линейная_алгебра(билеты_и_ответы)1 курс

Экзаменационные вопросы по дисциплине «алгебра и аналитическая геометрия -1 ».

Тема 1. Определители и матрицы. Алгебра матриц.

Твѐрдые знания: Определители второго и третьего порядка, их свойства. Инверсия. Определители n - го порядка, их свойства и методы вычисления. Матрицы. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Един4ичная матрица. Обратная матрица. Линейная зависимость и независимость n - мерных векторов. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы. Навыки вычисления: определителей 2-го, 3-го и n - го порядков; суммы, разности и произведения матриц, обратной матрицы; ранга матрицы. Умения. Применение понятия ранга матрицы для определения линейной зависимости и независимости системы векторов.

Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений.

Твѐрдые знания: Теорема Кронекера - Капелле. Метод Гаусса. Правило Крамара. Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Фундаментальная система решений. Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений. Связь решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений с соответствующей однородной. Навыки решения систем линейных уравнений. Умения. Рационально выбрать метод решения системы линейных алгебраических уравнений.

Тема 3. Векторная алгебра.

Твѐрдые знания: Скалярные и векторные величины. Модуль вектора, равенство векторов. Нулевой вектор. Коллинеарные и компланарные векторы. Линейные операции над векторами. Разложение вектора по базису на плоскости и в пространстве. Проекция вектора на ось. Прямоугольные координаты вектора и точки. Линейные операции над векторами в прямоугольной системе координат. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов, их свойства. Условия коллинеарности и перпендикулярности двух векторов. Условия компланарности трех векторов. Навыки: разложения вектора по базису на плоскости и в пространстве; вычисления скалярного, векторного и смешанного произведений векторов. Умения. Применение векторной алгебры к решению задач геометрии, физики и механики.

Тема 4. Аналитическая геометрия на плоскости. Прямая на плоскости. Кривые второго порядка.

Твѐрдые знания: Основные задачи аналитической геометрии на плоскости. Геометрический смысл уравнения Р(х,у) = 0. Различные виды уравнения прямой, общее уравнение прямой. Соответствие между прямыми на плоскости и линейными уравнениями с двумя переменными. Взаимное расположение двух прямых. Расстояние от точки до прямой. Преобразование прямоугольных координат. Эллипс, гипербола, парабола. Их определения, канонические уравнения, исследование формы кривой по каноническому уравнению. Элементы общей теории линий второго порядка. Полярные координаты. Кривые в полярных координатах. Навыки оперирования с различными способами задания прямой на плоскости; приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду путѐм параллельного переноса и поворота системы координат и построения еѐ. Умения. Решение геометрических задач, с использованием линий первого и второго порядков.

Тема 5. Аналитическая геометрия в пространстве. Плоскость и прямая в пространстве. Поверхности второго прядка.

Твердые знания. Основные задачи аналитической геометрии в пространстве. Геометрический смысл уравнения Р(х,у,2) = 0. Виды уравнений плоскости в пространстве. Соответствие между плоскостями и линейными уравнениями с тремя переменными. Расстояние от точки до плоскости. Пучок плоскостей. Различные виды уравнения прямой в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Цилиндрические поверхности. Конические поверхности. Поверхности вращения. Поверхности второго порядка: сфера, эллипсоид, гиперболоид, параболоид. Метод сечении для изучения вида поверхности. Цилиндрические и сферические координаты. Навыки оперирования с различными способами задания плоскости и прямой в пространстве; приведения уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду путѐм параллельного переноса и построения еѐ; построение тел, ограниченных заданными поверхностями. Умения. Решение геометрических задач, с использованием уравнений поверхностей и линии пространстве.

ВОПРОС №1.

Определители второго и третьего порядка, их свойства.

Рассмотрим кв. таблицу чисел. Такие таблицы называются матрицами. Горизонт. ряды – строки; вертикал. ряды – столбцы.

det A a11 *a22 *a33 a12 *a23 *a31 a31 *a21 *a32 a13 *a22 *a31 a12 *a21 *a33 a11 *a23 *a32

/\ Записан опр-ль 3го порядка. Каждое слагаемое в сумме – член опр-ля (т.е. произведение элем-тов мат-цы взятых по одному из каждой строки и каждого столбца).

Инверсия.

- убывание вторых индексов эле-тов матрицы. При инверсии появляется знак «-».

ПРИМЕРЫ: a13a22a31 - 2 инверсии, поэтому знак «+»; a12a23a31 - 2е инверсии, поэтому «+»; a11a23a32 - инверсия одна знак «-». Если кол-во инверсий четное, то знак члена(произведения) «+», если нечетное то «-».

Вывод: со знаком (+) в опр-ль входят члены у которых в перестановке вторых индексов четное число инверсий. А со знаком (-), те у которых это число нечѐтное. Формула для определения знака перед произведением:

Если пара эле-тов расположены в перестановке так, что эле-т с большим номером стоит раньше элем-та с меньшим номером, то говорят,

что эти элементы образуют инверсию.

матрицы (т.е. его множители и в опр-ле транспониров. Мат-цы в разных строках и столбцах). Значит опр-ль не меняет своего знака. Св-во док-но.

