Литература / Криптография с открытым ключом (А. Саломаа)

sLEDU@]IE RAWENSTWA NEMEDLENNO POLU^A@TSQ IZ TABLICY LOGARIFMOW

®31 = ®5 + ®2 + 1; ®6 + ®31 ¡ ® ¡ 1 == ®6 + ®5 + ®2 + ® = ®(® + 1)5 ;

IZ KOTORYH IZWLEKAETSQ ISHODNYJ TEKST (1; 5). aNALOGI^NO, ISHODNYJ TEKST (6; 0) [IFRUETSQ KAK 51. uDALQQ [UM, ZAKONNYJ POLU^ATELX POLU^AET ^ISLO 6. |TO DAET MNOGO^LEN ®6, SOOTWETSTWU@]IJ ISHODNOMU TEKSTU (6; 0). ~ITATELX MOVET WZQTX I DRUGIE PRIMERY, A TAKVE RASSMOTRETX MODIFIKACII S DRUGIMI ZNA^ENIQMI p (NAPRIMER, p = 8, h = 2) I PRIMENITX NEKOTORU@ PERESTANOWKU ¼.

2

gLAWA 4

kRIPTOSISTEMA RSA

4.1. lEGALXNYJ MIR

nAIBOLEE [IROKO ISPOLXZUEMOJ I PROWERENNOJ KRIPTOSISTEMOJ S OTKRYTYM KL@^OM, KOTORAQ BYLA PRIDUMANA rIWESTOM, {AMIROM I |D- LEMANOM (Rivest, Shamir, Adleman), QWLQETSQ SISTEMA RSA. oNA OSNOWANA NA UDIWITELXNO PROSTOJ TEORETIKO-^ISLOWOJ (MOVNO SKAZATX, DAVE ARIFMETI^ESKOJ) IDEE I E]E W SOSTOQNII SOPROTIWLQTXSQ WSEM KRIPTOANALITI^ESKIM ATAKAM. iDEQ SOSTOIT W ISKUSNOM ISPOLXZOWANII TOGO FAKTA, ^TO LEGKO PEpEMNOVITX DWA BOLX[IH PROSTYH ^ISLA, ODNAKO KRAJNE TRUDNO RAZLOVITX NA MNOVITELI IH PpOIZWEDENIE. tAKIM OBRAZOM, PROIZWEDENIE MOVET BYTX OTKpYTO I ISPOLXZOWANO W KA^ESTWE KL@^A ZA[IFROWANIQ. iSHODNYE PROSTYE ^ISLA NE MOGUT BYTX WOSSTANOWLENY IZ IH PROIZWEDENIQ. s DRUGOJ STORONY, \TI PROSTYE ^ISLA NEOBHODIMY PRI pAS[IFROWANII. sLEDOWATELXNO, MY IMEEM PREKRASNYJ KARKAS DLQ KRIPTOSISTEMY S OTKRYTYM KL@^OM. bOLEE TOGO, DETALI \TOJ SISTEMY MOGUT BYTX OB_QSNENY O^ENX BYSTRO, WOT PO^EMU MY NAZYWAEM SISTEMU \IZUMITELXNO PROSTOJ".

|TOT PARAGRAF SWQZAN S RSA S POZICII LEGALXNYH POLXZOWATELEJ. mY OBSUDIM pAZpABOTKU SISTEMY, ZA[IFROWANIE I pAS[IFROWANIE. tAKVE BUDUT PREDSTAWLENY OBA ASPEKTA UPOTREBLENIQ | SEKRETNOSTX I IDENTIFIKACIQ. w PARAGRAFE 4.2 GOWORITSQ O NEKOTORYH PROSTYH FAKTAH I MERAH PREDOSTOROVNOSTI PRI pAZpABOTKE SISTEMY. w SLEDU@]IH DWUH PARAGRAFAH POKAZANA WZAIMOSWQZX RSA S ZADA^EJ FAKTORIZACII. k PRIMERU, W PARAGRAFE 4.3 PREDSTAWLENY TESTY PROWERKI ^ISEL NA PROSTOTU. w PARAGRAFE 4.4 OBSUVDAETSQ KRIPTOANALIZ BEZ FAKTORIZACII, T.E. WSKRYTIE RSA S POMO]X@ NEKOTOROJ INFORMACII, OTLI^NOJ

