Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ряды. Методичка

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

822 Кб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ

Ряды

Методические указания по решению задач

Санкт-Петербург

2008

Блинова И.В., Виноградова Т.Н., Кубенский А.А., Панкратова Т.Ф., Петрашень А.Г., Попов И.Ю. Ряды / Методические указания по решению задач. СПб: СПбГУ ИТМО, 2008. 50 с.

Пособие предполагается использовать для самостоятельной работы студентов по теме «Ряды». Предназначено студентам всех специальностей и преподавателям.

Рекомендовано к печати Советом естественнонаучного факультета

23.12.2008 (протокол N 5)

В 2007 году СПбГУ ИТМО стал победителем конкурса инновационных образовательных программ вузов России на 2007–2008 годы. Реализация инновационной образовательной программы «Инновационная система подготовки специалистов нового поколения в области информационных и оптических технологий» позволит выйти на качественно новый уровень подготовки выпускников и удовлетворить возрастающий спрос на специалистов в информационной, оптической и других высокотехнологичных отраслях экономики.

©Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, 2008

©Блинова И.В., Виноградова Т.Н., Кубенский А.А., Панкратова Т.Ф., Петрашень А.Г., Попов И.Ю., 2008

1. Вычисление суммы ряда по определению

∞

В примерах этого раздела для каждого ряда ∑un требуется вычислить

n=1

n -ю частичную сумму Sn =∑uk , установить, имеет ли последовательность

k=1

{Sn}∞n=1 предел, и вычислить этот предел, если он существует.

Пример:

∞

. При любом k

= 1

−

∑n=1 n(n +2)

k(k +

Sn =

1−

−

+...+

−

∑k=1 k(k +2)

n +2

n +1

Сумма ряда S = lim S

n→∞

Упражнения:

∞

1. 1+2 +...+n +...;

3. ∑(

n −

n +1);

2. ∑(−1)n+1 2 ;

n=1

n∞=1

∞

4. ∑

;

5. ∑

;

6. ∑

;

(n −1)(n +1)

n=1 n(n +1)

n=2

n=1 n(n +3)

∞

2n +1

7. ∑

;

8. ∑

;

9. ∑

;

(3n −2)(3n +1)

+1)

n=1 (2n −1)(2n +1)

n=1

n=1 n

∞

n2 + 3n +1

∞

n+1

∞

10. ∑

;

11. ∑(−1)

(0,3)

;

12. 1−2∑

;

(n +1)

n=1 n

n=1

∞

+ 2

13. ∑(−1,1)n ;

14. ∑

3 +7

;

15. ∑

;

n=0

∞

2 3n +3 2n−1

∞

3n+1 −4 5n

∞

5n+1 −2n

16. ∑

;

17. ∑

;

18. ∑

;

n−1

2n−1

n=0

n=1

∞

4n−1 +32n+1

∞

7n−2 +32n−1

∞

2n−1 n −1

19. ∑

;

20. ∑

;

21. ∑

;

2n−2

2n+1

n=2

n=1

∞

3 5n+1 −22n+1

∞

22. ∑

;

23.

∑

(−1)n−1 +

;

n−1

n=1

∞

n ).

24. ∑( n + 2 −2

n +1 +

n=1

2. Необходимый признак сходимости ряда

В примерах этого раздела требуется проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости ряда, т.е. равен ли нулю предел общего члена ряда при стремлении его номера к бесконечности.

∞	n	3	−1			n	3	−1		1
Примеры: 1. ∑				;	lim				=		.
		3	+5				3	+5		2
n=1	2n				n→∞	2n

Ответ. Необходимый признак сходимости не выполняется.

∞	2n			2n		2
2. ∑	2n	;	lim	2n	= lim	2	= 0.
2. ∑	n	;	lim	n	= lim	n	= 0.
n=1	3		n→∞	3	n→∞	3 ln 3

Ответ. Необходимый признак сходимости выполнен.

Упражнения:

∞

4n +3

25. ∑

;

26.

∑

;

3n −

17n +7

n=1

n=0

∞

2n +1

28. ∑cos

;

29.

∑tg

;

(n + 2)

n 1

∞

31. ∑

;

32.

∑

;

n=0 3n

n=0

4n +5

∞

4 n

34. ∑ln

15n

;

35.

