Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный строительный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

линейная_алгебра(билеты_и_ответы)1 курс

.pdf

Скачиваний:

269

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

835.68 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

Проекцией вектора АВ на ось L является: | A' B'|(если вектор и ось сонаправленны, то «+», если

направление вектора и оси не совпадают – то «–.)

прL AB | AB | cos(AB, L0 ) , где L(0) – орт оси.

Св-ва проекций векторов:

A’

B’

прl (a

b) прl a

прl b

прl ( a) прl

Координатами вектора в пространстве называют проекции вектора на координатные оси.

aX прОХ а

| a | cos(a,i )

aY прОY а

| a | cos(a, j)

aZ прОZ а

| a | cos(a, k )

 а aX i aY

aZ k т.к. все косинусы, стоящие в формулах

после | a |

являются по сути направляющими косинусами вектора ?. cos2 cos2 cos2

ВОРОС №17.

Условия коллинеарности и перпендикулярности двух векторов. Условия компланарности трех векторов.

Если два вектора, лежащих в одной плоскости принадлежат двум параллельным прямым, и направление этих векторов совпадает, то такие векторы называются КОЛИНЕАРНЫМИ.

Если два вектора, лежащих в одной плоскости, принадлежащие двум параллельным прямым, называются ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ. Если три вектора, лежат в одной плоскости, то они КОМПЛАНАРНЫ.

ВОРОС №18.

Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов, их свойства.

DEF

Скалярное произведение: a *b (a,b)

| a | * | b | *cos(ab)

Св-ва скалярного произведения: 1)

(a,b)

(b, a) ; 2)

(a,b) ( a,b) (a, b) ; 3) (a,b)

| a | *прAb

| b | *прB a ;

4) (a b, c)

(a, c) (b, c)

;

a b a

5) (a, a) | a |2

| a |

(a, a)

; 6)

(a,b) 0 a

b или

a 0;b

0 ;

( пр а

Y Y

Z Z

)

2 b 2

7) a (aX

, aY , aZ ); b (bX , bY , bZ )

(a, b) (aX i aY j aZ k, bX i bY j bZ k) aX bX (i , i ) aY bY ( j, j ) aZ bZ

(k , k ) aX bX aY bY aZ bZ

правосторонняя _ тройка_ векторов

Векторное произведение: [a,b] a b c

1) | c | | a | *| b | *sin(a,b)

2) c {a,b}

3)a,b, c

;

Св-ва векторного произведения: 1) b

a a b ; 2)

[a,b]

[ a,b] [a,

b] ;

3) [a b, c]

[a, c] [b, c]; 4)

[a, a] 0

[a,b] 0 _ _ есливекторакомпланарныилиодинизнихнулевой ;

[a, b ]

S _ пралелог рамма [a,b];

Смешанное произведение: (a

b ), c

(a, b, c)

Св-ва векторного произведения: 1)
Св-ва векторного произведения: 1)		(a,b, c) (b, c, a) (c, a,b) = (b, a, c) (a, c,b) (c,b, a) ; 2)		(a,b, c) 0 - эти вектора компланарны; 3)

(a,b, c) 0 правая тройка векторов; 5)	(a,b, c) 0		левая тройка векторов; V _ паралелог рамма \| (a,b, c) \|

Тема 4. Аналитическая геометрия на плоскости. Прямая на плоскости. Кривые второго порядка. ВОПРОС №19.

Основные задачи аналитической геометрии на плоскости. Геометрический смысл уравнения Р(х,у) = 0.

1)Получение ура-ния ф-и, по геом. Характеристикам этой ф-и.

2)По заданному уравнению найти ф-ю, координаты точек которой удовлетворяют заданному ура-нию.

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ: AX BY C 0 представимо в виде полинома первой степени (зависимости) Р(х,у) = 0. Геометрич. смысл этого уравнения: уравнение любой прямой является линейно-зависимо относительно входящих в него переменных (также верно обратное).

Любое линейное уравнение с 2-мя переменными задает прямую на соответствующей плоскости.

ВОПРОС №20.

Различные виды уравнения прямой, общее уравнение прямой.

Дано:М0(x0;y0) € L; s( p; q) || L ; s – направляющий вектор прямой L.