OT PROSTYH ^ISEL p I q. w PARAGRAFE 4.5 PRIWODITSQ ROLX ^ASTI^NOJ INFORMACII: ESLI MY W SOSTOQNII NAJTI OPREDELENNYE FAKTY OB ISHODNOM TEKSTE, MY W SOSTOQNII WSKRYTX WS@ SISTEMU. |TO OZNA^AET, ^TO RSA NADEVNA TAK VE, KAK I OTDELXNYE EE ^ASTI. w \TOM SMYSLE PARAGRAFY 4.2 { 4.5 FOKUSIRU@T WNIMANIE NA WZAIMODEJSTWII LEGALXNOGO I NELEGALXNOGO MIROW, T.E. MEVDU pAZpABOT^IKOM SISTEMY I KRIPTOANALITIKOM. pOSLEDNIJ PARAGRAF 4.6 ZNAKOMIT S NEKOTORYMI SISTEMAMI, SWQZANNYMI S RSA; \TO PREDSTAWLENIE BUDET PRODOLVENO DALEE W GL. 5.

oTMETIM, ^TO NE SU]ESTWUET FORMALXNOGO DOKAZATELXSTWA L@BOGO IZ FAKTOW: (1) FAKTORIZACIQ TRUDNOWY^ISLIMA ILI TRUDNOWY^ISLIMA W SPECIALXNOM SMYSLE, ISPOLXZUEMOM W RSA, I (2) FAKTORIZACIQ NEOBHODIMA DLQ KRIPTOANALIZA RSA, T.E. NE SU]ESTWUET KRIPTOANALITI^ESKIH METODOW, NE ISPOLXZU@]IH FAKTORIZACI@. iMEETSQ MNOVESTWO \MPIRI- ^ESKIH PODTWERVDENIJ DLQ OBOIH PUNKTOW (1) I (2).

tEPERX RASSMOTRIM ALGORITM RSA BOLEE PODROBNO. pUSTX p I q | DWA RAZLI^NYH BOLX[IH SLU^AJNO WYBRANNYH PROSTYH ^ISLA (IME@]IH OBY^NO 100 RAZRQDOW W IH DESQTI^NOM PREDSTAWLENII). oBOZNA^IM

n = pq I '(n) = (p ¡ 1)(q ¡ 1) :

(zDESX ' | FUNKCIQ |JLERA, KOTORAQ WSTRE^ALASX RANEE W PARAGRAFE 3.5.) sLU^AJNO WYBEREM BOLX[OE ^ISLO d > 1, TAKOE, ^TO (d; '(n)) = 1, I WY^ISLIM e, 1 < e < '(n), UDOWLETWORQ@]EE SRAWNENI@

ed ´ 1 (mod '(n)) :

~ISLA n, e I d NAZYWA@TSQ MODULEM, \KSPONENTOJ ZA[IFROWANIQ I pAS-

[IFROWANIQ SOOTWETSTWENNO. ~ISLA n I e OBRAZU@T OTKRYTYJ KL@^ ZA[IFROWANIQ, TOGDA KAK OSTAW[IESQ ^ISLA p, q, '(n) I d FORMIRU@T SEKRETNU@ LAZEJKU. o^EWIDNO, ^TO SEKRETNAQ LAZEJKA WKL@^AET W SEBQ WZAIMOZAWISIMYE WELI^INY. k PRIMERU, ZNAQ p, NETRUDNO WY^ISLITX OSTAW[IESQ TRI WELI^INY.

pRI ZA[IFROWANII ISHODNYJ TEKST WOZWODITSQ W STEPENX e PO MODUL@ n. pRI pAS[IFROWANII KRIPTOTEKST WOZWODITSQ W STEPENX d PO MODUL@ n.

