Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ряды. Методичка

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

822 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

∞

102n−1 −42n−1

340.

1 ∑(−1)n−1

x2n−1,

−∞< x <+∞.

2 n=1

(2n −1)!

341.

∞

<+∞.

1 ∑(−1)n 42n +62n x2n , −∞< x

2 n=0

(2n)!

∞

52n −1

342.

1 ∑(−1)n+1

x2n , −∞< x <+∞.

2 n=1

(2n)!

∞

2n −1

∞

343.

1+∑(−1)n−1

x2n .

344. ∑(−1)n

x2n+1 .

n=1

(2n)!

n=1

(2n +1)!

∞

sin

cos

345.

∑(−1)n

x2n

x2n+1 , −∞< x <+∞.

n=0

(2n)!

(2n +1)!

∞

n −1 n

∞

xn+1

346.

1−∑

−∞< x <+∞.

347. −∑

, −1≤ x <1.

n=2

n=1

a xn , x

348.

∞

xn+1

, −∞< x <+∞.

349. ∑(−1)n

n 1

≠0 .

x +∑(−1)n+1

∞

∞ n=1

n(n +1)

n=0

(n +1)!

x2(n−1)

∞

x6n

350.

∑(−1)n−1

, x ≠0 .

351. ∑

, x ≠0.

n=1

n=0

(2n +1)!

∞

n−1

x2n

∞

(2n −1)!!

∑(−1)

x +∑

352.

<1.

353. 1+

<1.

2n(2n −1)

n=1

∞

n=2

354.

ln 2 −

<1.

355. 1 ∞

−1 n+1 2n −1xn ,

< 1 .

∑

∑(

)

n=1

∞

3 n=1

356.

1+3 x +2∑

(−1)n

, −1< x ≤1, x ≠0.

−1)n(n +1)

n=2

∞

+...+

xn , −1< x ≤1.

357.

∑(−1)n−1 1+1

n=1

358.

∞

<1.

∑ 1+2(−1)

359.

n=0

1+2(x −1) +5 (x −1)2 +2 (x −1)3 −∑(x −1)n , 0 < x ≤ 2 .

∞

n=4

∞

22n+1

360.

π2 +2 +(π −2)(x −

π )

+(x −π )2 +∑(−1)n

(x −

π )2n+1

n=1

(2n +1)!

−∞< x <+∞.

∞

+1)n , −∞< x <+∞.

361.

e −1−(e −2)(x +1) +∑(−1)n (x

n=2

∞

362.

3+(x −1) +2(x −1)2 +∑(−1)n (x −1)n, 0 < x < 2 .

n=3

∞

xn+1,

−1≤ x <1.

363.

∑

+...+

n=1 n +1

∞

1+1 +...

364.

∑(−1)n−1 1

x2n ,

≤1.

n=1

∞

2n −1

365.

x +∑ −

−...+

(−1)n

x2n +

(2n −1)!1!

(2n −3)!3!

n=1

1!(2n −1)!

n−1

2n+1

−

+...+(−1)

(−1)

(2n −2)!3!

2!(2n −1)!

(2n)!1!

0!(2n +1)!

−∞< x < +∞.

∞

366.

x +∑ −

−

...+(−1)n

x2n +

1 (2n −1)!

3 (2n −

3)!

n=1

(2n −1) 1!

−

+...+

(−1)n

x2n+1,

<1.

1 (2n)!

3 (2n −2)!

(2n

−1)!0!

∞

(2n −1)!!

367.

∑xn ,

<1.

368. x +∑(−1)

2n+1

<1.

n!(2n +1)

n=0

n=1

369.

∞

x2n+1

370.

∞

+∑(−1)

2n+1

∑ 1−(−1)

n=1

a (2n −1)

3 n=1

371. 1+

+....

372.

2 x −

4 x

+....

∞

373.

−∑

−3+3n +

374. y =

+....

n+1

n=a

375. y =

1 x +

1 x2 +

x4 +

+...

376. y =1+x +

3 x2

5 x3

+...

320

377.

y =1+

−

+....

378. y =1+x +

2 x

3 x

+...

x3n x3n+1

379.y =1−x +∑n=1 2 3 5 6...(3n −1) 3n −3 4 6 7...3n (3n +1) .

