Литература / Криптография с открытым ключом (А. Саломаа)

gLAWA 3

r@KZA^NYE SISTEMY

3.1. sTROIM SEKRETNU@ LAZEJKU

kRIPTOSISTEMY S OTKRYTYM KL@^OM, OSNOWANNYE NA ZADA^E O R@KZAKE, UVE KRATKO OBSUVDALISX W PRIMERE 2.1 GL. 2. tAM TAKVE UKAZYWALOSX, ^TO R@KZA^NYE SISTEMY O^ENX UDOBNY DLQ ILL@STRACII OSNOWNYH IDEJ KRIPTOGRAFII S OTKRYTYM KL@^OM. oNI QWLQ@TSQ DOSTATO^NO GIBKIMI I POZWOLQ@T DLQ PREODOLENIQ KRIPTOGRAFI^ESKIH SLABOSTEJ WWODITX NOWYE WARIANTY.

w \TOJ I POSLEDU@]IH GLAWAH MATEMATI^ESKIJ APPARAT BUDET ISPOLXZOWATXSQ W BOLX[EJ STEPENI, ^EM W GL. 1 I 2. wSE NEOBHODIMYE PONQTIQ PRIWEDENY W PRILOVENIQH, HOTQ S OSNOWAMI TEORII MOVNO TAKVE POZNAKOMITXSQ I BEZ POGRUVENIQ W MATEMATI^ESKIE DETALI.

w \TOM PARAGRAFE BOLEE PODROBNO, ^EM W PRIMERE 2.1, PREDSTAWLENA OSNOWNAQ R@KZA^NAQ SISTEMA. kRIPTOANALITI^ESKIJ METOD {A- MIRA OPISYWAETSQ W PARAGRAFE 3.2. w PARAGRAFE 3.3 RAZWIWAETSQ OB]AQ TEORIQ DOSTIVIMOSTI, PRIMENQEMAQ KAK K PROSTYM, TAK I SOSTAWNYM R@KZAKAM. iNTERESNYE WARIANTY R@KZA^NYH SISTEM PREDSTAWLENY W PARAGRAFE 3.4. w ZAKL@^ITELXNOM PARAGRAFE 3.5 RASSMATRIWA@TSQ SISTEMY, OSNOWANNYE NA PLOTNYH R@KZAKAH.

tEPERX MY GOTOWY PEREJTI K OPREDELENIQM. r@KZA^NYJ WEKTOR A = (a1; : : : ; an) | \TO UPORQDO^ENNYJ NABOR IZ n; n ¸ 3, RAZLI^- NYH NATURALXNYH ^ISEL ai. wHODOM ZADA^I O R@KZAKE NAZYWAEM PARU (A; ®), GDE A | R@KZA^NYJ WEKTOR, A ® | NATURALXNOE ^ISLO. rE[E- NIEM DLQ WHODA (A; ®) BUDET TAKOE PODMNOVESTWO IZ A, SUMMA \LEMENTOW KOTOROGO RAWNQETSQ ®. (pOSKOLXKU MY GOWORIM O PODMNOVESTWE, KAVDOE

ai POQWLQETSQ W SUMME SAMOE BOLX[eE ODIN RAZ.) zADA^U O R@KZAKE INOGDA NAZYWA@T TAKVE ZADA^EJ O SUMME RAZMEROW.

w NAIBOLEE IZWESTNOM WARIANTE ZADA^I O R@KZAKE TREBUETSQ WYQSNITX, OBLADAET ILI NET DANNYJ WHOD (A; ®) RE[ENIEM. w WARIANTE, ISPOLXZUEMOM W KRIPTOGRAFII, NUVNO DLQ DANNOGO WHODA (A; ®) POSTROITX RE[ENIE, ZNAQ, ^TO TAKOE RE[ENIE SU]ESTWUET. oBA \TI WARIANTA QWLQ- @TSQ NP -POLNYMI. iME@TSQ TAKVE WARIANTY \TOJ ZADA^I, KOTORYE NE LEVAT DAVE W KLASSE NP .

r@KZA^NYJ WEKTOR A ISPOLXZUETSQ DLQ ZA[IFROWANIQ BLOKA C IZ n DWOI^NYH SIMWOLOW PUTEM SUMMIROWANIQ TEH KOMPONENT A, DLQ KOTORYH W SOOTWETSTWU@]IH POZICIQH C STOIT EDINICA. eSLI \TU SUMMU OBOZNA^ITX ^EREZ ®, TO TOGDA pAS[IFROWANIE RAWNOSILXNO NAHOVDENI@ C PO ® ILI PO A I ®, ESLI MY IMEEM DELO S KRIPTOSISTEMOJ S OTKRYTYM KL@^OM. wTOROJ WARIANT ESTX W TO^NOSTI KRIPTOGRAFI^ESKIJ WARIANT ZADA^I O R@KZAKE.