bOLEE DETALXNO: POTREBUEM, ^TOBY ISHODNYJ TEKST KODIROWALSQ DESQTI^NYM ^ISLOM (ANALOGI^NO MOVNO ISPOLXZOWATX I DWOI^NOE PREDSTAWLENIE). dANNOE ^ISLO ZATEM DELITSQ NA BLOKI PODHODQ]EGO RAZMERA. bLOKI [IFRU@TSQ OTDELXNO. iH PODHODQ]IJ RAZMER OPREDELQETSQ KAK EDINSTWENNOE CELOE ^ISLO i, UDOWLETWORQ@]EE NERAWENSTWAM 10i¡1 < n < 10i. w NEKOTORYH SLU^AQH W KA^ESTWE RAZMERA BLOKOW MOVNO WYBRATX ^ISLO i¡1, ODNAKO, ESLI WAVNA ODNOZNA^NOSTX pAS[IFpOWANIQ, NUVNO BYTX UWERENNYM W TOM, ^TO KAVDOMU BLOKU SOOTWETSTWUET ^ISLO,

MENX[EE n. HAPpIMEp, W PRIWODIMOJ NIVE ZADA^E 4.1 n = 2773, OTKUDA SLEDUET, ^TO RAZMER BLOKA RAWEN 4. ~ISLA 1000 + 2773j [IFRU@TSQ ODINAKOWO DLQ j = 0; 1; 2; 3. oDNAKO W ISHODNOM TEKSTE IZ PRIMERA 4.1 DLQ j WOZMOVNO TOLXKO NULEWOE ZNA^ENIE.

eSLI w QWLQETSQ BLOKOM ISHODNOGO TEKSTA, A c | SOOTWETSTWU@]IM BLOKOM KRIPTOTEKSTA, TO ZA[IFROWANIE MOVET BYTX OPISANO W TERMINAH SLEDU@]EGO SRAWNENIQ:

c = (we; mod n) :

tEPERX POKAVEM KORREKTNOSTX pAS[IFROWANIQ.

lEMMA 4.1 dLQ w I c, OPREDELENNYH WY[E,

sLEDOWATELXNO, ESLI pAS[IFpOWANIE ODNOZNA^NO, TO w = (cd; mod n).

dOKAZATELXSTWO. w SILU WYBORA d SU]ESTWUET POLOVITELXNOE CELOE ^ISLO j, TAKOE, ^TO ed = j'(n) + 1. pOTREBUEM SNA^ALA, ^TOBY NI p, NI q NE DELILI w. pO TEOREME |JLERA (SM. PRILOVENIE b) w'(n) ´ 1 (mod n), OTKUDA w ´ 1 (mod n). sLEDOWATELXNO,

cd ´ (we)d ´ w (mod n) :

eSLI W TO^NOSTI ODNO IZ p I q, SKAVEM p, DELIT w, TO wq¡1 ´ 1 (mod q). pO\TOMU

w'(n) ´ 1 (mod q); wj'(n) ´ 1 (mod q); wed ´ w (mod q) :

tAK KAK POSLEDNEE SRAWNENIE WERNO I PO MODUL@ p, POLU^AEM (*). eSLI I p, I q DELQT w, IMEEM wed ´ w (mod n), OTKUDA, KAK I RANEE, SLEDUET

(*).

2

rASSMOTRIM WNOWX n = 2773. eSLI MY WYBIRAEM RAZMER BLOKA 4, MOVET SLU^ITXSQ TAK, ^TO pAS[IFROWANIE PRIWEDET OBRATNO NE K ORIGINALXNOMU ISHODNOMU TEKSTU w, K PRIMERU, KOGDA w = 3773.

tEPERX OBSUDIM pAZpABOTKU KRIPTOSISTEMY, A IMENNO KAK GENERIRU@TSQ RAZLI^NYE EE ^ASTI. w CELOM, KOGDA MY GOWORIM, ^TO WZQTO SLU^AJNOE ^ISLO ILI VE MY WYBIRAEM ^TO-NIBUDX SLU^AJNO, TO MY ISPOLXZUEM GENERATOR SLU^AJNYH ^ISEL, NAPRIMER KOMPX@TERNU@ PROGRAMMU, GENERIRU@]U@ TAKU@ POSLEDOWATELXNOSTX pAZpQDOW, ^TOBY U