380.y = A+Bx +∞

∞

3n+1

∑

(−1)

−

2 3 5 6...(3n −1)

3 4 6 7...3n (3n +1)

n=1

∞

x2n+1

381.

y = ∑

x2n .

382.

y = ∑(−1)n

n=0

(2n +1)!!

∞ (2n −3)!!

∞

−

n+1

383.

y =

+∑

384.

y =1+x +

(

(2n)!

∑n=1 2

n!(2n −1)

n=2

∞

x2n

n−1 (2n −3)!!

y =1+∑(−1)

+∑(−1)

385.

386.

y =1+x +

n−1

n=1

n=2

∞

x2n

387.

y = ∑(−1)

(n!)

n=0

388. y =1+

∞

(2n −4) +(2n −4)(2n −6) +...+(2n −4)(2n −6)...4 2 +1

+∑

x2n−1 +

n=3

(2n −1)!

(2n −3) +(2n −3)(2n −5) +...+(2n −3)(2n −5)...5 3+1

x2n .

(2n)!

389. y =1+

∞

(−1)

n+1

+∑

(n −1)!!

−

+...+

xn .

(n −3)!!

n +1

n=5

(n −1)!!

(n −2

+3)!!

390.	0,9848.															391.3,107.													392.					0,2449.						393.					1,396.						394.		0,6931.
395.	0,3329.															396. 0,7788.													397.					0,9998.						398.					0,1233.						399.		1,6094.
400.	2,01234.															401. 0,759.													402.					2,565.						403.					4,121.						404.		0,015609.
405.	1,649.															406. 0,1736.													407.					0,098.						408.					1,0986.						409.		0,0175.
410.	0,487.															411. 0,50768.													412.					2,303.						413.					1,7918.						414.		2,833.
415.	0,9962.															416. 0,0872.													417.					5,066.						418.					2,00059.						419.		1,3863.
420.	0,311.															421. 0,32726.													422.					0,20088.						423.					1,00250.						424.		1,000400.
425.	0,499805.
		3π							∞						1					1−(−1)n cos2nx +(−1)n+1 sin 2nx .
426.					+∑										1
426.					+∑
	8			∞			n=1					2πn2																										2n							∞
		2		∞												2					sin nπ					sin nπ x .																6			∞					nπ cos2 nπ x .
427.		2	∑ 1									+				2																			428.				2		−	6		∑		1		sin2
427.			∑ 1									+		πn					2																428.				2		−	2		∑		2		sin2
	π n=1 n													πn										2					2										3		π			n=1 n							3		3
		∞		2			1−(−1)n																						(−1)			n		−3sin nπ x .
429.	∑																					cos nπ x +							(−1)
429.	∑									2					2							cos nπ x +								nπ
	n=1									n		π												2						nπ									2		∞ sin nπx
	2						4				∞					1																							2		∞ sin nπx
430.			−						∑															cos 2nx .											431.						∑								.
430.	π		−						∑				4n				2		−1					cos 2nx .											431.						∑				n				.
	π					π n=1							4n						−1																				π n=1						n
		∞								2																							1
432.	∑									2									cos 2(2n −1)x −														1				sin 2(2n −1)x .
432.	∑			π(2n −1)													2		cos 2(2n −1)x −												2n −1						sin 2(2n −1)x .
	n=1			π(2n −1)																											2n −1
		2		∞														2					sin nπ				sin nπ x .
433.		2	∑ − 1										+					2
433.			∑ − 1										+					2
	π n=1										n					πn									2				2
	3						∞					2					(−1)n −1 cos nπ x −																		2			sin nπ x .
434.			+∑									2																							2
434.			+∑
	2					n=1				π2n2																			2						πn				2
	1						4				∞			cos(2n −1)πx																											2 ∞						n sin nπx
435.			−								∑																	.								436. −							∑(−1)									.
435.	2		−		π			2			∑						(2n −1)								2			.								436. −							∑(−1)						n			.
	2				π						n=1						(2n −1)																							π n=1									n

∞

(−1)n −1

n(1+(−1)n )

437.

cos x

−

sin x

∑

sin nx .

−1

∞

π n=2

∞

(−1)

438.

−∑sin 2nx .

439.

∑

sin nπx .

n=1

π n=1

∞

(−1)

−2

1cos 2nx −

440.

