8.3. Переходные процессы в цепях с двумя реактивными элементами

При последовательном соединении сопротивления R, катушки индуктивности L и конденсатора С образуется электрический R-L-C контур (рис. 8.9). Дифференциальное уравнение для тока в контуре

.

После дифференцирования по t и деления на L получим

. (8.4)

Решение уравнения (8.4) равно сумме принужденной и свободной составляющих. В нашем случае принужденная составляющая переходного тока равна нулю, так как в схеме имеется емкость, являющаяся разрывом цепи для постоянного тока. Рис. 8.9

Свободная составляющая является общим решением уравнения

. (8.5)

Пусть ,,.

После подстановки этих выражений в уравнение (8.5) получим характеристическое уравнение

.

Характеристическое уравнение имеет два корня

,

где - коэффициент затухания;

- угловая резонансная частота контура без потерь.

Получим

.

Вид корней зависит от отношения

,

где - характеристическое или волновое сопротивление контура;

- добротность контура.

Колебательный режим

Наиболее важен часто встречающийся случай, когда корни P_1,2 - комплексные сопряженные с отрицательной вещественной частью, свободная составляющая имеет вид затухающих колебаний. В этом случае

, ,,,

где - угловая частота собственных колебаний в контуре;

- период собственных колебаний.

Ток в цепи

, (8.6)

где А и φ - постоянные интегрирования.

До коммутации ток в индуктивности равен нулю, сразу после коммутации остается равным нулю

.

Чтобы определить две постоянные интегрирования, необходимо иметь два начальных условия и составить два уравнения. Напряжение на индуктивности

. (8.7)

где - напряжение на индуктивности в момент коммутации, является зависимым начальным условием. Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для момента коммутации, чтобы определить зависимое начальное условие.

.

До коммутации конденсатор был не заряжен, поэтому

.

Подставляя в (8.6) и (8.7) t = 0 и используя независимое и зависимое начальные условия, получим систему уравнений

(8.8)

Решив систему (8.8), определим

.

На рис. 8.10 приведена кривая изменения тока в контуре при подключении к нему источника постоянной ЭДС. Из рисунка видно, что колебания в контуре затухают по показательному закону из-за потерь электрической энергии в сопротивлении R. Затухание происходит тем медленнее, чем меньше коэффициент затухания α . Рис. 8.10

Постоянная времени переходного процесса .

При малом коэффициенте затухания величина ω_С незначительно отличается от резонансной частоты ω₀. Относительное затухание колебаний характеризуется декрементом затухания, представляющим отношение мгновенных значений тока через один период.

.

Натуральный логарифм этого оператора носит название логарифмического декремента затухания

.

Для контура с небольшим затуханием, когда

Апериодический режим в R-L-C контуре наблюдается при большом затухании, когда . В этом случае корни P_1,2 вещественные, отрицательные, различные.

Свободный ток определяется по формуле

. (8.9)

Напряжение на индуктивности

. (8.10)

Подставив в уравнение (8.9) и (8.10) t = 0 и используя независимое и зависимое условия, получим систему уравнений

Решив эту систему, определим постоянные интегрирования

.

Выражение для тока в контуре

состоит из положительной, медленно затухающей экспоненты с коэффициентом затухания P₁ и отрицательной, быстро затухающей экспоненты P₂ (рис. 8.11).

Ток получается неколебательным, он не принимает отрицательных значений, то есть не меняет своего направления. На границе между колебательным и апериодическим режимом принаблюдается предельный случай апериодического процесса. Рис. 8.11