
- •Глава 3. Математические модели цифровых сигналов
- •3.1. Преобразование непрерывных сигналов в дискретную форму. Теорема котельникова
- •3.2. Спектр дискретизированного сигнала
- •3.3. Спектр дискретизированного сигнала при дискретизации импульсами конечной длительности
- •3.4. Восстановление непрерывного сигнала из отсчётов
- •3.5. Погрешности дискретизации и восстановления непрерывных сигналов
- •3.6. Квантование сообщений. Ошибки квантования
- •3.7. Модели детерминированных цифровых сигналов в системе радемахера и уолша
- •3.8. Импульсно – модулированные сигналы
- •3.8.4. Кодово-импульсная модуляция (ким)
- •3.8.5. Дельта модуляция
- •3.9. Модуляция символьных и кодовых данных
- •3.9.1. Амплитудно-манипулированные сигналы
- •3.9.2. Фазовые виды манипуляции (bpsk, qpsk, m-psk)
- •3.9.3. Квадратурная амплитудная модуляция (qam)
- •3.9.4. Частотные виды модуляции
- •3.9.5. Ofdm модуляция
- •3.9.6. Формирование широкополосных сигналов
3.7. Модели детерминированных цифровых сигналов в системе радемахера и уолша
Функции Радемахера образуются из синусоидальных функций с помощью соотношения:
,
,
где
аргумент
— безразмерное
время; Т —
период функции, а положительное целое
число
=0,
1, 2, ... — порядок функции;
—
знак действительного числа
;
,
при
и
при
.
Иначе говоря, функции Радемахера,
принимающие значения ±1, можно трактовать
как функции «прямоугольного синуса».
На
рис. 3.21 приведены в качестве примера
графики первых четырех функций
Радемахера
для
=0,
1, 2, 3. Легко видеть, что функции
ортонормированы на интервале
:
Дальнейшим
развитием системы функции, имеющих
форму «прямоугольной волны», является
система функций Уолша {}.
Она образуется следующим образом.
По определению вводится функция {
}=
1 при
=0.
Для
получения функции
при
достаточно записать числот
в двоичной
системе счисления, т. е. представить
суммой
где
—
положительные целые числа.
При:
этом функция Уолша
.
Порядок
функции
Уолша
- равен числу знакоперемен на интервале
(0, 1/2) и определяется как
для четныхт
и
для нечетныхт.
На
рис. 3.22 приведены графики первых восьми
функций Уолша
,
,…,
,
построенных по четырем функциям
Радемахера.
3.8. Импульсно – модулированные сигналы
При импульсной модуляции в качестве носителя модулированных сигналов используются последовательности импульсов, как правило – прямоугольных. В беспроводных системах передачи данных (в радиосвязи) эти последовательности заполняются высокочастотными колебаниями, создавая тем самым двойную модуляцию.
При использовании в качестве несущих сигналов периодических последовательностей импульсов (например, прямоугольных) свободными параметрами модуляции (рис.3.23) могут быть
- амплитуда импульсов,
- длительность импульсов,
- частота следования импульсов,
- фаза (положение импульса относительно тактовой точки) импульсов.
Рис.
3.23. Периодическая последовательность
прямоугольных импульсов.
- период следования,
- длительность
импульса,
- амплитуда
импульса,
-
начальная фаза, определяющая временное
положение центров импульсов.
Аналитическая запись последовательности импульсов:
,
где
- одиночный импульс.
Параметры сигнала:
–амплитуда
импульса;
-
длительность импульса;
-
период следования
импульсов (период повторения);
-
частота
следования импульсов;
-
начальная фаза, определяющая временное
положение центров импульсов.
Это дает четыре основных вида импульсной модуляции: АИМ, ШИМ, ЧИМ и ФИМ.
Как правило, эти виды модуляции применяются при передаче дискретизированных данных. Для прямоугольных импульсов наиболее широко используются амплитудно-импульсная (АИМ) и широтно-импульсная (ШИМ) модуляция.
3.8.1. Амплитудно-импульсная модуляция (АИМ)
Амплитудно-импульсная модуляция заключается в изменении приращения амплитуды импульсов пропорционально функции управляющего сигнала при постоянной длительности импульсов и периоде их следования:
,
(3.11)
,
,
.
Рис. 3.24.АИМ однотональным сигналом s(t)
Рассмотрим
пример модулирования однотонального
сигнала ,
приведенного на рис. 3.24. Запишем уравнение
модулированного сигнала в следующей
форме:
,
(3.12)
где
– периодическая последовательность
прямоугольных импульсов с частотой
,
которую можно аппроксимировать рядом
Фурье (без учета фазы):
.
(3.13)
Подставляя (3.13) в (3.12), получим:
(3.14)
Форма спектра, в начальной части спектрального диапазона, приведена на рис. 3.25.
Рис. 3.25. Сигнал АИМ и его спектр
В
целом, спектр бесконечен, что определяется
бесконечностью спектра прямоугольных
импульсов. Около каждой гармоники
спектра прямоугольных импульсов
появляются боковые составляющие
,
соответствующие спектру моделирующей
функции (при многотональном сигнале –
боковые полосы спектров). При дополнительном
высокочастотном заполнении импульсов
весь спектр смещается в область высоких
частот на частоту заполнения.
3.8.2 Широтно-импульсная модуляция (ШИМ)
Широтно-импульсная модуляция (модуляция по длительности импульсов (ДИМ)), заключается в управлении длительностью импульсов пропорционально функции управляющего сигнала при постоянной амплитуде импульсов и периоде следования по фронту импульсов:
,
(3.15)
,
,
.
Рис. 3.26. Широтно-импульсная модуляция.
Рис.
3.27. Спектр ШИМ – сигнала
Рис.
3.28. Восстановленный сигнал
На рис. 3.27 приведен спектр сформированного сигнала ШИМ. В начальной части спектра он содержит постоянную составляющую среднего уровня сигнала и пик частоты гармоники, закодированной в ШИМ – сигнале. Если выделить из спектра эти две составляющие, то восстанавливается исходный сигнал с погрешностью квантования, приведенный на рис. 3.28. Естественно, что при малом числе уровней квантования погрешность восстановления исходного гармонического сигнала очень велика.
Попутно заметим, что широтно-импульсная модуляция с последующим выделением постоянной составляющей может весьма эффективно использоваться (и используется) для слежения за средним уровнем сигнала и автоматического регулирования его динамического диапазона, как, например, в системах установки громкости звука и яркости цветов и изображения в целом в современных телевизионных установках.
3.8.3. Временная импульсная модуляция (ВИМ)
Временная импульсная модуляция (ВИМ) представляет собой девиацию импульсов по временной оси по закону модулирующего сигнала, и по существу аналогична угловой модуляции гармонической несущей. Она также может быть фазовой (ФИМ) или частотной (ЧИМ).
Частотно-импульсная модуляция.
,
(3.16)
,
,
.
Фазо-импульсная модуляция.
,
(3.17)
,
,
.
Временные диаграммы этих видов модуляции показаны на рис.3.29.
Рис.3.29. Временные диаграммы ФИМ и ЧИМ сигналов