π +∑

sin 2nx .

n=1

2πn

∞

(2n −1)πx

441.

∑

cos

n=1 (2n −1)

∞

(cos 2nx +2nsin 2nx).

442. 1+

(1−e−π )

(1−e−π )∑

n=1

∞

(2n −1)πx

443.

∑

sin

2n −1

π n=1

∞

−2

sin(2n −1)x

444.

2∑n=1

cos(2n −1)x +

π(2n −1)2

2n −1

∞

cos nx

∞

cos(2n −1)x

445.

+4∑

−

sin nx .

446.

−

∑

(2n −1)

n=1

∞

sin 4(2n −1)x

∞

447.

−∑

448.

1 sin x −

∑cos22nx .

n=1

2n −1

π n=1

4n −1

∞

(−1)

sin nπ x .

449.

−

∑

π n=1

∞

450.

∑

cos(2n

−1)πx +

sin(2n −1)πx .

π(2n −1)

2n −1

π n=1

451.

2sin ax

∞

(−1)n+1

sin nx .

452. sin ax 1−

2a2

∞

(−1)n cos nx

∑

n −a

aπ

∑

−a

∞

n=1

∞

n=1

453.

−

∑

1 sin 2nπx .

454. 5

+∑1−(−1)2

cos2nx +1−2(−1)

sin 2nx .

π n=1 n

n=1 2πn

∞

(−1)n

∞

455.

+∑

cos 2nx .

456.

∑

sin

x .

−1

n=1

π n=1

457.

∞

cos

4nπ

−1

sin

4nπ

cos

2nπx

∑

2 2

nπ

n=1

2n π

4nπ

2nπx

1+cos

−

sin

2n2π2

nπ

∞

sin(2n −1)x

458.

∑

459.

∑

sin8nx .

(2n −1)

−1

π n=1

π n=1 4n

∞

−

(2n

−

1)x

∞

cosπ(2n −1)x

460.

∑

sin

461.

−

∑

(2n −1)

2n −1

π(2n −1)

π n=1

n=1

3π −

∞

3 nπ sin nπ cosnx .

462.

−

∑

sin

π n=1 n

∞

2(−1)n

2∑n=1

463.

sin(2n −1)x .

2n −1

π(2n −1)

∞

cos 2(2n −1)x

464.

∑

(2n −1)

π n=1

∞

465.

∑ 1 sin nπ

−

sin 3nπ sin nπ

cos nπ x .

πn

π n=1 n

∞

nπ

466.

∑

sin

1−cos

cos nx .

π n=1

3π

∞

sin 3nπ sin nπ cos nx .

467.

∑

π n=1 n

nπ

∞

cos6nx

∞

n −sin

nπ

468.

−

∑

469.

sin

x +

∑

sin

x .

−1

π n=1

π n=2

470.

∞

(−1)n

−1

−

cos nπ

sin nπ x .

∑

3 2

n=1

n π

∞

(−1)

−3sin nπx .

1 −

162

∞

sin 3nπ sin nπ cos nπ x .

471.

∑

472.

∑

π n=1

n=1 n

∞

sin nπ

∞

sin nπ

sin nπ x .

473.

∑

sin nx .

474. −

∑

(−1)n +

nπ

π n=1 2n

π n=1 n

∞

sin2 hn

∞

nπ

475.

−

∑

cos nx .

476.

∑

sin

x .

∞

hπ n=1

π n=1 n

∞

(

)

∑

477.

cos(2n −1)x .

478.

1−(−1)n

−

(−1)n sin nx .

π n=1 (2n −1)

π n=1 n

∞

−

π2

(−1)n

479.

1 −

∑

(

1)2

sin nπ

cos nπ x

480. 1−

−∑

cos2nx .

n=1

πn

n=1

481.

−2

1−(−1)

+(−1)

−1

+(−1)

π i einx

1π − 1 +

− 1 + 3 i e−ix +

n∑=−∞

n2 −1

2π

+ 1

∞

1+(−1)

+(−1)

−1+(−1)

π i einx .

+ − 1

−3 i eix

n∑=2 n2 −1

2π

−2

n−1

482.

∑

(−1)

−1

1+(−1)

inx

(1−i)e

−ix

2π

−1

n=−∞

∞

(−1)

n−1

−1

1+(−1)

inx

+4 (1+i)e +

∑

e .

