5. Применение непараметрических критериев: классификация сдвигов и критериев оценки их статистической достоверности

Виды сдвигов	Объект сопоставлений	Условия		Критерии оценки достоверности сдвига
		Количество замеров	Количество групп
Временные, ситуационные, умозрительные, измерительные	Одни и те же показатели, измеренные у одних и тех же испытуемых в разное время, в разных ситуациях, в разных представляемых условиях или разными способами	2	1	G– критерий знаков; Т – критерий Вилкоксона.
		3 и более	1	L- критерий тенденций Пейджа; χ²r– критерий Фридмена.
Сдвиги под влиянием экспериментальных воздействий	Одни и те же показатели, измеренные у одних и тех же испытуемых до и после воздействия: а) при отсутствии контрольной группы;	2	1	G– критерий знаков; Т – критерий Вилкоксона.
		3 и более	1	L- критерий тенденций Пейджа; χ²r– критерий Фридмена.
	б) при наличии контрольной группы	2	2	Вариант 1 – сопоставление значений «до» и «после» отдельно по экспериментальной и контрольной группам: G– критерий знаков; Т – критерий Вилкоксона. Вариант 2 – сопоставление сдвигов в двух группах: Q– критерий;U– критерий Манна-Уитни; φ – критерий Фишера.
		3 и более	2	Сопоставление значений отдельно по экспериментальной и контрольной группам: L- критерий тенденций Пейджа; χ²r– критерий Фридмена.
Структурные сдвиги	Разные показатели одних и тех же испытуемых	2	1	G– критерий знаков; Т – критерий Вилкоксона.
		3 и более	1	L- критерий тенденций Пейджа; χ²r– критерий Фридмена.

Как следует из таблицы, при сопоставлении двух замеров, произведенных на одной и той же (экспериментальной) выборке, применяются критерии знаков G и критерий Т Вилкоксона. При сопоставлении трех и более замеров, произведенных на одной и той же выборке, применяются критерий тенденций L Пейджа, а если он неприменим из-за большого объема выборок - критерий х²r Фридмана.

Библиография

1. Ермолаев, О.Ю. Математическая статистика для психологов / О.Ю. Ермолаев. - М.: МПСИ: Флинта. - 2002. – 325 с.

2. Сидоренко, Е.В. Методы математической обработки в психологии. – СПб.: ООО «Речь» - 2004. – 350 с.

3. Суходольский, Г. В. Математические методы в психологии / Г.В. Суходольский. - Харьков: Изд-во Гуманитарный Центр. - 2006. – 512 с.

4. Тарасов, С.Г. Основы применения математических методов в психологии. / С.Г. Тарасов. - СПб.: Изд-во: Санкт - Петербург. ун-та. - 1999. – 326 с.

5. Глинский, В. В., Ионин, В. Г. Статистический анализ данных / В.В. Глинский, В.Г. Ионин. - М.: Филин. - 2008. – 265 с.

Лекция 15. Критерии различия в распределении признака

1. c² критерий Пирсона

2. l - критерий Колмогорова–Смирнова

1. C2 критерий Пирсона

Критерий применяется в двух целях:

1) для сопоставления эмпирического распределения признака с теоретическим;

2) для сопоставления двух или более эмпирических распределений одного и того же признака.

Критерий c² отвечает на вопрос о том, с одинаковой ли частотой встречаются разные значения признака в эмпирическом и теоретическом распределениях или в двух или более эмпирических распределениях.

Метод позволяет сопоставлять распределения признаков, представленных в любой шкале, начиная от шкалы наименований. В самом простом случае «есть результат – нет результата» уже можно пользоваться данным критерием.

Гипотезы

1) Полученное эмпирическое распределение признака не отличается (Но)/ отличается (Н1) от теоретического (например, равномерного) распределения.

2) Эмпирическое распределение 1 не отличается (Но)/ отличается (Н1) от эмпирического распределения 2.

3) Эмпирические распределения 1,2,3 не отличаются (Но)/ отличаются (Н1) между собой.

Алгоритм расчета критерия

1. Занести в таблицу наименования разрядов и соответствующие им эмпирические частоты (первый столбец).