∑

;

n +1 +

(n2 +

n=1

	∞		1
27.	∑sin		1	;
27.	∑sin		n	;
	n=1		n
	∞	n +3
30.	∑	n +3			;
30.	∑	2			;
	n=0	(n +7)
	∞
33.	∑n e ;
	n=1
	∞	n
36.	∑	2 + n					;
36.	∑	n				3	;
	n=1	3 2		+ n

∞

37. ∑

;

38. ∑

;

39. ∑n arctg

;

40. ∑n sin

100

n=1

3. Достаточные признаки сходимости рядов

В примерах этого раздела надо установить, сходится ли данный ряд, используя достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

а) Признаки сравнения рядов. Для установления сходимости данного ряда надо подобрать сходящийся ряд с бo'льшими членами, а для установления расходимости – подобрать расходящийся ряд с ме'ньшими членами. Чаще всего сравнивают члены данного ряда с членами какойнибудь геометрической прогрессии или с членами гармонического или обобщённого гармонического ряда. Можно использовать также признак сравнения рядов в предельной форме.

∞

Примеры: 1. ∑

; un =

≤

. Ряд

3n 4

2n+1

3n 4

2n+1

(16)

n=1

3 4

∞

∑

сходится,

т.к.

его члены образуют бесконечно

убывающую

12 (16)

n=1

геометрическую прогрессию, а значит, сходится и данный ряд.

∞		n +3			n +3		n + 2		1
2. ∑				; un =		≥		=		.
	n +1(n + 2)				n +1(n + 2)		n +1(n + 2)
n=1									n +1
∞	1
Ряд ∑			расходится		как обобщённый гармонический ряд с

n=1	n +1

показателем степени меньшим единицы, а следовательно, расходится и данный ряд.

б) Признак Даламбера часто удобно применять в предельной форме.

∞ 3n

n+1

3(n +1) 5n+1

Пример: ∑

; lim

= lim

n+1

n+2

n=1 5

n→∞

Данный ряд сходится.

в) Интегральный признак Коши.

∞

+∞

∫1

Пример: ∑n=1

;

= ln ln(x +1)

1 = +∞.

(n +1)ln(n +1)

(x +1)ln(x +1)

Интеграл, а следовательно, и ряд расходится.

Упражнения:

а) Признаки сравнения рядов.

∞

41.

∑

;

42.

∑

;

3n +

n=1

n(1+ n2 )

n=1

∞

44.

∑

;

45.

∑

;

n +

(2n +1)2

2n+1

n=1

n=0

∞

47.

∑2n sin

;

48.

∑22n tg5-n ;

n=1

∞

50.

∑

;

51.

∑

sin

;

n=1 ln(n +1)

n=1

53.

∑ (

6 ;

54.

∞

2n +5)

∑1 + n3 ;

∞

n=1

1+ n

+100)

∞

43.

∑

;

n=1

∞

n +1

46.

∑

;

n(n + 2)

n=1

∞

ln(7n +1) −nln 7

49. ∑

;

tg6

−n

n=1

∞

52.

∑

;

−4n +5

n=0

∞

55.

∑

;

n=1

+50)

∞

2 +

∞

4 3

∞

2 +

56. ∑tg

;

57. ∑=

;

58. ∑

3 +

n=1

n 1

n=0

б) Признак Даламбера.

∞

59.

∑

;

n=1

∞

61.

∑sin

;

n=1

∞

(n +1)!

64.

∑

;

n=1

∞

100

67.

∑

;

n=1

∞

−1

70.

∑

;

n=1

∞

73.

∑

;

n=1

∞	na	n
60. ∑	na				(a > 0, b > 0, a ≠ b);
60. ∑		3	b	n	(a > 0, b > 0, a ≠ b);
n=1	(n +1)		b

	∞		n(n −1)
62.	∑tg		n(n −1)						;
62.	∑tg					7		n	;
	n=1					7
	∞	5
65.	∑	n		;
65.	∑	n		;
	n=1	5
	∞	(3n +1) 3							n+1
68.	∑	(3n +1) 3								;
68.	∑	2								;
	n=2			n				−1
	∞	(n!)			2
71.	∑	(n!)					;
71.	∑	(3n)!					;
	n=1	(3n)!

63. ∑∞ 2n ;

n=1 n!

∑∞ n3

66. n=1 (n +1)! ;

69. ∑∞ nn ;

n=1 n!

∑∞ (n!)2

72. n=1 2n2 ;

∞	(n +1)!		∞	n!
74. ∑		; (2n)!! = 2 4 ... (2n);	75. ∑		.
	(2n)!!
n=1			n=1	(2n −1)!!

в) Интегральный признак Коши.

∞

76.

∑

;

77.

∑

;

78.

∑

;

+ n

n=1

+ n

n=1

∞

79.

∑

;

80.

∑

;

81.

∑ln2n ;

n=2 nln

n=2

∞

82.

∑

;

83.

∑

;

84.

∑

;

n=0

n=0 3

(n + 2)2

n=1

4 3n −2

∞

85.

∑

;

86. ∑

;

87. ∑ne−n2 ;

(2 −n)4

(2n +1)5

n=3 3

n=1 3

n=1

∞

− n

∞

88.