Решение: Возьмем произвольную точку на прямой М(x;y)  Рассмотрим радиус векторы ОМ (x, y); OM0

(x0 ; y0 )

x t * p

MM0 OM0

MM0 || s

MM0 (x0 x; y0 y)  0

y t * q

Параметрическое уравнение прямой

r r0 t * S

r0 t *

- векторное уравнение прямой.

Дано: М1(x1;y1) € L М2(x2;y2) € L

x x1

y y1

Решение: Возьмем произвольную точку на прямой М(x;y)  M1M2 (x2 x1; y2 y1) 

y2 y1

x2 x1

Уравнение прямой по двум точкам.

Дано: М0(x0;y0) € L; tg α=k;

y-y0

y y0

x-x

Решение: Возьмем произвольную точку на прямой М(x;y) 

tg y y

k(x x )

y y0 k(x x0 )

x x0

если у0=0 , в частном случае: y kx b Уравнение по координате и угловому коэфиценту.

Решение:

x a

y a

;

Уравнение прямой в отрезках.

0 a

b 0 a

a b

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ: AX BY C 0 . Смысл этого уравнения: уравнение любой прямой является линейно-зависимо относительно входящих в него переменных (также верно обратное).

Любое линейное уравнение с 2-мя переменными задает прямую на соответствующей плоскости.

ВОПРОС №21.

Соответствие между прямыми на плоскости и линейными уравнениями с двумя переменными.

ВОПРОС №22.

Взаимное расположение двух прямых. Расстояние от точки до прямой.

L1 M0

a1x b1 y c1 0

Решение системы должно давать точку пересечения.

X 0

a2 x b2 y c2

c1 c2

Если 0

a *b

b *a |: a b

- прямые параллельны. 2)

- прямые совпадают.

x x0 y y0

y k1x b1

(s ; s

)

p p q q

cos

y k

x b

x x0

y y0

1 tg tg

1 k k

| s

|| s |

α1

α2

1 2

p1 q1

p2 q2

Условие параллельности: l

|| l

|| s

;

k k

Условие перпендикулярности: l1 l2

s1 s2

p1 p2

q1q2

k1 *k2 1

Расстояние от точки до прямой.

Воспользуемся нормальным уравнением прямой: x cos y sin d0 0

ВОПРОС №23.

Преобразование прямоугольных координат.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС.
OXY	O' X 'Y '	x x'a	(при переходе OXYO’X’Y’ )	x' x a	(при переходе O’X’Y’OXY)
			(при переходе OXYO’X’Y’ )		(при переходе O’X’Y’OXY)
(x; y)	(x'; y')	y y'b		y' y b

ПОВОРОТ.
OXY  O’X’Y’					O’X’Y’OXY
x x'cos y'sin	x	cos	sin x'	~~~~~~	x' x cos y sin
				~~~~~~

y y'sin x'cos	y	sin	cos y'		y' y sin x cos

ПАРАЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС + ПОВОРОТ.

OXY  O’X’Y’

x x''cos y''sin ay y''sin x''cos b

O’X’Y’OXY

x'' x cos y sin ay'' y sin x cos b

ВОПРОС №24.

Эллипс, гипербола, парабола. Их определения, канонические уравнения, исследование формы кривой по каноническому уравнению.

ЭЛЛИПС.

- геометрическое место точек на плоскости сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, M(x;y) называемых фокусами, есть величина постоянная.

М(x,y) – текущая точка эллипса.


\| F M \| \| F M \| 2a 		(x c)2 y2	(x c)2 y2 2a	 Умножим обе части на сопряженную величину подели
\| F M \| \| F M \| 2a 		(x c)2 y2	(x c)2 y2 2a	 Умножим обе части на сопряженную величину подели	F1(-C;0)	F2(-C;0)
1	2				F1(-C;0)	F2(-C;0)
1	2
на 2а
 сложим два равенства возведем части равенства в квадрат и раскроем квадраты приведем подобные.

M(x;y)

F1(-C;0) F2(-C;0)

Малая

x2 (1

) y2

a2 c2  | F F | 2c 2c 2a c a  1

 x2

y2 b2 |: b2 

полуось

Большая

Каноническое уравнение эллипса.

