Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ряды. Методичка

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

822 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Упражнения:

0 < x <1

489.

f (x) =

2 , x

=0, x =1;

0, x <

0, x >1

≤2

x ,

f (x) =

>2 ;

491.

x −1,

0 ≤ x ≤1

493.

f (x) = −1−x,−1≤ x <0 ;

495.

1−

0 ≤ x <2

f (x) =

−2 ≤ x <0 ;

≤π

cos x,

497.

f (x) =

2 ;

>π

e−x ,

0 ≤ x ≤1

499.

f (x) = −ex ,−1≤ x <0 ;

e−x , x >0

501.

f (x) =

x =0 ;

−ex , x <0

503.

x +1,

−1≤ x ≤−1

< 1

f (x) =

2 .

1−x,

1 ≤ x ≤1

x, x ≤1

f (x) =

>1;

490.

0 < x ≤2

−1,

492.

f (x) =

1,−2 ≤ x ≤0 ;

1−x,

0 ≤ x ≤1

494.

f (x) = 1+x,−1≤ x <0 ;

sin x,

x ≤π

f (x) =

>π ;

496.

498.

f (x) = sin

2 ;

≥π

x ≤1

f (x) =

−

>1 ;

500.

502.

f (x) = (x −1)2 , 0 ≤ x ≤2

;

x <0, x >2

20. Преобразование Фурье

В примерах данного раздела требуется найти образ Фурье данной функции, используя преобразование Фурье.

Пример:	ex sin x,		x (−∞,0
	f (x) =		(
		0,		0,+∞	)
			x

+∞

F(ω) =

∫

f (x)e−iωxdx =

∫ ex sin xe−iωxdx =

2π −∞

x exi

−e−xi

dx =

1 1

ω2 −2 −2iω

∫

−iωx

−

2π (4 +ω

)

2π −∞

2π 2i 1+i −iω

1−i −iω

Упражнения:

504.

f (x) =

, x (−∞,0

;

(

0,+∞

)

0, x

, x (−∞,0

506.

f (x) =

2 x

;

e−2 x ,

0,+∞

)

(

sin x, x [−π,π]

f (x) =

x [−π,π] ;

508.

−x

, x [−π,π]

f (x) =

x [−π,π] ;

510.

sin x, x −π,0

512.

f (x) =

0, x −π,0

514.

f (x) =

cos 2x, x 0,π

;

0, x 0,π

cos x,

x (−∞,0

516.

f (x) =

e−x sin x,

0,+∞

)

(

		e		, x [−π,π							]
	f (x) =		x
505.	f (x) =		0, x [−π,π];

			x		sin x,		x (
507.	f (x) =	e			sin x,		x (				−∞,0											;
507.	f (x) =	e−x sin x,					x			(		0,+∞							)			;
										(									)								π
509.	f (x) =	sin x +cos x, x −																		π					,		π	;
	f (x) =																				2						2	;
						0,												π						,		π
						0,				x −									2					,			2
					0,														2								2
					0,	x (−∞,0
511.	f (x) =																						;
511.	f (x) =	e−x cos x,						x					0,		+∞						)		;
											(		,π								)
513.	f (x) =	sin x, x −π											,π
	f (x) =							2 2									;
			0, x −π									,π
			0,						2				2
			0,			x (−∞,0
515.	f (x) =															;
515.	f (x) =	e−2 x ,				x		(	0,+∞					)		;
								(						)

Литература

1.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М.: Наука, 1966, т.II.

2.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М.: Физматгиз, 1963.

3.Воробьев Н.Н. Теория рядов. – М.: Наука, 1970.

4.Кожевников Н.И., Краснощекова Т.И., Шишкин Н.Е. Ряды и интеграл Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. – М.: Наука, 1964.

5.Берман Г.Н. Сборник задач и упражнений по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1980.

6.Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1966.

Ответы

1.Расходится. 2.Расходится.												3.Расходится.					4. S =1. 5. S =						3		.	6. S =		11	.
																						4					18
	1						1											3
7. S =				.	8. S =			.		9. S =1.	10. S = 2.			11. S =					.	12. S = 0 .		13.Расходится.

2						3											13
14. S =			8		. 15. S =				3	. 16. S =		25	. 17. S = −18,75 .							18. S =	2260			.		19. S =	73			.
		3						4			4
					25										410					931							8
20. S =						. 21.Расходится.							22. S =			.	23.Расходится.					24. S =1 −					2 .
		144 93												3

25.Нет. 26.Нет. 27.Да. 28.Нет. 29.Да. 30.Да. 31.Нет. 32.Нет. 33.Нет. 34.Да.