2. Рядом с каждой эмпирической частотой записать теоретическую частоту (второй столбец).

3. Подсчитать разности между эмпирической и теоретической частотой по каждому разряду (строке) и записать их в третий столбец.

4. Определить число степеней свободы по формуле: ν = к - 1, где к – количество разрядов признака.

5. Возвести в квадрат полученные разности, и занести их в четвертый столбец.

6. Разделить полученные квадраты разностей на теоретическую частоту и записать результаты в пятый столбец.

7. Просуммировать значения пятого столбца. Полученную сумму обозначить как c² _эмп.

8. Определить из таблиц критические значения для данного числа степеней свободы, и на основании полученных значений сделать вывод о достоверности расхождений между распределениями.

Алгоритм вычислений так же выражается формулой:

,

где N – число интервалов, по которому строился эмпирический закон распределения (число столбцов соответствующей гистограммы), i – номер интервала, p^t_i -вероятность попадания значения случайной величины в i-й интервал для теоретического закона распределения, p^e_i – вероятность попадания значения случайной величины в i-й интервал для эмпирического закона распределения. Она и должна подчиняться распределению хи-квадрат.

Если вычисленное значение статистики превосходит квантиль распределенияхи-квадрат с k-p-1 степенями свободы для заданного уровня значимости, то гипотеза H₀ отвергается. В противном случае она принимается на заданном уровне значимости. Здесь k – число наблюдений, p – число оцениваемых параметров закона распределения.

2. l - критерий Колмогорова-Смирнова

Критерий предназначен для сопоставления двух распределений: а) эмпирического с теоретическим; б) одного эмпирического распределения с другим эмпирическим распределением.

Критерий позволяет найти точку, в которой сумма накопленных расхождений между двумя распределениями является наибольшей и оценить достоверность этого расхождения.

Здесь сопоставляются сначала частоты по первому разряду, потом по сумме первого и второго разрядов, потом по сумме первого, второго и третьего разрядов, и т.д. Таким образом, мы сопоставляем всякий раз накопленные к данному разряду частоты.

Если различия между данными распределениями существенны, то в какой-то момент разность накопленных частот достигнет критического значения, и мы сможем признать различия статистически достоверными. В формулу критерия λ включается эта разность. Чем больше эмпирическое значение λ, тем более существенны различия.

Гипотезы

Различия между двумя распределениями недостоверны (Но) / достоверны (Н1) (судя по точке максимально накопленного расхождения между ними).

Ограничения критерия

Критерий требует достаточно большой выборки при сопоставлении двух эмпирических распределений (больше или равно 50). При сопоставлении эмпирического распределения с теоретическим допускается n больше или равно 5.

Алгоритм расчета абсолютной величины разности d между эмпирическим и равномерным распределениями.

1. Занести в таблицу наименования разрядов и соответствующие им эмпирические частоты (первый столбец).

2. Подсчитать относительные эмпирические частоты для каждого разряда по формуле: f эмп. = f / n, где: fэмп. – эмпирическая частота по данному разряду, n – общее количество наблюдений. Занести результаты во второй столбец.

3. Подсчитать накопленные эмпирические частоты по формуле: Σf*j = Σf*_j-1 + f* j, где Σf*_j-1 - частота, накопленная на предыдущих разрядах; j – порядковый номер разряда; f* j – эмпирическая частота данного j-го разряда. Занести результаты в третий столбец таблицы.

4. Подсчитать накопленные теоретические частоты для каждого разряда по формуле: Σf*тj = Σf*т_j-1 + f* тj, где: Σf*т_j-1 - теоретическая частота, накопленная на предыдущих разрядах; j – порядковый номер разряда; f* тj – теоретическая частота данного разряда. Занести результаты в четвертый столбец таблицы.

5. Вычислить разности между эмпирическими и теоретическими накопленными частотами по каждому разряду.

6. Записать в пятый столбец абсолютные величины полученных разностей (без учета их знака). Обозначить их как d.

7. Определить по пятому столбцу наибольшую величину разности d max.

8. Исходя из таблиц, определить критическое значение d max для данного числа n наблюдений. Если полученное эмпирическое число d max превышает критическое – различия достоверны.