2π

−1

n=2

483.1π

484.1π

−2 1+(−1)n

)

inx

−ix

∞

1+(−1)n

)

inx

∑

(

∑

(

−1

ie .

n=−∞

2π n=2

−1

1−(−1)n

(−1)n eπ −1

(−1)nπ

(−1)n eπ −1

inx

∑

n i e

n=−∞

+21π eπ −π22 −1 +

∞

1−(−1)n

+(−1)n eπ −1

(−1)nπ +(−1)n eπ −1 n i einx .

2π ∑

n2 +1

n=1

−3

2 1−

(−1)

2 (−1)n e2π −1

n 2π

)

(

)

(−1) e

−1

inx

∑

(

485.

−4

2π n=−∞

(

)

2π

−2ix

2π

−ix

−1+(1+2π −e

)i e

−

(1+e

8π

10π

(

)

e2π

−1

2π

2ix

−

+2e

+(1+e

−1+(e

−1−2π)i e

4π

10π

8π

∞

2 1−(−1)

2 (−1)n e2π −1

n 2π

)

(

)

(−1)

−1

inx

∑

(

e .

−4

2π n=3

2(1−(−1)n e−2π )

((−1)n e−2π −1)n

∞

inx

486.

∑

e .

2π n=−∞

2((−1)

−1)

−1

2π

487.

+ 1−(−1)n +(−1)n e2π −1n i einx +

∑

2π n=−∞

2((−1)

−1)

∞

2π

+ 1−(−1)n +(−1)n e2π

+1 +

(

e2π

−1 +

−1n i einx .

∑

2 4π

)

2π n=1

−1

(−1)n eπ −1

(−1)n −1

1−(−1)n eπ

(−1)n

−1+(−1)nπ

inx

488.

∑

n +

n=−∞

π2

−1+e

π +

2π

∞

(−1)n eπ −1

(−1)n −1

1−(−1)n eπ

(−1)n −1+(−1)nπ

inx

∑

i e .

n=1

+∞

1 sin

cos (1−2x)z dz .

+∞

1 cos z sin xzdz .

489.

∫

490.

∫

sin z −

+∞

sin2z

(2z cos z −sin z)cos xzdz

+∞

sin2 z sin xzdz .

491.

∫

492. −

∫

+∞

1 −sin2z sin xzdz .

+∞

493.

∫

494.

∫

sin2

cos xzdz .

+∞sin2 z

cos xzdz .

2 +∞sinπz

sin xzdz .

495.

∫

496.

−

∫

−1

+∞ cosπ z

+∞ zsin π z −1

497.

−

∫

cos xzdz .

498.

∫

cos xzdz .

−1

+∞

z cos z +sin z

499.

∫

−

sin xzdz .

e(1+z2)

1+z2

+∞

zsin z −cos z

+∞

500.

∫

cos xzdz .

501.

∫

sin xzdz .

e(1+z2)

1+z2

+∞ cos(1−x)z

502.

∫

(z2 −2)sin z +2z cos z dz .

1+ωi

+∞

504.

503.

∫0

sin

4 sin

cos xzdz .

2π(1+ω2)

505.

π 1+ω2 shπ cosπω+ωchπsinπω+(ωshπ cosπω−chπ sinπω)i .

−4ωi

2 sinπω

506.

507.

508. −

1−ω2 i ..

2π(4+ω2)

509.

cosπ2

(1−ωi) .

510.

shπ cosπω+ωchπsinπω

π 1−ω2

1+ω2

511.

2+ω2 −ω3i

2π

4+ω4

(eπ +cosπω)(2 −ω2 )−2ωsinπω+ 2ω(eπ +cosπω)+(2 −ω2 )sinπω i

512.

−

2π

4+ω4

−2ωcosπ ω

513. ( 2 )i .

2π 1−ω2

515.	2−ωi
		.
	2π (4+ω2 )

514. ω sin π2 ω+(1+cos)π2 ω i .

2π 4−ω2

516. 4+ω(ω2 −2)i .