полуось

ГИПЕРБОЛА.

- геометрическое место точек на плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

| F1M | | F2M | 2a

c a

b2 c2 a2

Каноническое уравнение гиперболы.

Выразим у:

y2 b2

(

1)  y b

 x

Экстринтиситет: e

F1(-C;0)

F2(-C;0)

ПАРАБОЛА.

- геометрическое место точек на плоскости, которые равноудалены от заданной точки, называемой фокусом и заданной прямой директрисой.

-(p/2;0) (p/2;0)

2xp y

| M ' F | d

x 2

(x 2 ) y

xp 4

Канон. ура-ние параболы.

e {экстринтеситет} – отношение расстояния от любой точки до фокуса к расстоянию от этой точки, до биссектрисы.

ВОПРОС №25.

Элементы общей теории линий второго порядка. Полярные координаты. Кривые в полярных координатах.

Общим уравнением второго порядка называется уравнение вида: a11x2 a22 y2 2a12 xy 2a1 x 2a2 y a0 0 (1)

Приведем уравнение к каноническому виду:

1)Избавимся от 1х степеней с помощью параллельного переноса:

x x' x0 Подставим в формулу (1)  раскроем скобки приведем подобные

y y' y0

a	x		a	y		a	0	Решение даст х0;y0.
11		0	12		0	1		Решение даст х0;y0.
a22 y0 a12 x0 a2 0

a11

a12

0  x

a12

 y

a11

+ остаточный член: a x

a12

a22

a12

a11

a12

( y' )2 2a x' y'

a a

a (x' )2

2) Осуществляем поворот.

x' x cos y cos

Подставляем a11(x' )2 a22

( y' )2 2a12 x' y'

, полученное приравниваем к 0. Вычисляем tg угла поворота осей:

x sin y cos

tg(a22 a11) tg 2a12 a12 0  подставляем в формулу (sinα;cosα).

В итоге получается уравнение: 1 X 2 2Y 2 0

1. * 0 ;			X 2		Y 2			1
1. * 0 ;								1
1	2
1	2

			1			2

	0;			0				ЭЛЛИПС.			*		0	ГИПЕРБОЛА.				0;		0	Пустое множество (мнимый эллипс).
																			2
1			2							1		2					1		2
2*. 0		X 2 Y 2 0 ; Если								0 ,		то получается точка, если					0 , то получается пара пересекающихся прямых.
		1		2			1		2						1	2
2. 1 2 0		0  Пара параллельных прямых или случай вырождения;

0  Одна прямая. Х(^2)=01 0; 2 0 то вся плоскость.0=0

3. 0 этот случай соответствует параболе.

Тема 5. Аналитическая геометрия в пространстве. Плоскость и прямая в пространстве. Поверхности второго прядка.

ВОПРОС №26.

Основные задачи аналитической геометрии в пространстве. Геометрический смысл уравнения Р(х,у,z) = 0.

1)Получение ура-ния поверхности, по геом. Характеристикам этой поверхности.

2)По заданному уравнению найти поверхность, координаты точек которой удовлетворяют заданному ура-нию.

F x, y, z 0 . Это уравнение показывает, что координаты точки, которая лежит на поверхности должны подчинятся какой-либо

зависимости.

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ: AX BY C 0 представимо в виде полинома (зависимости) Р(х,у,z) = 0.

Геометрич. смысл этого уравнения: уравнение любой поверхности является линейно-зависимо относительно входящих в него переменных (также верно обратное).

Любое линейное уравнение с 3-мя переменными задает прямую на соответствующей плоскости.

ВОПРОС №27.

Виды уравнений плоскости в пространстве. Соответствие между плоскостями и линейными уравнениями с тремя переменными.

Уравнение плоскости по нормальному вектору.

A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 )

Дано:

M0 (x0 , y0 , z0 ) ; n ( A; B;C)

; Уравнение_плоскости= M0M n A(x x0 )

B( y y0 ) C(z z0 )

Решение:

M0M (x x0 ; y y0; z z0 ) n

Уравнение плоскости в отрезках.

x a

y 0

z 0

0 a

b 0

0 0

( x a) * bc y(a)c z(ab) 0

xbc yac zab abc 

0 a

0 0

c 0

Нормальное уравнение плоскости.

x(cos y cos z cos p 0

Где Р – расстояние от начала координат до данной плоскости. Углы взяты между осями координат и нормальным вектором (можно рассматривать как орт).

