},

С={}.

1.12. Относительно событий, перечисленных в каждом примере, указать, образуют ли они в данном опыте полную группу событий (да, нет).

1. Опыт—бросание монеты; события: А₁= {герб}; А₂ = {решка}.

2. Опыт — бросание двух монет; события: В₁ = {два герба}; В₂ = {две решки}.

3. Опыт — бросание двух игральных костей; события:

4. С₁ = {на обеих костях шестерки};

С₂ = {ни на одной кости нет шестерки};

С₃ = {на одной из костей шестерка, на другой — нет}.

4) Опыт — передача двух сигналов по каналу связи; события: D₁ = {хотя бы один сигнал не искажен};

D₂ = {хотя бы один сигнал искажен}.

5) Опыт — передача трех сообщений по каналу связи; события:

Е₁ = {все три сообщения переданы без ошибок};

Е₂ = {все три сообщения переданы с ошибками};

Е₃ = {два сообщения переданы с ошибками, одно без ошибок}.

1.13. Относительно каждой группы событий ответить на вопрос, являются ли они в данном опыте несовместными (да, нет).

1. Опыт — бросание монеты; события: А₁ = {герб}; А₂ = {решка}.

2. Опыт — бросание двух монет; события:

В₁ = {герб на первой монете};

В₂ = {герб на второй монете}.

3) Опыт — два выстрела по цели; события: С₀ = {ни одного попадания};

С₁ = {одно попадание};

С₂ = {два попадания}.

4) Тот же опыт; события:

D₁ = {одно попадание}; D₂ = {один промах}.

5) Опыт — вынимание двух карт из колоды; события: Е₁ = {обе карты черной масти};

Е₂ = {среди вынутых карт есть дама треф};

Е₃ = {среди вынутых карт есть туз пик}.

6) Опыт — передача трех сообщений по радио; события: F₁ = {в первом сообщении есть ошибка};

F₂ = {во втором сообщении есть ошибка};

F₃ = {в первом сообщении есть ошибка, во втором — нет}.

1.14. Относительно каждой из групп событий ответить на вопрос, равновозможны ли они в данном опыте (да, нет).

1) Опыт — бросание монеты; события: А₁ = {герб}; А₂ = {решка}.

2) Опыт — бросание неправильной (погнутой) монеты; те же со­ бытия А₁; А₂.

3) Опыт — выстрел по мишени; события:

В₁ = {попадание}; В₂ = {промах}.

4) Опыт — бросание двух монет; события:

С₁ = {два герба}; С₂ = {две решки}; С₃ = {один герб и одна решка}.

5) Опыт — вынимание наугад одной карты из колоды; события:

D₁ = {черва}; D₂ = {бубна}; D₃ = {трефа}; D₄ = {пика}.

6) Опыт — бросание игральной кости; события:

Е₁ — {не менее трех очков};

Е₂ = {не более трех очков}.

7) Опыт — по каналу связи передаются в одинаковых условиях три сообщения одинаковой длины; события:

F₁ = {ошибка в первом сообщении};

F₂ = {ошибка во втором сообщении};

F₃ = {ошибка в третьем сообщении}.

1.15. Относительно каждой из групп событий ответить на следую­щие вопросы: образуют ли они полную группу; являются ли несовмест­ными; являются ли равновозможными; образуют ли группу случаев.

1) Опыт — бросание (правильной) монеты; события:

А₁ = {герб}; А₂ = {решка}.

2) Опыт — бросание двух монет; события:

В₁ = {два герба}; В₂ = {две решки}; В₃ = {один герб и одна решка}.

3) Опыт — бросание игральной кости; события:

С₁ = {1 или 2 очка}; С₂ = {2 или 3 очка}; С₃ = {3 или 4 очка};

С₄ = {4 или 5 очков}; С₅ = {5 или 6 очков}.

4) Опыт — вынимание наугад одной карты из колоды в 36 листов; события:

D₁ = {туз}; D₂ = {король}; D₃ = {дама}; D₄ = {валет}; D₅ = {десятка};

D₆ = {девятка}; D₇ = {восьмерка}; D₈ = {се­мерка}; D₉ = {шестерка}.

5) Опыт — выстрел по мишени; события Е₁ = {попадание}; Е₂ = {промах}.

6) Опыт — передача (в одинаковых условиях) трех сообщений рав­ной длины; события:

F₁ = {искажено первое сообщение};

F₂ = {искажено второе сообщение};

F₃ = {искажено третье сообщение}.

7) Опыт — эксплуатируются два прибора в течение времени τ; события:

G₀ = {ни один прибор не вышел из строя};

G₁ = {один прибор вышел из строя, а другой нет};

G₂ = {оба прибора вышли из строя}.

1.16. Многогранник, имеющий k граней (k > 3) с номерами 1, 2, ... ..., k, бросается наугад на плоскость; при этом он падает на ту или другую грань. Построить для этого опыта пространство элементарных событий и выделить в нем подмножество, соответствующее событию А = {многогранник упал на грань, номер которой не превышает чис­ла k/2}.