w \KWIWALENTNOJ FORME, MY MOVEM RASSMATRIWATX C KAK DWOI^NYJ WEKTOR-STOLBEC. tOGDA ® RAWNO PROIZWEDENI@ AC.

dLQ ILL@STRACII POLOVIM n = 6 I A = (3; 41; 5; 1; 21; 10). tOGDA DWOI^NYE BLOKI (1; 1; 0; 0; 1; 0) I (1; 0; 1; 1; 0; 1) [IFRU@TSQ KAK 65 I 19 SOOTWETSTWENNO. dLQ DANNOGO A WSE KRIPTOTEKSTY ESTX ^ISLA · 81 I NE BOLEE ODNOGO ISHODNOGO TEKSTA SOOTWETSTWUET KAVDOMU KRIPTOTEKSTU.

wSLU^AE A = (14; 28; 56; 82; 90; 132; 197; 284; 341; 455) KRIPTOTEKST

®= 55 SOOTWETSTWUET ROWNO TREM ISHODNYM TEKSTAM

(1; 1; 0; 0; 1; 0; 0; 1; 0); (0; 1; 1; 0; 1; 0; 0; 0; 1; 0); (1; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0) :

|TO SRAZU QSNO, ESLI NA^ATX ^ITATX A SPRAWA NALEWO. nAPRIMER, 455 NE MOVET WHODITX W RE[ENIE, TAK KAK NEWOZMOVNO WYRAZITX 60 = 515¡455 W WIDE SUMMY I T.D. aNALOGI^NO RASSUVDAQ, MOVNO POKAZATX, ^TO KRIPTOTEKST ® = 516 NE IMEET SOOTWETSTWU@]EGO ISHODNOGO TEKSTA. w \TOM SLU^AE LEGKO WIDETX, ^TO NE ODNO IZ ^ETYREH POSLEDNIH ^ISEL IZ A NE MOVET WHODITX W SUMMU, TOGDA KAK SUMMA OSTALXNYH ^ISEL SLI[KOM MALA. dLQ ® = 517 EDINSTWENNYM SOOTWETSTWU@]IM ISHODNYM TEKSTOM BUDET (1; 1; 1; 0; 1; 1; 1; 0; 0; 0). pRIMERY TAKOGO RODA ILL@STRIRU@T TOT O^EWIDNYJ FAKT, ^TO KRIPTOANALIZ DLQ NEKOTORYH WHODOW ZADA^I O R@KZAKE MOVET BYTX LEGKIM.

pOSKOLXKU VELATELXNA ODNOZNA^NOSTX pAS[IFROWANIQ, R@KZA^NYE WEKTORY A DOLVNY OBLADATX TAKIM SWOJSTWOM, ^TO I DLQ KAVDOGO ®, WSE WHODY (A; ®) OBLADA@T NE BOLEE ^EM ODNIM RE[ENIEM. tAKIE R@K- ZA^NYE WEKTORY A BUDEM NAZYWATX W DALXNEJ[EM IN_EKTIWNYMI. |TOT TERMIN O^ENX ESTESTWEN, POSKOLXKU IN_EKTIWNOSTX A OZNA^AET, ^TO POROVDENNAQ WEKTOROM A FUNKCIQ, OPREDELQEMAQ W PRIMERE 2.1, QWLQETSQ

IN_EKTIWNOJ. sREDI RASSMOTRENNYH WY[E DWUH WEKTOROW PERWYJ QWLQETSQ IN_EKTIWNYM, W TO WREMQ KAK WTOROJ | NET.