35.Нет. 36.Нет. 37.Нет. 38.Нет. 39.Нет. 40.Да. 41.Сходится. 42.Расходится. 43.Расходится. 44.Расходится. 45.Сходится. 46.Расходится. 47.Сходится. 48.Сходится. 49.Сходится. 50.Расходится. 51.Сходится. 52.Сходится. 53.Сходится. 54.Расходится. 55.Расходится. 56.Сходится. 57.Сходится. 58.Сходится. 59.Сходится. 60.Сходится, если a < b; расходится, если a > b . 61.Сходится. 62.Сходится. 63.Сходится. 64.Сходится. 65.Сходится. 66.Сходится. 67.Сходится. 68.Расходится. 69.Расходится. 70.Расходится. 71.Сходится. 72.Сходится. 73.Сходится. 74.Сходится. 75.Сходится. 76.Расходится. 77.Сходится. 78.Сходится. 79.Сходится. 80.Сходится. 81.Сходится. 82.Расходится. 83.Расходится. 84.Расходится. 85.Сходится. 86.Сходится. 87.Сходится. 88.Сходится. 89.Сходится. 90.Сходится. 91.Расходится. 92.Сходится. 93.Сходится неабсолютно. 94.Сходится неабсолютно. 95.Сходится абсолютно. 96.Сходится абсолютно. 97.Сходится абсолютно. 98.Расходится. 99.Расходится. 100.Сходится неабсолютно. 101.Сходится неабсолютно. 102.Сходится неабсолютно. 103.Сходится неабсолютно. 104.Расходится. 105.Сходится абсолютно. 106.Сходится абсолютно. 107.Сходится абсолютно. 108.Сходится абсолютно. 109.Сходится абсолютно. 110.Сходится. 111.Расходится. 112.Сходится. 113.Расходится. 114.Сходится. 115.Сходится абсолютно. 116.Сходится абсолютно. 117.Расходится. 118.Расходится. 119.Расходится. 120.Сходится абсолютно. 121.Сходится. 122.Расходится. 123.Сходится абсолютно. 124.Расходится. 125.Сходится. 126.Сходится. 127.Сходится. 128.Расходится. 129.Сходится абсолютно. 130.Расходится. 131.Сходится. 132.Сходится. 133.Расходится. 134.Расходится. 135.Расходится. 136.Расходится. 137.Сходится. 138.Сходится неабсолютно. 139.Сходится неабсолютно. 140.Сходится абсолютно. 141.Сходится абсолютно. 142.Сходится. 143.Сходится. 144.Расходится. 145.Сходится абсолютно 146.Сходится. 147.Сходится абсолютно. 148.Сходится. 149.Расходится. 150.Сходится абсолютно. 151.Сходится абсолютно. 152.Сходится. 153.Сходится абсолютно. 154.Расходится. 155.Сходится. 156.Сходится. 157.Сходится абсолютно. 158.Расходится. 159.Сходится абсолютно. 160.Сходится неабсолютно. 161.Сходится

абсолютно. 162.Сходится абсолютно при p > 2 и неабсолютно при 0 < p ≤ 2. 163.Сходится абсолютно при p >1 и неабсолютно при 0 < p ≤1.

164.Сходится абсолютно. 165.Сходитсяабсолютно при m ≥ 0 и неабсолютно
при	−1 < m < 0 . 166.Сходится при a < e , расходится при a ≥ e .

167.Сходится. 168.Сходится. 169.Сходится. 170.Расходится. 171.Сходится. 172.Сходится при p > 3 / 2 . 173.Сходится абсолютно. 174.Сходится

неабсолютно. 175.Сходится абсолютно. 176.Расходится. 177.Сходится абсолютно. 178.Сходится абсолютно. 179.Сходится абсолютно. 180.Сходится абсолютно. 181.Сходится абсолютно. 182.Сходится абсолютно. 183.Сходится

при

−∞ < x < 0.

184.Сходится абсолютно при x

−

;

185.Сходится

1−

;

<1.

абсолютно при

. 186.Сходится абсолютно при

187.Сходится абсолютно при x > 0. 188.Сходится абсолютно.

189.Сходится

при

−∞;−

[0;+∞). 190.Сходится при x

−∞;−

[−1;

+∞).

191.Сходится при x (−∞;−5) (7;+∞).

192.Сходится

при

−1;−

;1 .

