3.2. Спектр дискретизированного сигнала

Рассмотрим временные диаграммы исходного и дискретизированного сигналов (рис.3.8).

- дискретизированный сигнал, - исходный непрерывный сигнал, -периодическая последовательность - импульсов.

Разложим периодическую последовательность -импульсов в ряд Фурье.

.

Найдём спектр дискретизированного сигнала.

(3.4)

Таким образом, спектр дискретизированного сигнала содержит спектр исходного сигнала (рис.3.9), спектр исходного сигнала, смещенный на величину частоты дискретизации вправо, тот же спектр, смещенный на величину частоты дискретизации влево, тот же спектр, смещенный на величину и т.д. (рис. 3.10).

3.3. Спектр дискретизированного сигнала при дискретизации импульсами конечной длительности

Очевидно, что реально располагают не последовательностью дельта-импульсов, а последовательностью импульсов конечной длительности.

В результате процесса дискретизации получают не последовательность дельта-импульсов, амплитуда которых соответствует значению непрерывного сигнала в тактовые моменты времени, а последовательность реальных, например, прямоугольных импульсов, амплитуда которых соответствует значениям непрерывного сигнала в тактовые моменты времени.

Рассмотрим временные диаграммы, представленные на рис.3.11.

Дискретизированный сигнал можно записать в виде:

,

где -периодическая последовательность импульсов.

В квадратных скобках – ряд Фурье для последовательности импульсов конечной длительности.

Спектр дискретизированного сигнала импульсами конечной длительности, следовательно, похож на спектр дискретизированного сигнала при дискретизации дельта-импульсами, но амплитуда составляющих спектра убывает с ростом номера гармоники:

(3.5)

Спектр дискретизированного сигнала импульсами конечной длительности в соответствии с выражением (3.5) принимает вид, показанный на рис.3.12.

3.4. Восстановление непрерывного сигнала из отсчётов

В линию связи передаются импульсы-отсчёты, которые поступают на вход приёмника.

Для восстановления исходного непрерывного сигнала из импульсов-отсчётов надо эти импульсы подать на вход идеального фильтра низких частот (ИФНЧ), который имеет следующие характеристики.

Амплитудно-частотная характеристика ИФНЧ (АЧХ ИФНЧ) представлена на рис. 3.13.

Импульсная реакция ИФНЧ, т.е. реакция на дельта-импульс представлена на рис.3.14.

, (3.6)

, (3.7)

. (3.8)

Формула (3.6) - это выражение для импульсной реакции ИФНЧ, формулы (3.7) и (3.8) определяют моменты времени, для которых обращается в ноль.

Cо спектральной точки зрения мы пропускаем дискретизированный сигнал, имеющий спектр в соответствии с рис.3.10 или 3.12, через ИФНЧ с АЧХ рис.3.13. Очевидно, что на выходе ИФНЧ получим спектр:

.

Таким образом, с точностью до постоянного множителя мы получили на выходе ИФНЧ спектр исходного сигнала . С временной точки зрения мы получили исходный непрерывный сигнал.