dLQ NEKOTORYH WEKTOROW A WSE WHODY (A; ®) QWLQ@TSQ LEGKORE[AEMYMI. mY UVE WIDELI W PRIMERE 2.1, ^TO SWERHRASTU]IE WEKTORY OBLADA@T \TIM SWOJSTWOM. oPIRAQSX NA TAKIE WEKTORY, MOVNO O^EWIDNYM OBRAZOM POSTROITX DWUSTORONN@@ KRIPTOSISTEMU: OBA I OTPRAWITELX SOOB]ENIQ, I EGO POLU^ATELX ZNA@T WEKTOR A. s DRUGOJ STORONY, ESLI WEKTOR B RASKRYT KAK KL@^ ZA[IFpOWANIQ, TO LEGALXNYJ POLU^ATELX DOLVEN WLADETX NEKOTOROJ SEKRETNOJ INFORMACIEJ DLQ PREOBRAZOWANIQ KAK B, TAK I SAMOGO KRIPTOTEKSTA W LEGKORE[AEMYJ WHOD ZADA^I O R@KZAKE. mY UVE POKAZYWALI W PRIMERE 2.1, KAK \TO MOVET BYTX SDELANO S ISPOLXZOWANIEM SWERHRASTU]IH WEKTOROW. |TA KONSTRUKCIQ BUDET OPISANA SEJ^AS NESKOLXKO BOLEE PODROBNO.

r@KZA^NYJ WEKTOR A = (a1; : : : ; an) NAZYWAEM WOZRASTA@]IM (SOOTWETSTWENNO SWERHRASTU]IM), ESLI I TOLXKO ESLI

WYPOLNQETSQ DLQ WSEH j = 2; : : : ; n. qSNO, ^TO L@BOJ SWERHRASTU]IJ WEKTOR QWLQETSQ WOZRASTA@]IM. dLQ WEKTORA A MY OPREDELIM

max A = max(ajj1 · j · n) :

pUSTX x NEOTRICATELXNOE ^ISLO. oBOZNA^IM ^EREZ [x] CELU@ ^ASTX x, T. E. NAIBOLX[EE CELOE · x.

dLQ CELYH x I m ¸ 2 OBOZNA^AEM ^EREZ (x; modm) NAIMENX[IJ NEOTRICATELXNYJ OSTATOK OT DELENIQ x NA m. lEGKO WIDETX, ^TO

(x; modm) = x ¡ [x=m] ¢ m :

|TO RAWENSTWO BUDET ^ASTO, OSOBENNO W PARAGRAFE 3.3, ZAPISYWATXSQ W WIDE

x = (x; modm) + [x=m] ¢ m :

oPREDELIM TEPERX DWA WARIANTA PONQTIQ MODULXNOGO UMNOVENIQ. rASSMOTRIM R@KZA^NYJ WEKTOR A, CELOE ^ISLO m > max A I NATURALXNOE t < m TAKOE, ^TO NAIBOLX[IJ OB]IJ DELITELX (t; m) = 1. eSLI B = (b1; : : : ; bn) TAKOJ WEKTOR, ^TO

bi = (tai; modm); DLQ i = 1; : : : ; n ;

TO GOWORQT, ^TO WEKTOR B POLU^EN IZ A S POMO]X@ MODULXNOGO UMNOVENIQ OTNOSITELXNO MODULQ m I MNOVITELQ t ILI, KORO^E, OTNOSITELXNO

PARY (m; t). uSLOWIE (t; m) = 1 GARANTIRUET SU]ESTWOWANIE OBRATNOGO ^ISLA t¡1 = u, TAKOGO, ^TO

tu ´ 1 (mod m)

I 1 · u < m. |TO OZNA^AET, ^TO TAKVE I OBRATNO A POLU^AETSQ IZ B MODULXNYM UMNOVENIEM OTNOSITELXNO m I u. (qSNO, ^TO m > max B, TAK KAK KAVDOE bi BERETSQ PO modm.)

eSLI WY[EUKAZANNOE USLOWIE m > max A ZAMENQETSQ BOLEE SILXNYM

TOR A QWLQETSQ SWERHRASTU]IM, A B POLU^AETSQ IZ A SILXNYM MODULXNYM UMNOVENIEM OTNOSITELXNO m I t. wEKTOR B RASKRYWAETSQ KAK KL@^ ZA[IFpOWANIQ I DWOI^NYE BLOKI DLINY n POSYLA@TSQ K PROEKTIROW- ]IKU KAK ^ISLA ¯, POLU^ENNYE S POMO]X@ WEKTORA B, KAK BYLO OPISANO WY[E. pEREHWAT^IK SOOB]ENIJ DOLVEN RE[ATX ZADA^U O R@KZAKE DLQ WHODA (B; ¯). sOZDATELX VE KRIPTOSISTEMY WY^ISLQET ® = (u¯; modm) I RE[AET ZADA^U O R@KZAKE DLQ WHODA (A; ®). pO^EMU WSE \TO RABOTAET, POKAZYWAET SLEDU@]AQ LEMMA.