193.Сходится

при

≤

;

3x2

S(x) =

194.Сходится при

≤

;

S(x) =

195.Сходится

−2x

4 −

3x2

при

≥1;

S(x) =

196.Сходится

при

≥

;

S(x) =

−1

3x −1

197.Сходится при

; S(x) =

198.Сходится при x (−10;8);

3 2

2x3 −

1− x

S(x) =

199.Сходится

при

x (−∞;4) (6;+∞);

S(x) =

x −1

8 − x

3 + x

200.Сходится

при

−∞;−

;

S(x) = −

201.Сходится

при

2 − x

. 202.Расходится при всех x .

−∞;−

;+∞

; S(x) =

2(3x −1)

203.Сходится при x (−

5;−

3 ) (

5 ); S(x) =

− x2

−3

ln x

204.Сходится

при

−

;

S(x) =

. 205.Сходится при

ln x −1

x ≠

π(2k +1) , k = 0,±1,±2,±3,...;

S(x) =

sin x

. 206.Сходится при x > 0

−sin x

S(x) =

. 207.Сходится при

<1;

−1

x2 ln(x +1)

ln(x +1)

S(x) = ∫x ln(x +1)dx =

−

+ x +

208.Сходится

при

<1; S(x) =

∫ln(x +1)dx

= −1

ln(x +1)

. 209.Сходится при

;

x +1

S(x) = ∫ln(1+ 2x)dx =

(1+ 2x)(ln(1+ 2x) −1)

210.Сходится

при

;

S(x) =	(1+3x)(ln(1 +3x) −1)	. 211.Сходится при всех x ; S(x) = ∫					sin x	dx .
	3x
			sin x		cos x		x
212.Сходится при x ≠ 0 ; S(x) = −				−		. 213.Сходится равномерно.
			x		x2

214.Сходится равномерно. 215.Сходится равномерно. 216.Сходится равномерно. 217.Сходится равномерно. 218.Сходится равномерно. 219.Сходится равномерно. 220.Сходится равномерно. 221.Сходится равномерно. 222.Сходится неравномерно. 223.Сходится равномерно. 224.Сходится неравномерно. 225.Сходится неравномерно. 226.Сходится равномерно. 227.Сходится равномерно. 228.Сходится неравномерно. 229.Сходится равномерно. 230.Сходится равномерно. 231.Сходится

неравномерно.

232.[-1;1).

233.[-1;1).

234.[-2;0).

235.[-4;-2).

236. [1;3).

237.(-3;-1).

238.(0;2).

239.(1;3).

240.(-0,1;0,1).

241. (-2;2).

242.[-10;10).

243.[-1;1].

244.

−

;

245. (−∞;+∞) .

246. [-3;1].

247.

−

;

248. (

5) .

249. − 5;

−

5 .

250. − 3; 3

251.

;

(−∞;+∞).

252.

253.(2-e;2+e).

254.(-4;4).

255.

S(x)

= 1 ln

1+x

−1 arctgx;

<1.

1−x

1+x

256.

S(x)

= 1 arctgx +1 ln

;

<1.

1−x

+x +1

2x +1

257.

S(x) = x

arctg

−

;

<1.

(x −1)2

258.

259.

261.

263.

265.

266.

− 13

267.

268.

270.

1 ln1+x − x − x −1 ; x <1; x ≠0

S(x) =

1−x

2x2

S(x) =

;

<1.

260. S(x) =

;

<1.

−1)2

(x −1)2

S(x) =

1+x2

;

<1.

262. S(x) =

x2 (5−4x)

;

<1.

(1−x2 )2

(1−x)2

<1 .

S(x) =

;

264. S(x) =

−1 ln(1− x) +1;

(1−3x)

S(x) =−1 xln(1−x2 ) +x +1 ln1−x ;

<1.

1+x

S(x) =−1 xln(1−x3 ) +x +

1 ln(1−x)

−1 ln(x2 +x +1) −

(arctg 2x

−

π );

<1.

ln1−x

− 1 ln(1−x2);

x <1;

x ≠0

− x

S(x) =

1+x

2x2

x =0

S(x) =

;

<1.

269. S(x) =

;

(1−x)3

S(x) =

x2 (15−10x2 +3x4)

;

<1.

(1−x2)3

x<1; x ≠0.

x=0

x <1.

271.

S(x) =

)ln(1−x) +x +

<1.

x (1−x

;

272.

ln(1+ex ) =ln 2 +

+....

273.

ln(1+sin x) = x +

+... .

274.

=e(1−x

+ 2 x

+...) .

275.

=1+x +

+....

1+x

arctgx

276.

sin x

=1+x +

2 +....

277.

cos x

=e(1−

6 −...) .

278.

=1+x

+....

279.

−ln cos x =

+....

cos x

280.

cosn x =1−n x2

n(3n −2)

+....

281.

ch2 x =1+x2 +

+....