∑

;

89.

∑

;

90.

∑

;

(n +1)

(2n +1)(2n +3)

n=1

∞

n=0

∞

∑n=1

91.

∑=

;

92.

, a > 0 , b ≠ a .

(an +b)3

(n +1)ln

2 (n +1)

n 1

4. Абсолютная и неабсолютная (условная) сходимость ряда

В примерах этого раздела надо установить, сходится ли данный ряд абсолютно, неабсолютно (условно) или расходится.

∞	n	∞	(−1)	n	∞
Примеры: 1. ∑	(−1)	. Ряд из модулей ∑	(−1)		= ∑	1	сходится.
Примеры: 1. ∑	3	. Ряд из модулей ∑	3		= ∑	3	сходится.
n=1	n	n=1	n		n=1	n

Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.

∞

(−1)

∞

(−1)

∞

2. ∑

. Ряд из модулей ∑

= ∑

расходится,

3 3n +

3 3n + 2

n=1

3 3n + 2

но члены

его

монотонно

убывают

с ростом

и lim

= 0 .

3 3n + 2

n→∞

Следовательно, по признаку Лейбница данный ряд сходится неабсолютно (условно).

∞

n + 2

3. ∑(−1)n

. Общий член ряда un

= (−1)n

2n +5

n=1

2n +5

lim | u

| = lim

n + 2

lim u

≠ 0,

т.е. не выполнен необходимый

n→∞

2n +5 2

n→∞

признак сходимости ряда. Ряд расходится.

Упражнения:

∞

(−1)

∞

(−1)

∞

(−1)

93. ∑

;

94. ∑

;

95. ∑

;

2n −1

(3n)

n=1

∞

(−1)

∞

n+1

∞

(−1)

+1)

96. ∑

;

97. ∑

(−1)

;

98. ∑

;

n=1

n 2

n=1

∞

(−1)n

∞ (−1)n

99. ∑(−1)

1 +

;

100. ∑

, a > 0 ,b > 0 ;

101. ∑

;

an +b

ln n

n=1

n=2

∞

(−1)

∞

(−1)

∞

102. ∑

;

103. ∑

;

104. ∑(−1)

;

n=1

n +1

∞

105. ∑(−1)

;

106. ∑(−1)

nsin

;

107. ∑(−1)

1−cos

;

n=1

∞

sin nα

∞

a sin nα+bcos nα

108. ∑

, α − const;

109. ∑

, a,b,α − const.

+ 4

n=1

5. Исследование сходимости ряда

В примерах этого раздела, используя необходимый или какой-либо из достаточных признаков сходимости, надо выяснить вопрос о сходимости ряда. Если данный ряд знакопеременный, то требуется установить тип сходимости: абсолютная или неабсолютная (условная).

Примеры:

∞	n
1. ∑	(−1)	. Так как рассматриваемый ряд не является положительным,
	3
n=1	n

составляем ряд из абсолютных величин ∑∞ 1 . В силу сходимости этого

n=1 n3

ряда исходный ряд сходится абсолютно.

∞

(−1)

2. ∑

Общий

член

ряда составленного

из

модулей

n=1

4 2n3 +5n +1

a =

при

больших

эквивалентен a

Отсюда

4 2n3 +5n +1

n3/ 4

видно, что lim a

= lim

= 0 и члены ряда монотонно убывают. Откуда

n→∞

n→∞ a3/ 4

согласно признаку Лейбница следует неабсолютная сходимость исходного ряда.

∞

(−1)

(2n −1

3. ∑

. Так как lim

= lim

≠ 0

n=1

3 8n3 +1

n→∞

n→∞ 3 27n3 +1

необходимый признак сходимости ряда не выполнен и ряд расходится.

Упражнения:

∞

2n +1

∞

3n + 2

∞

110.

∑

;

111.

∑

;

112. ∑

;

2n3 + n2 +3

(2n +1)(2n −1)

n=1

3n + 4

n=1

∞

(−1)

113.

∑(−1)n

;

114.

∑

;

115.

∑

;

2n + n100

n=1

2n −7

n=1 n(3n + 4)

n=0

∞

(−1)

∞

116.

∑

;

117.

∑

;

118.

∑

;

3n2 −5n +1

n=1

5−n +1000

n=1

1000n +

∞

(−1)

(n +3)

∞

(−1)

∞

2 +(−1)

119.

∑

;

120.

∑

;

121.

∑

;

1020 n + 2

(n +1)(5n −4)

n=1

n=0

∞

3n +5n

∞

(−1)n (n100 +1)

∞

(5n +1)3n−1

122.

∑

;

123.

∑

;

124.

∑

;

n=1

∞

125.

∑

;

n=1

+1)

∞

128.

