21

Практикум. Квадратичные формы

В данном практикуме рассматриваются следующие задачи:

1) приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа выделения полных квадратов;

2 приведение квадратичной формы к каноническому виду методом ортогонального преобразования;

3) исследование квадратичной формы на знакоопределенность при помощи критерия Сильвестра.

Примеры задач, рассматриваемых в данном практикуме, соответствуют заданиям 9, 10 типового расчета.

1. Понятие квадратичной формы. Преобразования квадратичных форм

Определение 1. Квадратичной формой отn переменных называется однородный многочлен второй степени

. (1)

Запись вида (1) называется координатной формой записи квадратичной формы (с приведенными подобными членами).

Если в линейном пространстве выбран некоторый базис, то переменные можно интерпретировать как координаты вектора в этом базисе:

.

Если обозначить через (,) матрицу-го порядка из коэффициентов, то квадратичную форму (1) можно записать вматричной форме

. (2)

Квадратная матрица называется матрицей квадратичной формы.

Определение 2. Рангом квадратичной формы (2) называется ранг её матрицы . При этом пишут

.

Определение 3. Квадратичная форма (2) называется невырожденной, если соответствующая ей матрица является невырожденной. При этом. В противном случае (если) квадратичная форма (2) называетсявырожденной.

Рассмотрим, как меняются коэффициенты квадратичной формы (2) при линейной замене переменных. Пусть переменные заменяются на переменныепо формулам

(3)

где некоторые числа.

Если обозначить ,, то (3) можно переписать в матричной форме

. (4)

Определение 4. Преобразование (4) называется линейным преобразованием. Матрица называетсяматрицей линейного преобразования. При этом, если матрица является неособенной, то преобразование (4) называетсянеособенным линейным преобразованием.

Применим преобразование (4) к форме (2):

,

где обозначена матрица .

Итак, если к квадратичной форме (2) применить линейное преобразование (10.4), то получим квадратичную форму

(5)

Если рассматривать как координатные вектор-столбцы вектора в базисахсоответственно, то матрицаявляется матрицей перехода от базисак базису(при этом преобразование (4) будет неособенным линейным преобразованием).

Наибольший интерес для дальнейшего изучения квадратичных форм представляют такие неособенные преобразования (4), которые приводят квадратичную форму (2) к квадратичной форме (5) с диагональной матрицей :

.

Определение 5. Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид, если она содержит только квадраты переменных и не содержит парных

произведений разноименных переменных:

. (6)

При этом базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид (6), называется диагонализирующим базисом. Задача нахождения диагонализирующего базиса называется задачей диагонализации квадратичной формы.

Если (2) есть невырожденная квадратичная форма (), то в результате неособенного линейного преобразования (4) матрица будет являться неособенной матрицей (при неособенных линейных преобразованиях ранг матрицы не изменяется). То есть при всех:. Если жеквадратичная форма (2) является вырожденной и имеет ранг , то диагонализирующий базис (если он существует) можно выбрать так, что матрицав этом базисе имеет следующий диагональный вид:

, ,.

Для любой квадратичной формы всегда можно найти диагонализирующий базис, в котором эта форма имеет канонический вид (6).

Пример 1. Задана квадратичная форма от трех переменных в стандартном базисе пространства:

.

Найти вид этой квадратичной формы в базисе, если задана матрица перехода

.

Решение. Матрица квадратичной формы имеет вид

.

Тогда по формуле (5) определяем матрицу этой формы в новом базисе

.

В новом базисе переменных квадратичная форма имеет канонический вид

.