2. Основные идеи дисперсионного анализа

1. Если в исследовании участвует несколько групп, то можно выделить два источника дисперсии (вариации данных) - межгрупповую и внутригрупповую. Межгрупповая дисперсия отражает величину разницы между средними значениями групп. Чем больше разница между средними, тем больше межгрупповая дисперсия. Внутригрупповая дисперсия отражает разброс измерений внутри групп. Ее часто называют «случайной величиной», «остаточной величиной» или дисперсией ошибки.

2. Нуль-гипотезой в данном случае является утверждение о равенстве всех средних значений

3. Альтернативная гипотеза

4. Значение критерия F является отношением оценки межгрупповой дисперсии и оценки внутригрупповой дисперсии. Оценки внутригрупповой и межгрупповой дисперсии известны как средние коэффициенты.

5. В случае двух групп оценки вероятностей идентичны оценкам критерия Стьюдента (когда k=2, t = 4f ).

3. Ограничения и предположения дисперсионного анализа

Как и в случае критерия Стьюдента, дисперсии в сравниваемых группах должны быть приблизительно равны, выборки должны быть случайны и независимы. Зависимая переменная должна быть, по крайней мере, интервальной и нормально распределена в каждой группе. Выполнение допущения о независимости выборок является обязательным в любом случае. Последствия нарушений остальных двух допущений требуют специального рассмотрения.

Многочисленные исследования показали, что дисперсионный анализ очень устойчив к нарушению предположения о нормальности распределения, поэтому перед его проведением нет особой необходимости в проверке соответствия выборочных распределений нормальному закону. Нарушение предположения о равенстве дисперсий имеет существенное значение в том случае, если сравниваемые выборки отличаются по численности.

3. Однофакторный дисперсионный анализ

Дисперсионный анализ (ДА) - это процедура, которая позволяет сравнивать средние значения нескольких групп, предоставляя единственное решение на определенном уровне статистической значимости. Дисперсионный анализ позволяет ответить на вопрос: «Значимо ли различаются средние значения зависимой переменной при разных уровнях независимой переменной?»

Существует несколько вариантов процедур для дисперсионного (факторного) анализа и различные модификации ANOVA(MANOVAи т.п.). Требуемый вариант выбирается с учетом числа факторов и имеющихся выборок из генеральной совокупности.

Однофакторный дисперсионный анализ. Однофакторный дисперсионный анализ используется для проверки гипотезы о равенстве средних значений двух или более генеральных совокупностей, называемых в дисперсионном анализе группами.

Однофакторный дисперсионный анализ с повторениями. Представляет собой более сложный вариант однофакторного анализа с несколькими выборками для каждой группы данных.

Дисперсионный анализ. Служит для выполнения дисперсионного анализа по методуANOVA.

Стандартный ANOVA (однофакторный дисперсионный анализ) включает следующие шаги – вычислительные процедуры:

• Вычисление общей суммы квадратов отклонений выборочных значений от общего среднего по всей совокупности данных , гдеN– общее число данных;

• Вычисление межгрупповой суммы квадратов отклонений средних значений по группам от общего среднего , где – количество данных в группеg, – среднее по данным группыg;

• Вычисление внутригрупповой суммы квадратов отклонений выборочных значений от среднего по группе , гдеG– количество групп;

• Вычисление числа степеней свободы между группами

• Вычисление числа степеней свободы внутри групп

• Вычисление межгрупповых средних ;

• Вычисление внутригрупповых средних ;

• Вычисление F-отношения (Фишер) межгруппового среднего к внутригрупповому

Затем определяют критическое значение F-статистики Фишера для данного числа степеней свободы и заданного уровня статистической значимости. Сравнением взаиморасположения вычисленного и критического значенийFпринимают, либо отвергают гипотезу .