∑

;

n=1

∞

131.

∑

;

n=1 n

n +3

∞

+ 4

134.

∑

;

n=1

3 n7

∞

3n +1

137.

∑

;

n=1

n2n

140

∞ cos πn

∑

;

n=1

∞

143.

∑sin

;

n=1

∞

146.

∑

sin

;

n=1 n

∞

149.

∑tg

;

n=1

∞

+1)

152.

∑

;

n=1

∞

(n +1)(n + 2)

155 ∑

;

n=1

∞

(−1)

n−1

158.

∑

;

(2n +1)5n

n=1

n1000

∞

n(n−1)

161.

∑(−1)

n ;

n=1

∞

2n2 (2n +1)

126.

∑

;

n=1

∞

(−1)n (3n + 4)

129.

∑

;

n−10

n=1

∞

132.

∑

;

+3)

3/ 2

n=1

∞

135.

∑n 0.0001 ;

n=1

∞

(−1)

138.

∑

;

n=1

n +100

141.

∞ cos π3n ;

∑

n=1

∞

144.

∑sin n2 ;

n=1

∞

πn

147.

∑n−3 sin

;

n=1

∞

127.

∑(−1)n

;

(

)

n=1

∞

130.

∑

;

n=1

n(n +3)

∞

133.

∑

;

3n2 +7

n=1

∞

136.

∑(−1)n 1

−cos

;

n=1

∞

139.

∑(−1)n−1 sin π

;

n=1

∞

142.

∑ n sin

;

3 n5

n=1

145.

πn

;

∑sinn2

∞

n=1

∞

148.

∑sin

;

n=1

∞

sin na

∞

(−1)

150.

∑

;

151. ∑

;

(ln 5)n

(2n +1)!

n=1

∞

(−1)

∞

153.

∑

;

154. ∑

;

n=1

2n (n + 4)

∞

(−1)

n!(4n

+6)

156.

∑

;

157. ∑

;

(2n +1)!

(2n)!

n=1

∞

(−1)

∞

2n −3

159.

∑

;

160. ∑(−1)n

;

100

n=1

(3n + 4) n

∞

3 5....(2n −1)

162.

∑(−1)n−1

;

2 4 6...(2n)

n=1

∞

(−1)

∞

163.

∑

;

164. ∑

(sin x)

+(−1)n ) p

n=1 (n

n=1

∞

−m +1)

165.

∑

n(n −1)(n −2)....(n

;

n=1

∞ 4

4 7

4 7 10

167.

∑

...

;

2 6

n=1 2

∞

168.

∑(

2 − 3 2)( 2 − 5 2)(

2 − 7 2)...(

2 −

n=1 ∞

∞

169.

∑

;

170.

nn+n

∑

n=1

2 +

n=1

n +

∞

172.

∑

n!e

n+ p

n=1 n

(0, 2π) ;

∑∞ ann!

166. n=1 nn ;

2n+1 2) ;

	∞	n −1	n(n+1)
171.	∑

;	n=2	n +1
	;

6. Ряды с комплексными членами

В примерах этого раздела следует исследовать нижеприведенные ряды на сходимость. В силу того, что для комплексных чисел не определено отношение порядка (понятие больше - меньше), при исследовании рядов следует выделить вещественную и мнимую части его общего члена, после чего исследовать на сходимость их по отдельности. Если же производится исследование на абсолютную сходимость, то в этом случае можно непосредственно исследовать ряд, составленный из абсолютных величин.

∞	1 −i n
Примеры: 1. ∑		.

n=1	3 + 2i

Настоящий ряд представляет геометрическую прогрессию со

знаменателем

q =

1−i

(1 −i )( 3 −2i )

1−5i

3 + 2i

Так

как

= 2 / 13 <1,

то

ряд, составленный из модулей членов

исходного ряда, является бесконечно убывающей геометрической прогрессий. Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.11.201981 Кб5Рубеж_1.doc
#
20.09.2019295 Кб13рубежка.doc
#
01.07.2025214 Кб0РУКОВОДСТВО по лаб раб №10.docx
#
01.07.2025187 Кб0РУКОВОДСТВО по лаб раб №9.docx
#
14.04.2015219 Кб9Рынок и конкуренция-материалы лекции.pdf
#
14.04.2015822 Кб55Ряды. Методичка.pdf
#
01.07.20251 Мб0С. О. Арабей, И. С. Нилов, Ю.В.Рождественский.docx
#
01.03.20252 Мб4С.А.Курганов, В.В.Филаретов. Схемно-символьный...doc
#
21.03.201623 Кб24с++_лаб_7_интерфейсы.docx
#
14.04.201552 Кб11садуш.docx
#
20.03.2016183 Кб90СанПиН 2.1.3.2630 Ц 10.docx