2. Если в опр-ле поменять местами две строки или столбца, то опр-ль изменит только знак, а по абсолютной величине не изменится. Док-во: Если в мат-це поменять местами две строки, то перестановка, составленная из таких знаков как [i1,i2,i3..in] перейдет в другую

с помощью одной транспозиции (т.е. каждый член исходного опр-ля войдет в новый опр-ль с противоположенным знаком). Св-во док-но. Следствие: опр-ль с 2-мя одинаковыми строками или столбцами равен 0.

3. Общий множитель всех элементов строки или столбца можно вынести за знак опр-ля.

Следствие: опр-ль с двумя пропорциональными строками равен 0.

4. Если каждый элем-т К-того столбца или К-той строки опр-ля представлен в виде суммы двух слагаемых, то данный опр-ль можно представить в виде суммы двух опр-лей.

Следствие: опр-ль не меняет своего значения если к элем-там одной строки(столбца) прибавить соответствующие элем-ты другой строки(столбца), умноженных на одно и тоже число.

ВОПРОС №2. Инверсия.

- убывание вторых индексов эле-тов матрицы. При инверсии появляется знак «-».

ПРИМЕРЫ: a13a22a31 - 2 инверсии, поэтому знак «+»; a12a23a31 - 2е инверсии, поэтому «+»; a11a23a32 - инверсия одна знак «-». Если кол-во инверсий четное, то знак члена(произведения) «+», если нечетное то «-».

Вывод: со знаком (+) в опр-ль входят члены у которых в перестановке вторых индексов четное число инверсий. А со знаком (-), те у которых это число нечѐтное. Формула для определения знака перед произведением:

Если пара эле-тов расположены в перестановке так, что эле-т с большим номером стоит раньше элем-та с меньшим номером, то говорят,

что эти элементы образуют инверсию.

Обратная матрица. (ОБ)

А-1 – обратная матрица – та матрица, результат умножения которой на матрицу А является Е (един. матрицей). ОБ существует только от квадратных матриц, опр-ль которых не равен 0.

Воспользуемся св-вами опр-ля :

det(A* B) det(A) *det(B) . Док-во этого факта базируется на опр-лях (см. ворос№1). Применяем данное св-во:

det(A 1 ) *det(A) det E 1; ни одна из этих матриц ≠0. (//**Вырожденная матрица – матрица, опр-ль которой ≠0. Вырожденная матрица –

матрица, опр-ль которой =0.)

Нахождение обратных матриц. Пусть дана невырожденная матрица А. Рассмотрим матрицу, состоящую из алгебраических дополнений матрицы А.

«…Если ранг матрицы равен r, то в этой матрице можно найти r линейно-независимых между собой строк (или столбцов), через которые линейно выражаются все остальные строки матрицы или столбцы…»

Док-во(1): A m n Пусть еѐ ранг равен r. Отличный от нуля опр-ль n-го порядка не равен 0.

Метод от противного. Пусть первые r строк линейно зависимы. Пусть r -я строка выражается через предыдущую: er 1e1 ...

максимальное число линейно-независимых столбцов матрицы равно максимальному числу линейно-независимых строк.

Для того, чтобы опр-ль был равен 0, необходимо и достаточно, чтобы его строки или столбцы были линейно-независимыми. РАЗДЕЛ НОМЕР ДВА.

ВОПРОС №8.

Теорема Кронекера - Капелле.

Теорема: «… Для совместности системы линейных уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы равнялся рангу расширенной матрицы системы…».

Док-во: 1) Необходимость.

Система совместна если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Из последнего столбца вычитаем 1й столбец умноженный на значение 1й переменной затем вычитаем 2й столбец умноженный на значение 2й переменной. Данные преобразование не меняет ранг матрицы (ранг остался неизменным, т.к. нулевой столбец не влияет на ранг, то получается, что ранг матрицы системы равен рангу общей матрицы). Док-но.

2) Достаточность.

Пусть ранги равны: r(A)=r(A~)=r

Пусть определитель r –го порядка (≠0) стоит в верхнем углу матрицы системы:

Оставшиеся переменные х можно найти по формулам Крамера. ПРОВЕДЕННО КОНСТРУКТИВНОЕ ДОК-ВО. Найден способ нахождения переменных.

ВОПРОС №9.

Метод Гаусса. Правило Крамара.

Правило Крамара (метод при котором x x ; y y ; z z …). Для этого нужно вычислить ; x; y; z...

ВОПРОС №10.

Однородные системы линейных алгебраических уравнений.

ненулевые решения. Теорема док-на.

Следствие: Для того, чтобы однородную систему алгеб. ура-ний имела нетривиальное решение необходимо и достаточно, чтобы опр-ль матрицы системы равнялся нулю.

Св-во решений:

Пусть x1 1; x2 2 ;..; xN N ; - какое – либо нетривиальное решение системы будем рассматривать как строку: e1 ( 1,2,N...) Умножим каждый эле-т этой строки на некоторое число С =>> составим еще одну строку решений данной системы: e2 ( 1, 2, N...)