lEMMA 3.1 pREDPOLOVIM, ^TO A = (a1; : : : ; an) SWERHRASTU]IJ WEKTOR I WEKTOR B POLU^EN IZ A SILXNYM MODULXNYM UMNOVENIEM OTNOSITELXNO m I t. pREDPOLOVIM DALEE, ^TO u ´ t¡1 (mod m), ¯ | PROIZWOLXNOE NATURALXNOE ^ISLO I ® = (u¯;modm). tOGDA SPRAWEDLIWY SLEDU@]IE UTWERVDENIQ. (i) zADA^A O R@KZAKE (A; ®) RAZRE[IMA ZA LINEJNOE WREMQ. eSLI RE[ENIE SU]ESTWUET, TO ONO EDINSTWENNO. (ii) zADA^A O R@KZAKE (B; ¯) IMEET NE BOLEE ODNOGO RE[ENIQ. (iii) eSLI SU]ESTWUET RE[ENIE DLQ WHODA (B; ¯), TO ONO SOWPADAET S EDINSTWENNYM RE[ENIEM DLQ WHODA (A; ®).

dOKAZATELXSTWO. (i) w PRIMERE 2.1 BYLO POKAZANO, ^TO L@BAQ ZADA^A O R@KZAKE SO SWERHRASTU]IM WEKTOROM A MOVET BYTX RAZRE[ENA ZA LINEJNOE WREMQ PUTEM ODNOKRATNOGO S^ITYWANIQ A SPRAWA NALEWO. |TOT METOD POKAZYWAET TAKVE, ^TO W ZADA^E MOVET BYTX SAMOE BOLX[EE ODNO RE[ENIE. (ii) I (iii) pREDPOLOVIM, ^TO DWOI^NYJ WEKTOR D DLINY

nESTX RE[ENIE W ZADA^E (B; ¯), T. E., BD = ¯. sLEDOWATELXNO,

®´ u¯ = uBD ´ u(tA)D ´ AD (mod m) :

AD < m. pOSKOLXKU TAKVE ® < m, PO OPREDELENI@ ® ZAKL@^AEM, ^TO ® = AD. tAKIM OBRAZOM, D SOWPADAET S EDINSTWENNYM RE[ENIEM W ZADA^E (A; ®). |TO POKAZYWAET (iii). pOSKOLXKU MY RASSMATRIWALI PROIZWOLXNOE RE[ENIE W ZADA^E (B; ¯) I POKAZALI, ^TO ONO SOWPADAET S EDINSTWENNYM RE[ENIEM ZADA^I (A; ®), TO MY TAKVE USTANOWILI I (ii).

2

w PRILOVENII LEMMY 3.1 K KRIPTOGRAFII MY ZNAEM, ^TO ZADA^A (B; ¯) ZAWEDOMO IMEET RE[ENIE: ^ISLO ¯ BYLO WY^ISLENO SPOSOBOM, KOTORYJ \TO GARANTIRUET.

pRIMER 3.1. w NA[EM PERWOM PRIMERE WSE E]E MOVNO OBOJTISX KARMANNYM KALXKULQTOROM. pUSTX n = 10 I RASSMOTRIM SWERHRASTU]IJ WEKTOR

A = (103; 107; 211; 430; 863; 1718; 3449; 6907; 13807; 27610) :

wYBEREM MODULX m = 55207, KOTORYJ BOLX[E (NA DWA) SUMMY KOMPONENT A. wYBEREM DALEE MNOVITELX t = 25236. tOGDA (t; m) = 1 I t¡1 = u = 1061. dEJSTWITELXNO,

1061 ¢ 25236 ¡ 1 = 485 ¢ 55207 :

w REZULXTATE SILXNOGO MODULXNOGO UMNOVENIQ TEPERX POLU^AEM WEKTOR

B = (4579; 50316; 24924; 30908; 27110; 17953; 32732; 16553; 22075; 53620) :

nAPRIMER,

25236 ¢ 103 = 4579 + 47 ¢ 55207 I 1061 ¢ 4579 = 103 + 88 ¢ 55207 ;

25236 ¢ 1718 = 17953 + 785 ¢ 55207 I 1061 ¢ 17953 = 1718 + 345 ¢ 55207 ;

25236¢27610 = 53620+12620¢55207 I 1061¢53620 = 27610+1030¢55207 :

wEKTOR B ESTX OTKRYTYJ KL@^ [IFROWANIQ, W TO WREMQ KAK A; t; u; m SOSTAWLQ@T SEKRETNU@ LAZEJKU. kONE^NO, ZNAQ m I t ILI u, MOVNO WY- ^ISLITX OSTALXNYE WELI^INY.