Общее уравнение плоскости: AX BY CZ D 0

	x x1	y y1	z z1
	x x1	y y1	z z1
Уравнение плоскости по 3м точкам:	x2 x1	y2 y1	z2 z1	0	(смешанное произведение, разложение опр-ля по первой стороке)
	x3 x1	y3 y1	z3 z1

ВОПРОС №28.

Расстояние от точки до плоскости. Пучок плоскостей.

Расстояние от точки до плоскости.

Дано: M0 (x0 , y0 , z0 ) ; берем произвольную точку M (x, y, z) ; MM0

=заменяем члены суммы произведений с координатами т.М на D =

Пучок плоскостей.

(x0 x; y0 y; z0 z) ; прN MM0 (x0 x) A ( y0 y)B (z0 z)C =d=

A2 B2 C2

x0 A y0 B z0C D . A2 B2 C2

a1x b1 y c1z D1 0a2 x b2 y c2 z D2 0

Рассмотрим две плоскости; решением данной системы будет прямая, которой удовлетворяет каждая из плоскостей, входящих в пучок, тогда составим уравнение первой степени, которое при любом значении «лямда» определяет плоскость: ( A1x B1 y C1z D1) (1 )( A2 x B2 y C2 z D2 ) 0 . Если точка лежит на данной прямой еѐ

координаты удовлетворяют обоим уравнениям данной прямой, сл. И уравнению с «лямбда».

ВОПРОС №29.

Различные виды уравнения прямой в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей.

Векторное ура-ние прямой в пространстве.


			М0	Дано: M0 (x0 , y0 , z0 ) L ;	S	(m; n; k) \|\| L ;

	М	S		Найти:
L
				Решение: рассмотрим радиус-вектор RM 0 , RM . По правилу треугольника RM MM0 RM0 . Вектор ММ0 параллелен S,
	RМ RМ0

сл. MM0 S * t ;

* t RM 0

Параметрическое уравнение.

x x0

x, y, z ;

Составим систему для координат из RM

* t RM 0 , где

RM0 (x0 , y0 , z0 );

(m, n, k) .

y y0

(m; n; k)

z z0

Исключим из данных уравнений параметр t, получаем

Каноническое уравнение прямой:

x x0

y y0

z z0

Уравнение прямой по 2м точкам.

Дано: M1(x1, y1, z1 ) L , M2 (x2 , y2 , z2 ) L .

Решение:  M1M2=(x2-x1;y2-y1;z2-z1) 

x x1

y y1

z z1

x2 x1

y2 y1

z2 z1

ВОПРОС №30.

Цилиндрические поверхности. Конические поверхности. Поверхности вращения.

1) Цилиндрические поверхности (ЦП).

Рассмотрим ЦП с образующими параллельными координ. Осям. Например: в плоскости ХОУ заданна кривая F(x, y) 0 .

Рассмотрим точку М на этой кривой, координаты которой удовлетворяют данной прямой. Любая точка на прямой проходящая через М удовлетворяет F(x, y) 0 , одно и тоже уравнение задает кривую на плоскости и цилиндрическую

поверхность в пространстве, с образующими параллельными оси ОZ.

2) Конические поверхности (КП).

F(x, y, z) 0 . Есть однородный многочлен п-ой степени от переменных x,y,z, если выполняется данное равенство:

F(tx, ty, tz) tN F(x, y, z) .

Конической поверхностью называют поверхность, задаваемую уравнением F(x, y, z) 0 .

Пример уравнения n-го порядка: F(x, y, z) 3x2 2x2 y xyz . Уравнение конуса - коническая поверхность 2-го порядка:

x2	y2	z2	0 .
a2	b2	c2

3)Поверхности вращения.

Вплоскости ХоУ задана прямая F(x, y) 0 . Начнем вращать эту прямую вокруг ОХ. На поверхности берѐм т.М. Запишем ура-ние


F(x, r) 0	- ура-ние кривой проходящей через т.М, являющейся пересечением поверхности вращения и плоскости α. r	y2 z2 . F(x,r)=0 –

ура-ние поверхности вращения.

