FIZIKA2
.pdf
Поток вектора напряженности
через произвольную поверхность:
Фd EdS EndS
S S S
через замкнутую поверхность:
Фd EdS EndS
S S S
однородного поля (E=const) через поверхность S
Ф E S En S E S cos
α – угол между нормалью к поверхности и линиями
напряженности электрического поля.
6
Теорема Гаусса
|
|
|
1 |
qвнутр |
|
EdS |
|||||
|
|||||
S |
|
|
0 |
||
Пример. S1, S2, S3, S4 – замкнутые поверхности.
Ф1 Ф2 Ф3 Ф4
7
Доказательство теоремы Гаусса
Телесный угол – часть пространства, ограниченная некоторой конической поверхностью.
d |
r |
d |
dS cos |
|
r2 |
||||
|
|
|
[ ] стерадиан ср
1 стерадиан – телесный угол, вырезающий на сфере, описанной вокруг вершины угла, поверхность, площадь которой равна квадрату радиуса сферы
max( полный) 4 r2 4
r2
8
Доказательство теоремы Гаусса
Поле точечного заряда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
1 |
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 0 |
r2 |
q |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
d EdS |
1 |
|
dS cos |
q |
d |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 0 |
|
r2 |
|
|
|
4 0 |
|
||
d |
|
q |
d |
q |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
S |
|
|
4 0 S |
|
0 |
|
|
||||||
Непрерывное распределение заряда:
|
|
|
q |
|
1 |
dV |
|
|
EdS |
ρ – объемная плотность |
|||||||
|
|
|||||||
S |
|
|
0 |
0 V |
распределения заряда. |
|||
9
Применение теоремы Гаусса
Применяется для расчета электрических полей в задачах со специальной симметрией .
1.Напряженность электрического поля бесконечной равномерно заряженной плоскости с поверхностной плотностью заряда σ.
E
2 0
Поле однородно (в каждой точке поля E=const)
2. Напряженность поля двух бесконечных равномерно заряженных параллельных плоскостей.
10
Применение теоремы Гаусса
3.Напряженность электрического поля цилиндра (нити) радиусом R, равномерно заряженного с линейной плотностью τ.
при r R |
E 0 |
|
|
|
|
1 |
|
при r R |
E |
|
r |
2 0 |
|||
11
Применение теоремы Гаусса
4. Напряженность электрического поля равномерно заряженной сферы радиусом R с зарядом q.
при r R |
E 0 |
|
|
|
||
при r R |
E |
1 |
|
q |
|
|
4 0 |
r2 |
|||||
|
|
|
||||
12
Применение теоремы Гаусса
5. Напряженность электрического поля равномерно заряженного по объему шара радиусом R с зарядом q.
при r R |
E |
|
1 |
|
|
|
qr |
|
|||
|
4 0 |
|
R3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
при r R |
E |
|
1 |
|
|
q |
|
||||
|
4 0 |
r2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
13
Теорема Гаусса в дифференциальной форме
Теорема Гаусса в интегральной форме:
|
EdS q |
|
1 dV |
1 V |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
0 |
|
0 V |
0 |
||
или
1 |
|
|
|
1 |
|
||
|
|
EdS |
|
||||
V |
0 |
||||||
S |
|
|
|
||||
V→0 (плотность в объеме можно считать постоянной)
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
EdS |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
V 0V |
S |
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
divE |
lim |
|
|
EdS - дивергенция |
|
||||||||
|
|
||||||||||||
|
V 0V |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теорема Гаусса в дифференциальной форме
Дивергенция векторного поля в декартовых координатах:
Ex Ey Ez divE
x y z Векторный дифференциальный оператор набла:
i j kx y z
Теорема Гаусса в дифференциальной форме:
divE E
0
15