282.

1+4x +12x2 =1+2x +4x2 +....

283.

xsin x

=1+x

+....

ecos x

=1+x +

(1+x)

=1+x

284.

+....

285.

−

+....

1 ∑∞ (x −1)2n e n=0 n!

1+sin x

∞

286.

= x +

+....

287.

∑

1−sin x

n=0

∞

(−1)n3n (x −1)n

288.

∑

, −∞< x <+∞.

n=0

∞

2n (x −3)n

289.

e3 ∑

−∞< x <+∞.

290.

n=0

291.

∞

(3ln 2)n (x −1)n ,

−∞< x <+∞.

8∑

n=0∞

292.

∑(−1)n lnn 4

(x −

2)n , −∞< x <+∞.

16 n=0

293.

∞

−∞< x <+∞.

35 ∑(−1)n (5ln 3)n (x +1)n ,

n=0

294.

−

∞

(3ln 3)n (x +2)n

(x +1)n , −∞< x <+∞.

∑

n=0

∞

2n lnn 4 (x −1)n , −∞< x <+∞.

295.

∑(−1)n

16 n=0

296.

∞

(x +2)2n , −∞< x <+∞.

∑lnn 2

2 n=0

2n (x −2)2n

297.

∞

(−1)n

, −∞< x <+∞.

∑

(2n)!

n=0

298.

∞

(−1)n

2n+1 (x +2)2n+1

, −∞< x

<+∞.

∑

(2n +1)!

n=0

299.

∞

(−1)n+1

π 2n+1 (x −3)2n+1

, −∞< x <+∞.

∑

(2n +1)!

n=0

∞

n+1

2n+1 x − 3

2n+1

300.

∑

(−1)

, −∞< x <+∞.

(2n +1)!

n=0

∞ (−1)n 22n−2

2n−1

301.

∑ n(2n −1)!

−

+ 3

x −

n=1

2n+1

∞

32n+1 x −

302.

∑

(−1)n+1

, −∞< x <+∞.

(2n +1)!

n=0

∞

32n−1 x −π

2n−1

303.

∑(−1)n−1

, −∞< x <+∞.

(2n −1)!

n=1

(x +2)n , −∞< x <+∞. n!

, −∞< x <+∞.

−∞< x <+∞.

			∞							22n+1					x −									π			2n+1
304.		∑(−1)n+1																							4											, −∞< x <+∞.
304.		∑(−1)n+1												(2n							+1)!															, −∞< x <+∞.
	n=0			∞								2		(2n							+1)!								2n
				∞					n				2n−1				(x −π)												2n				,			−∞< x									<+∞.
305. 1+∑(−1)																	(x −π)																,			−∞< x									<+∞.
				n=1									(2n)!																							2n+1
								(−1)n 22n+1 x −π																												2n+1
						∞		(−1)n 22n+1 x −π
306.		12 1+∑																													4								, −∞< x <+∞.
306.		12 1+∑													(2n +1)!																								, −∞< x <+∞.
						n=0

																												n
						∞										(x −2)												n
307.	ln 4 +∑(−1)n+1															(x −2)														,		−2 < x ≤6.
307.	ln 4 +∑(−1)n+1																		4			n		n						,		−2 < x ≤6.
						n=1													4					n											n
						∞							n+1					2				n				(x −1)									n						3							7
308.	ln5+∑(−1)												n+1					2								(x −1)										,		−			3	< x ≤						7	.
308.	ln5+∑(−1)																	5												n						,		−			2	< x ≤						2	.
						n=1												5												n											2							2
309.		∞														n			,		−2 < x ≤0.
309.	∑(−1)n+1 (x +1)																		,		−2 < x ≤0.
	n=1												n		(x +5)n
							∞					3		n	(x +5)n																	−34						< x ≤ 4 .
310.	ln19 −∑											3									n								,
310.	ln19 −∑																												,
							n=1 19																													3									3
						∞							n+1					2				n				(x −						3)				n		3								9
311.	ln3+∑(−1)												n+1					2								(x −						3)				,		3			< x ≤					9		.
311.	ln3+∑(−1)																	3												n						,		2			< x ≤					2		.
						n=1												3												n								2								2
							∞			5				n (x +2)n																	−215 ≤ x <														15 .
312.	ln11−∑n=1									5										n									,
312.	ln11−∑n=1									11										n									,
						∞								n+1					3				n			(x −1)									n					4							10
313.	ln 7 +∑(−1)													n+1					3							(x −1)										,		−		4		< x ≤					10				.
313.	ln 7 +∑(−1)																		7											n						,		−		3		< x ≤						3			.
						n=1													7											n										3								3
			1									∞		5 n							(x +1)n																	12									2
314.					ln 7 −∑ 7																						n									, − 5						≤ x <					5 .
314.		ln 2			ln 7 −∑ 7																						n									, − 5						≤ x <					5 .
											n=1
			1									∞								n+1							2			n (x −2)n																1						9
315.					ln5			+∑(−1)																													n								, −			< x ≤					.
315.		ln 3			ln5			+∑(−1)																			5																		, −	2		< x ≤				2	.
		ln 3									n=1																5																			2						2
											n=1
			1									∞ (x −2)n
316.			1			ln 2 −∑												2		n		n								,		0 ≤ x <4 .
316.						ln 2 −∑														n										,		0 ≤ x <4 .
		ln10										n=1
												n=1																				n−1 2 5...(													3n −4)
							1													∞																																		n
	3						1	(x −3) +											∑																															(x −3)				n	, 1< x <5.
317.			2	1+																					(−1)
317.			2	1+			6																		(−1)																6			n	n!
																																												n
																			n=2
																			∞						2		5...(3n −4)
318.	3 2			1−1				(x −1) −											∑						2		5...(3n −4)																(x −1)n								, −1< x <3.
318.	3 2			1−1				(x −1) −																																			(x −1)n								, −1< x <3.
							6																								6			n		n!
							6											n=2													6					n!