pRIMENIM SEJ^AS OTKRYTYJ KL@^ B I ZA[IFRUEM ISHODNOE SOOB]E-

NIE IN FINLAND CHILDREN USED TO BE BORN IN SAUNA EVEN TODAY INFANT MORTALITY IS IN FINLAND LOWEST IN THE WORLD. wNA^ALE ISPOLXZUEM CIFROWOE KODIROWANIE, PRI KOTOROM PROBEL POLU^AET ZNA^ENIE 0, A BUKWY A{Z | ZNA^ENIQ 1{26. cIFROWYE KODY WYRAVAEM DWOI^NYMI NABORAMI. pOLNYJ SPISOK DWOI^NYH NABOROW UVE

PRIWODILSQ W PRIMERE 2.1. pOSKOLXKU WEKTOR B MOVET BYTX ISPOLXZOWAN PRI ZA[IFROWANII DWOI^NYH BLOKOW DLINY 10, NA[ ISHODNYJ TEKST SLEDUET RAZBITX NA BLOKI, SOSTOQ]IE IZ DWUH BUKW. w NIVESLEDU@]EJ TABLICE PRIWODITSQ WNA^ALE BLOK ISHODNOGO TEKSTA, ZATEM DWOI^NYJ KOD I, NAKONEC, [IFR BLOKA W WIDE DESQTERI^NOGO ^ISLA. kRIPTOTEKST SOSTOIT IZ 53 TAKIM OBRAZOM POLU^ENNYH ^ISEL, ZAPISANNYH ODNO ZA DRUGIM TAK, ^TOBY OTDELXNYE ^ISLA MOVNO BYLO BY RAZLI^ITX.

N01110 00000 106148

dE[IFRUEM PERWOE ^ISLO 148786. oTMETIM SNA^ALA, ^TO

1061 ¢ 148786 = 2859 ¢ 55207 + 25133 :

rASSMOTRIM ZADA^U O R@KZAKE (A; 25133). rE[ENIE POLU^AETSQ PROSMOTROM A SPRAWA NALEWO. kAK TOLXKO ^ISLO W LEWOM STOLBCE STANOWITSQ NE MENX[E TEKU]EJ PROSMATRIWAEMOJ KOMPONENTY A, ZAPISYWAEM EDINICU, I NOWOE ^ISLO W LEWOM STOLBCE POLU^AETSQ WY^ITANIEM KOMPONENTY IZ PREDYDU]EGO ^ISLA. w PROTIWNOM SLU^AE ZAPISYWAEM SIMWOL 0 I ^I- SLO SLEWA NE MENQETSQ. rEZULXTAT \TIH DEJSTWIJ MOVET BYTX ZAPISAN SLEDU@]IM OBRAZOM:

~ISLO kOMPONENTA A sIMWOL

iSHODNYJ DWOI^NYJ WEKTOR, IZ KOTOROGO POLU^AETSQ BLOK IN, S^ITYWAETSQ IZ PRAWOJ KOLONKI SNIZU WWERH. pRI DE[IFROWKE WTOROGO ^ISLA 38628 WNA^ALE POLU^AEM 20714, S KOTORYM POSTUPAEM ANALOGI^NO, I T.D.

zDESX NEOBHODIMO SDELATX ODNO ZAME^ANIE. pREDPOLOVIM, ^TO MY PYTAEMSQ DEJSTWOWATX W OBRATNOM PORQDKE. rASSMOTRIM, NAPRIMER, BLOK OR, WSTRE^A@]IJSQ TRI RAZA. {IFRUQ EGO S POMO]X@ WEKTORA A, POLU^IM 7665. nO QSNO, ^TO PARA (B; 7665) NE OBLADAET RE[ENIEM. pROSTOE OB_QSNENIE \TOMU SOSTOIT W TOM, ^TO MY NE MOVEM WYWESTI OBY^NOE RAWENSTWO ^ISEL IZ IH RAWENSTWA PO MODUL@ (KAK \TO BYLO SDELANO W DOKAZATELXSTWE LEMMY 3.1), POTOMU ^TO m MENX[E, ^EM SUMMA KOMPONENT WEKTORA B. dEJSTWITELXNO,

7665 ´ 173286 (mod 55207) ;

I NAM SLEDOWALO BY OPERIROWATX S ^ISLOM 173286.