2π (4+ω4 )

		СОДЕРЖАНИЕ
1.	Вычисление суммы ряда по определению. ......................................................		3
2.	Необходимый признак сходимости ряда..........................................................		4
3.	Достаточные признаки сходимости рядов. ......................................................		4
4.	Абсолютная и неабсолютная (условная) сходимость ряда.............................		7
5.	Исследование сходимости ряда. ........................................................................		8
6.	Ряды с комплексными членами. ......................................................................		10
7.	Область сходимости функционального ряда. ................................................		11
8.	Сумма функционального ряда. ........................................................................		12
9.	Равномерная сходимость функционального ряда..........................................		14
10.		Область сходимости степенного ряда...........................................................	16
11.		Почленное дифференцирование и интегрирование рядов. ........................	16
12.		Разложение функции в ряд Маклорена (по определению). ........................	18
13.		Разложение функции в ряд Тейлора с использованием известных рядов.18
14.		Арифметические действия с рядами. ............................................................	20
15.		Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов. ........	21
16.		Приближенные вычисления с использованием рядов. ...............................	23
17.		Ряды Фурье. .....................................................................................................	25
18.		Тригонометрические ряды в комплексной форме.......................................	29
19.		Интеграл Фурье. ..............................................................................................	30
20.		Преобразование Фурье. ..................................................................................	31
Литература.............................................................................................................			33
Ответы. ...................................................................................................................			34

В 2007 году СПбГУ ИТМО стал победителем конкурса инновационных образовательных программ вузов России на 2007–2008 годы. Реализация инновационной образовательной программы «Инновационная система подготовки специалистов нового поколения в области информационных и оптических технологий» позволит выйти на качественно новый уровень подготовки выпускников и удовлетворить возрастающий спрос на специалистов в информационной, оптической и других высокотехнологичных отраслях экономики.

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Кафедра высшей математики – крупнейшая в Санкт-Петербургском государственном университете информационных технологий, механики и оптики. С момента основания на ней работали такие выдающиеся ученые, как И.П.Натансон, В.А.Тартаковский, В.Н.Попов, И.А.Молотков, А.Г.Аленицын, В.В.Жук и другие. Научные интересы сотрудников покрывают практически все разделы математики. На кафедре сложилась мощная научная школа по математическому моделированию сложных физических систем. В последнее время активно развивается направление, связанное с нанофизикой и нанотехнологиями, квантовым компьютером и квантовыми коммуникациями. Сотрудники кафедры активно участвуют в международных научных конференциях, работают в рамках Российских и международных научных проектов. Сложилось тесное научное сотрудничество с Санкт-Петербургским государственным университетом, Петербургским отделением Математического института имени В.А.Стеклова РАН, лабораторией физикохимии наносистем Института химии силикатов РАН и другими научными центрами как в России, так и за рубежом: университетами Марселя и Тулона (Франция), Ювяскиля (Финляндия), Гумбольдтовским университетом Берлина (Германия).

Блинова И.В., Виноградова Т.Н., Кубенский А.А., Панкратова Т.Ф., Петрашень А.Г., Попов И.Ю.

Ряды. Методические указания по решению задач

В авторской редакции
Компьютерный набор и верстка	Попов И.Ю.
Дизайн обложки	Попов И.Ю.

Редакционно-издательский отдел Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики

Зав.РИО	Гусарова Н.Ф.
Лицензия ИД N 00408 от 05.11.99
Подписано к печати 24.12.08.
Заказ 1391
Отпечатано на ризографе
Тираж 100 экз.
	50

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.11.201981 Кб5Рубеж_1.doc
#
20.09.2019295 Кб13рубежка.doc
#
01.07.2025214 Кб0РУКОВОДСТВО по лаб раб №10.docx
#
01.07.2025187 Кб0РУКОВОДСТВО по лаб раб №9.docx
#
14.04.2015219 Кб9Рынок и конкуренция-материалы лекции.pdf
#
14.04.2015822 Кб55Ряды. Методичка.pdf
#
01.07.20251 Мб0С. О. Арабей, И. С. Нилов, Ю.В.Рождественский.docx
#
01.03.20252 Мб4С.А.Курганов, В.В.Филаретов. Схемно-символьный...doc
#
21.03.201623 Кб24с++_лаб_7_интерфейсы.docx
#
14.04.201552 Кб11садуш.docx
#
20.03.2016183 Кб90СанПиН 2.1.3.2630 Ц 10.docx