319.

−1

∞

(x −5)n

2 < x <8 .

320.

∞

x −3

∑(−1)n

1 ∑(−1)n (

)

, 0 < x <6.

3 n=0

∞

(x −1)n

∞

n 2n

321.

∑

, −1< x <3.

322. ∑(−1)

(x −

−

< x <

n+1

2 n=0

n=0

(x −2) +(x −2)

∞

(−1)

(

2n −5)

(x −2)n

323.

23 2

∑

, 0 < x <4.

n!2

2n−2

n=3

∞

4 7...(3n +1)

324.

1+∑(−1)

(x +1)

−

< x

<−

n=1

∞

3 10...(7n −4)

∑(−1)

(x −2)

< x

325.

n=1

15 9

15 33

326.

1−

28 (x

+3) +

(x +

−

(x +3)

−

222!142

233!143

−15

∞

3n (2n −7)!!

(x +3)n

, − 23

< x < 5 .

∑

n=4

n+1 (2x)2n

∞

327.

∑

−∞< x <+∞.

328.

∑(−1)

, −∞< x <+∞.

(2n)!

n=0

2 n=1

∞

22n

329.

∑(−1)n

x2n ,

−∞< x <+∞.

(

2 n=1

2n)!

∞

xn+1

330.

ln10 +∑(−1)

−10

< x ≤10 .

10n+1

(

n +1

∞

n=0

)

∞

(

2n −1 !!

331.

∑(−1)n xn

<1.

332. 1+∑(−1)n

)

x3n

<1.

n=0

n=1

(

∞

5...(3n

−

∞

2n −1 !!

333.

2 1−

−

∑

334. 1+

∑

)

<1.

n−1 3n

24 3 n=2

3 2

n=1

∞

x2n+1

<2 .

335.

∑(−1)n

, −∞< x <+∞.

n!(2n +1)

n=0

∞

n (2n −3)!!

3n+1

336.

x +

−∑

(−1)

n!(3n +1)

n=2

∞

n 3 7...(4n −5)

∞

x2n+1

337.

−

∑(−1)

4n−1

<1.

338. ∑(−1)

≤1.

(4n −1)n!

(2n +1)

n=2

n=0

∞

1+52n−1

339.

∑(−1)n+1

x2n−1,

−∞< x <+∞.

2 n=1

(2n −1)!

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.11.201981 Кб5Рубеж_1.doc
#
20.09.2019295 Кб13рубежка.doc
#
01.07.2025214 Кб0РУКОВОДСТВО по лаб раб №10.docx
#
01.07.2025187 Кб0РУКОВОДСТВО по лаб раб №9.docx
#
14.04.2015219 Кб9Рынок и конкуренция-материалы лекции.pdf
#
14.04.2015822 Кб55Ряды. Методичка.pdf
#
01.07.20251 Мб0С. О. Арабей, И. С. Нилов, Ю.В.Рождественский.docx
#
01.03.20252 Мб4С.А.Курганов, В.В.Филаретов. Схемно-символьный...doc
#
21.03.201623 Кб24с++_лаб_7_интерфейсы.docx
#
14.04.201552 Кб11садуш.docx
#
20.03.2016183 Кб90СанПиН 2.1.3.2630 Ц 10.docx