nA[ WTOROJ PpIMEp UVE ^ERES^UR GROMOZDOK DLQ KARMANNOGO KALXKULQTORA, NO TEM NE MENEE SLI[KOM MAL DLQ REALXNOGO ZA[IFROWANIQ. rEALXNYE VE PRIMERY, WESXMA WEROQTNO, OKAVUTSQ SOWSEM SLOVNYMI DLQ WOSPpIQTIQ. pRIWODIMYE NIVE WY^ISLENIQ, TAK VE KAK I POSLEDNQQ ILL@STRACIQ W PRIMERE 4.1, WYPOLNENY kIMMO kARI.

pOLOVIM n = 20. wYBEREM MODULX I SOMNOVITELX

m = 53939986 I t = 54377 ;

DLQ KOTORYH t¡1 = u = 17521047. oPREDELIM SWERHRASTU]IJ WEKTOR A:

sILXNOE MODULXNOE UMNOVENIE DAET SLEDU@]IJ OTKRYTYJ WEKTOR B:

zA[IFRUEM SLEDU@]IJ TEKST O SAUNE: IF YOUR FEET CARRY YOU TO SAUNA THEY SURELY CARRY YOU BACK HONE IF SAUNA ALCOHOL AND TAR DO NOT CURE YOUR DISEASE IT MUST BE FATAL. kAK I RANEE, PROBEL KODIRUETSQ 0, A BUKWY A{Z | ^ISLAMI 1{26. pQTX BITOW TREBUETSQ DLQ DWOI^NOJ ZAPISI KAVDOGO ^ISLA. pOSKOLXKU n = 20, ^ETYRE BUKWY TEKSTA ZA[IFROWYWA@TSQ ODNOWREMENNO. kODIROWANIE BLOKOW PO 20 BITOW WYGLQDIT SLEDU@]IM OBRAZOM:

IF Y 01001 00110 00000 11001

OUR 01111 10101 10010 00000

FEET 00110 00101 00101 10100

CAR 00000 00011 00001 10010

RY Y 10010 11001 00000 11001

OU T 01111 10101 00000 10100

O SA 01111 00000 10011 00001

UNA 10101 01110 00001 00000

THEY 10100 01000 00101 11001

SUR 00000 10011 10101 10010

ELY 00101 01100 11001 00000

CARR 00011 00001 10010 10010

Y YO 11001 00000 11001 01111

U BA 10101 00000 00010 00001

CK H 00011 01011 00000 01000

OME 01111 01101 00101 00000

IF S 01001 00110 00000 10011

AUNA 00001 10101 01110 00001

ALC 00000 00001 01100 00011

OHOL 01111 01000 01111 01100

AND 00000 00001 01110 00100

TAR 00000 10100 00001 10010

DO 00000 00100 01111 00000

NOT 01110 01111 10100 00000

CURE 00011 10101 10010 00101

YOU 00000 11001 01111 10101

R DI 10010 00000 00100 01001

SEAS 10011 00101 00001 10011

E IT 00101 00000 01001 10100

MUS 00000 01101 10101 10011

T BE 10100 00000 00010 00101

FAT 00000 00110 00001 10100

AL 00001 01100 00000 00000

kRIPTOTEKST SOSTOIT TEPERX IZ SLEDU@]IH ^ISEL (SM. ZAME^ANIE K [I- FROWKE W KONCE \TOGO PRIMERA):

1 3 4 4 5 2 7 0 1

1 7 4 6 8 6 9 5 6

1 9 0 6 2 3 6 8 3

1 0 2 5 4 8 4 4 0

2 1 4 2 7 5 7 1 2

1 8 3 7 6 4 3 5 0

1 5 3 5 9 4 3 6 3

1 6 1 8 5 0 6 7 2

2 2 0 5 2 9 3 7 5

2 0 1 1 5 4 1 1 5

1 6 8 4 0 6 1 7 6

1 4 8 1 9 3 3 3 7

1 8 0 3 3 4 2 1 6

7 1 4 1 1 3 8 0

1 2 8 8 0 2 9 6 0

2 0 7 5 6 1 9 6 7

1 1 7 5 9 5 8 3 1

1 4 9 2 7 3 9 8 7

6 5 8 3 1 2 7 2

2 4 5 5 6 3 3 8 1

8 3 1 8 3 5 2 9

1 4 2 5 7 7 6 6 7

1 2 4 1 7 7 2 0 5

1 9 7 5 7 7 6 0 1

1 7 1 2 4 8 3 6 0

2 4 7 8 8 1 1 9 5

1 1 9 5 2 3 7 1 4