NEE BYLO KAK MOVNO BOLX[E STATISTI^ESKIH SWOJSTW SLU^AJNOJ POSLEDOWATELXNOSTI. mY NE OBSUVDAEM ZDESX DETALI GENERATOROW SLU^AJNYH ^ISEL. dLQ OPpEDELENIQ DWUH OGROMNYH SLU^AJNYH PROSTYH ^ISEL p I q PpOIZWOLXNO WYBIRAETSQ NE^ETNOE CELOE ^ISLO r PODHODQ]EGO RAZMERA (SKAVEM, 100 RAZRQDOW) I PROWERQETSQ NA PROSTOTU. tESTY DLQ PROWERKI ^ISEL NA PROSTOTU OPISYWA@TSQ W PARAGRAFE 4.3. w SLU^AE OTRICATELXNOGO OTWETA PROWERQETSQ r + 2 I T. D. pO TEOREME O PROSTYH ^ISLAH SU]ESTWUET PRIMERNO

10100 1099

ln 10100 ¡ ln 1099

100-RAZRQDNYH PROSTYH ^ISEL. (zDESX ln OZNA^AET NATURALXNYJ LOGARIFM.) eSLI \TO ^ISLO SRAWNITX S ^ISLOM (10100 ¡ 1099)=2 WSEH 100RAZRQDNYH NE^ETNYH ^ISEL, WIDNO, ^TO WEROQTNOSTX USPEHA DLQ KONKpETNOGO TESTA PRIBLIZITELXNO RAWNA 0.00868.

pOSLE TOGO KAK p I q WYBRANY, KANDIDATY DLQ d PROWERQ@TSQ S POMO- ]X@ ALGORITMA eWKLIDA. kOGDA d UDOWLETWORQET USLOWI@ (d; '(n)) = 1, CEPO^KA RAWENSTW, POLU^AEMYH IZ ALGORITMA eWKLIDA, DAET TUT VE I e. oPERACIEJ, NEOBHODIMOJ PRI ZA[IFROWANII I pAS[IFROWANII,

QWLQETSQ MODULXNOE WOZWEDENIE W STEPENX, T. E. WY^ISLENIE (ar; mod n). |TO MOVNO SDELATX NAMNOGO BYSTREE, ^EM PpI POMO]I POWTOpQ@]E- GOSQ UMNOVENIQ a NA SEBQ. ppEDSTAWLQEMYJ NAMI METOD NAZYWAETSQ ME-

TODOM POSLEDOWATELXNOGO WOZWEDENIQ W KWADRAT. pOSLE KAVDOGO WOZ-

WEDENIQ W KWADRAT REZULXTAT SWODITSQ PO MODUL@ n. pRI \TOM NIKOGDA NE WOZNIKA@T ^ISLA BOLX[IE n2.

pOQSNIM \TO BOLEE PODpOBNO. rASSMOTRIM DWOI^NOE PREDSTAWLENIE r

Xk

TOGDA (ar; mod n) MOVET BYTX WY^ISLENO S POMO]X@ NE BOLEE k¡1 PROIZWEDENIJ I SWEDENIEM KAVDOGO PROIZWEDENIQ PO MODUL@ n. tAKIM OBRAZOM, DOSTATO^NO WY^ISLITX ^ISLA (*), KOTORYE TREBU@T k MODULXNYH WOZWEDENIQ W KWADRAT I DOPOLNITELXNO NE BOLEE k ¡1 MODULXNYH PROIZWEDENIJ. |TO OZNA^AET, ^TO WY^ISLQETSQ NE BOLEE 2k ¡ 1 PROIZWEDENIJ S OBOIMI MNOVITELQMI, MENX[IMI ^EM n, I SWEDENIEM PROIZWEDENIJ PO MODUL@ n. eSLI r QWLQETSQ BOLX[IM I IZWESTNO '(n), TO r MOVET BYTX WNA^ALE WZQTO PO MODUL@ '(n).

k PRIMERU, WY^ISLQQ (783; mod 61), ZAME^AEM, ^TO 760 ´ 1 (mod 61). sLEDOWATELXNO, MY MOVEM WY^ISLITX (723; mod 61).

s POMO]X@ WOZWEDENIQ W KWADRAT MY POLU^AEM STEPENI SEMERKI, GDE POKAZATELX W SWO@ O^EpEDX QWLQETSQ STEPENX@ DWOJKI:

tAK KAK 23 = 10111, MY POLU^AEM VELAEMYJ REZULXTAT SLEDU@]IM OBRAZOM:

(723; mod 61) = (16 (22 (49 ¢ 7)); mod 61) = 17 :

iNOGDA MOVNO NAJTI REZULXTAT NAMNOGO BYSTREE. |TO IMEET SU]E- STWENNOE ZNA^ENIE PRI MALOJ MO]NOSTI WY^ISLITELXNYH SREDSTW. k PRIMERU, PRI WY^ISLENII (191239; mod 323) WNA^ALE OTME^AEM, ^TO

1914 ´ 1 (mod 323); PO\TOMU 191236 ´ 1 (mod 323) :

tAK KAK (1913; mod 323) = 115, OTWET NA PERWONA^ALXNYJ WOPROS TAKVE BUDET 115.

mY UVE RASSMOTRELI MODULX n = 2773 I E]E WERNEMSQ K NEMU W PRIMERE 4.1. wY^ISLQQ (192017; mod2773), RASSMOTRIM SNA^ALA STEPENI DWOJKI KAK POKAZATELI STEPENI:

mY ZAKL@^AEM, ^TO

(192017; mod 2773) = (1920 ¢ 820; mod 2773) = 2109 :

tAK KAK 17¡1 = 157 (mod 2668), MY MOVEM PROWERITX REZULXTAT, ANALOGI^NO WY^ISLQQ

(2109157; mod 2773) = 1920 :

zAMETIM, ^TO 2773 = 47 ¢ 59 I '(2773) = 2668.

pOSLE TOGO KAK MY PREDSTAWIM W PARAGRAFE 4.3 BYSTRYE STOHASTI- ^ESKIE ALGORITMY DLQ PROWERKI ^ISEL NA PpOSTOTU, MY SMOVEM SDELATX WYWOD, ^TO WSE WY^ISLENIQ, KOTORYE NEOBHODIMY PRI SOZDANII KRIPTOSISTEMY, KAK PRI ZA[IFROWANII I LEGALXNOM pAS[IFROWANII, MOGUT BYTX POLU^ENY ZA NIZKOPOLINOMIALXNOE WREMQ. dOPOLNITELXNO OTMETIM, ^TO LEGALXNYE OPERACII W DES PRIBLIZITELXNO W 1000 RAZ BYSTREE, ^EM W RSA.

pRIMER 4.1. rASSMOTRIM TRI ILL@STRACII S RASTU]IMI MODULQMI. wSE ONI BUDUT ^ITAEMYMI, HOTQ DAVE NAIBOLX[IJ IZ NIH NEREALISTI- ^EN S TO^KI ZpENIQ PpAKTI^ESKOJ BEZOPASNOSTI.

sNA^ALA WOZXMEM p = 5, q = 11, n = 55, '(n) = 40, e = 7, d = 23. pUSTX TEPERX ISHODNYE SOOB]ENIQ QWLQ@TSQ CELYMI ^ISLAMI OTREZKA [1; 54]. bOLEE TOGO, MY HOTIM ISKL@^ITX ^ISLA, DLQ KOTORYH NAIBOLX- [IJ OB]IJ DELITELX S 55 PREWY[AET 1, T.E. ^ISLA, DELQ]IESQ NA 5 ILI 11. w OB]EM SLU^AE, ESLI (w; n) > 1 DLQ NEKOTOROGO ISHODNOGO TEKSTA w, TO MOVNO RAZLOVITX n NA MNOVITELI PUTEM WY^ISLENIQ NAIBOLX[EGO OB]EGO DELITELQ n I ZA[IFROWANNOJ WERSII w. kONE^NO, W \TOM PRIMERE MY MOVEM FAKTORIZOWATX n L@BYM OBRAZOM. w CELOM WEROQTNOSTX TOGO, ^TO ISHODNYJ TEKST IMEET OB]IJ NETRIWIALXNYJ MNOVITELX S n, MENX[E ^EM 1=p + 1=q. pO\TOMU PRI BOLX[IH p I q \TA WEROQTNOSTX NI^TOVNA.

w PRIMERE LEGKO DAVE WRU^NU@ ZAPISATX POLNU@ TABLICU ZA[IFROWANIQ.

iSHODNYJ TEKST kRIPTOTEKST iSHODNYJ TEKST kRIPTOTEKST

|TA TABLICA MOVET BYTX PREOBRAZOWANA K POLNOJ TABLICE pAS[I- FROWANIQ.