Начнем вращать эту прямую вокруг ОY. На поверхности берѐм т.N. Запишем ура-ние F(r, y) 0 - ура-ние кривой проходящей через т.М,

являющейся пересечением поверхности вращения и плоскости α. r x2 z2 . F(r,y)=0 – ура-ние поверхности вращения.

ВОПРОС №31.

Поверхности второго порядка: сфера, эллипсоид, гиперболоид, параболоид. Метод сечении для изучения вида поверхности.

СФЕРА.

Уравнение: X 2 Y 2 Z 2 R2

Сфера получается путем вращения эллипса вокруг оси OZ. x2 y2 z2 1При а=с получаем a2 c2

сферу.

ЭЛЛИПСОИД.

	X	2	Y	2	Z	2
Уравнение:	X		Y		Z		1	(1)
Уравнение:		2		2		2	1	(1)
	A		B		C

Поверхность второго порядка, определяемая уравнением (1) называется трехосным эллипсоидом, где a,b,c – полуоси. Точки пересечения эллипсоида с координатными осями – вершины эллипсоида.

ГИПЕРБОЛОИД.

1) Однополостной гиперболоид.

Уравнение:

Исходное уравнение:

1(гипербола). Вращаем вокруг оси ОХ. Получаем поверхность

вращения F(x,

y2 z2 ) 0 > >

2) Двуполостной гиперболоид.

Уравнение:

ПАРАБОЛОИД.

1) Эллиптический параболоид.

Уравнение: Z X 2 Y 2 .

A2 B2

Для получения уравнения эллиптического параболоида можно использовать параболоид вращения и дифформацию. Эллиптический параболоид можно рассматривать как поверхность описываемую при движении одной подвижной параболы вдоль другой неподвижной, так, что вершина подвижной параболы все время скользит по неподвижной параболе. А плоскость и ось подвижны, остаются параллельными сами себе.

2) Гиперболический параболоид.

Уравнение: Z X 2 Y 2

A2 B2

Гиперболический параболоид можно рассматривать как поверхность, образованную движущейся параболой, ось симметрии которой остается в плоскости ХОZ, а вершина

движется по параболе X 2 2PZ . Плоскость ХОУ дает в сечении с поверхностью

параболоида, линию, X 2 Y 2 0 уравнение которой распадается на две пары уравнений:

A2 B2

XA YB 0 и XA YB 0 , сл. Что сечение есть совокупность двух пересекающихся прямых.

Плоскости ХОZ и YOZ являются плоскостями симметрии для поверхности параболоида.

ВОПРОС №32.

Цилиндрические и сферические координаты.

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ.

x r cos

r r0 прямой _ круг. _ цилиндр

0 r ;

r x

0 2 , h

полуплоскость

y r sin

arctg( y / x)

h h

плоскость || xoy

z h

Положение точки М0

определяется 3мя величинами: радиус-вектор, проекция радиус-вектора, углом поворота.

φ0

СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ.

x R sin Q cos

x2 y2

0 R

R R сфера

arctg( y / x)

0 2 0 полуплоскость

y R sin Q sin

0 Q

Q Q0 конус

z R cos Q

Q arctg

Положение точки М определяется 3мя величинами: длинной радиус-вектора, углом Q, углом φ.

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.03.20153.55 Mб26Лекция 9.doc
#
13.11.201928.55 Кб3Лекция No. 1.doc
#
20.09.20193.07 Mб10Лекция №5-Приборы автоматики быт.компрес. хол-к...doc
#
20.09.20193.56 Mб10Лекция №5-Холодильные агрегаты для бытовых холо...doc
#
27.04.2019423.42 Кб5лекция14функциональные блаблабла.doc
#
14.04.2015835.68 Кб269линейная_алгебра(билеты_и_ответы)1 курс.pdf
#
18.09.201957.83 Кб5лит.docx
#
03.03.2015839.2 Кб61Логика.pdf
#
22.11.201985.46 Кб4Логистика 2.rtf
#
03.03.201531.7 Кб48логистика.docx
#
05.12.201840.55 Кб5Лопатина М.В PR-Менеджмент - понятие, основн....docx