sLEDU@]IJ WAVNYJ FAKT NAGLQDNO PRODEMONSTRIROWAN NA \TOM PRIMERE. kRIPTOGRAFIQ S OTKRYTYM KL@^OM NIKOGDA NE RABOTAET S MALENXKIMI PROSTRANSTWAMI ISHODNYH SOOB]ENIJ. kRIPTOANALITIK MOVET POSTpOITX UVE NA PREDWARITELXNOJ STADII POLNU@ TABLICU ZA[I- FROWANIQ PROSTYM ZA[IFROWANIEM WSEWOZMOVNYH ISHODNYH SOOB]ENIJ I PEREUPORQDO^ITX REZULXTIRU@]IE KRIPTOTEKSTY W PODHODQ]EM ALFAWITNOM PORQDKE.

w KA^ESTWE WTOROJ ILL@STRACII RASSMOTRIM p = 47, q = 59, n = 2773, '(n) = 2668, e = 17, d = 157. tEPERX ISHODNYJ TEKST, ZA-

KODIROWANNYJ KAK POSLEDOWATELXNOSTX DESQTI^NYH RAZRQDOW, DELITSQ NA BLOKI IZ ^ETYREH RAZRQDOW. kAK MY GOWORILI WY[E, \TO MOVET PRIWESTI K NEODNOZNA^NOSTI W PROCESSE pAS[IFROWANIQ. oDNAKO NEOPREDELENNOSTI NE BUDET, ESLI ORIGINALXNYJ ISHODNYJ TEKST ZAPISAN S ISPOLXZOWANIEM 26 BUKW ANGLIJSKOGO ALFAWITA, W \TOM SLU^AE NAIBOLX[EE ^ETYREHRAZRQDNOE ^ISLO RAWNO 2626.

tEPERX MY, ZAPISYWAQ ISHODNOE SOOB]ENIE DLQ POWY[ENIQ BEZOPASNOSTI NA FINSKOM QZYKE, ZA[IFRUEM TEKST SAUNOIN TAAS (I took a sauna bath again). ~ISLOWYE KODY PAR S PROBELOM, ZAKODIROWANNYM 00, DA@T SLEDU@]U@ TABLICU:

mODULXNOE WOZWEDENIE W STEPENX, NEOBHODIMOE DLQ ZA[IFROWANIQ, OSU]ESTWLQETSQ PUTEM POSLEDOWATELXNOGO MODULXNOGO WOZWEDENIQ W KWADRAT, KAK WIDNO IZ SLEDU@]EJ TABLICY:

rEZULXTAT MOVET BYTX PROWEREN WOZWEDENIEM KRIPTOTEKSTA c W STEPENX 157. k PRIMERU, ESLI c = 1644, MY POLU^AEM

w KA^ESTWE NA[EJ POSLEDNEJ ILL@STRACII RASSMOTRIM POSLEDOWATELXNOSTX ^ISEL:

p = 3336670033 ; q = 9876543211 ;

n = 32954765761773295963 ; '(n) = 32954765748560082720 ;

e = 1031 ;

d = 31963885304131991 :

bLOKI ISHODNOGO TEKSTA BUDUT TEPERX SOSTOQTX IZ 20 RAZRQDOW. nEOPREDELENNOSTI NE BUDET, ESLI BLOKI ISHODNOGO TEKSTA POLU^A@TSQ IZ ANGLIJSKOGO TEKSTA ^ISLOWYM KODIROWANIEM, OTKUDA SLEDUET, ^TO WSE BLOKI NA^INA@TSQ S 0, 1 ILI 2.

pUSTX [IFRUETSQ SLEDU@]EE ISHODNOE SOOB]ENIE: \Sauna stoves are either preheated or continuously heated. Preheated means that the stove is not heated during the actual bathing. A smoke sauna is a special type of a preheated sauna. There is no chimney but smoke goes out through holes in the walls and roof".

w ZA[IFROWANII NA SLEDU@]EJ STRANICE OPU]ENY WSE ZNAKI PpEPINANIQ I NET OTLI^IQ MEVDU STRO^NYMI I PROPISNYMI BUKWAMI. mY UKAZYWAEM DELENIE NA BLOKI I ^ISLOWYE KODY W OBY^NOM SMYSLE.

2